2023-2024学年山东省枣庄市滕州高二（上）月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分），，，若，，三向量共面，则实数x＝（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣42．（5分）已知向量在基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为（）A．（0，1，2） B．（0，2，1） C．（2，1，0） D．（1，2，﹣1）3．（5分）直线（a2+1）x﹣2ay+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[0，]∪[，π）4．（5分）已知直线l过定点A（1，2，3），向量＝（1，0，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（）A． B． C．3 D．5．（5分）过点P（1，3）作直线l，若l经过点A（a，0）和B（0，b），且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条6．（5分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a，其中．则MN的长的最小值为（）A． B． C． D．7．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得，则n的取值的集合为（）A．{2，3} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{3，4，5}8．（5分）正方形ABCD与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且|PA|2+|PB|2＝|PC|2，则|PD|的最大值为（）A． B． C． D．前三个答案都不对二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列说法中，正确的有（）A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β C．∥⇔l∥α D．⊥⇔l⊥α（多选）10．（5分）已知动直线m：λx﹣y+λ＝0和n：x+λy﹣3﹣2λ＝0，P是两直线的交点，A、B是两直线m和n分别过的定点，下列说法正确的是（）A．B点的坐标为（3，﹣2） B．m⊥n C．|PA|⋅|PB|的最大值为10 D．P的轨迹方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0（多选）11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足，t∈[0，1]，下列结论正确的是（）A．若t＝1，则A1B1∥平面MPQ B．若t＝1，则过点M，P，Q的截面面积是 C．若，则点A1到平面MPQ的距离是 D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为（多选）12．（5分）已知O为坐标原点，A（3，1），P为x轴上一动点，Q为直线l：y＝x上一动点，则（）A．△APQ周长的最小值为 B．|AP|+|AQ|的最小值为 C．|AP|+|PQ|的最小值为 D．的最小值为4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知平面α的一个法向量是，且平面α过点A（2，3，1）．若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是．14．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣y+3＝0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角为．15．（5分）若△ABC的一个顶点是A（3，﹣1），∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则BC边所在的直线方程为．16．（5分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且∠ABC＝120°，点E在边BC上，且满足BE＝3EC，动点M在该四棱柱的表面上运动，并且总保持ME⊥BD1，则动点M的轨迹围成的图形的面积为；当MC与平面ABCD所成角最大时，异面直线MC1与AC所成角的余弦值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点为A（4，0），B（8，7），C（4，6）．（1）求过点A且平行于BC的直线方程；（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且AP与AB、AD的夹角都等于60°，M在棱PC上，，设，，．（Ⅰ）试用，，表示出向量；（Ⅱ）求与所成的角的余弦值．19．（12分）已知直线l：（2a+3）x﹣（a﹣1）y+3a+7＝0，a∈R．（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线l'过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线l'的方程；（3）若直线l不经过第四象限，求a的取值范围．20．（12分）已知圆C经过点A（1，4），B（﹣1，﹣2）且圆心C在直线2x﹣y+8＝0上．（1）求圆C方程；（2）若E点为圆C上任意一点，且点F（3，0），求线段EF的中点M的轨迹方程．21．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值；（3）求点D到平面ACE的距离．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2．（1）求证：A1C1⊥平面ABA1B1（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）在线段B1C1上确定一点P，使AP＝，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．

参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】由共面向量定理可得．【解答】解：∵，，∴，不共线，又∵，，三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．【点评】本题考查共面向量的定义，属于基础题．2．【分析】根据空间向量的坐标表示，利用向量相等列方程组即可求出结果．【解答】解：因为向量在基底下的坐标为（1，2，3），即＝+2+3，设＝x（+）+y（+）+z（+），x、y、z∈R，所以＝（x+z）+（x+y）+（y+z），令，解得x＝0，y＝2，z＝1；所以在基底下的坐标为（0，2，1）．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题．3．【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论．【解答】解：①当a＝0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k＝，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[）．③当a＜0时，直线的斜率，∴k≤﹣1，即直线的倾斜角的取值范围为（]．综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：C．【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键．4．【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：定点A（1，2，3），P（4，3，2），故，所以；故：，所以，所以点P（4，3，2）到直线l的距离d＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．5．【分析】由题意可设直线l的方程为＝1，将点（1，3）代入直线方程，可得3a＝（a﹣1）b，检验a＝1时的情况，当a≥2时，根据b＝3+求a、b的值，即可得出答案．【解答】解：∵直线l过点（a，0）和（0，b），则设直线l的方程为＝1，∵直线l过点（1，3），∴＝1，即3a＝（a﹣1）b，又a∈N*，b∈N*，∴当a＝1时，b无解，此时，直线和x轴垂直，和y轴无交点，直线不过（0，b），故a＝1时不满足条件；当a≥2时，b＝＝3+①，当a＝2时，b＝6，当a＝4时，b＝4，当a＞4时，由①知，满足条件的正整数b不存在，综上所述，满足条件的直线由2条，故选：B．【点评】本题考查直线方程和直线的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查待定系数法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．【分析】根据面面垂直性质可证得BC⊥平面ABEF，则以B为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出MN；将MN整理为，即可得出答案．【解答】解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABEF，则建立以B为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示：则A（2，0，0），C（0，0，2），F（2，2，0），E（0，2，0），∵CM＝BN＝a，∴，，∴，则，∴当时，MN最小，最小值为．故选：A．【点评】本题考查空间向量的应用，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．【分析】设区间[a，b]上n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，在函数y＝f（x）的图象上对应的点为A1，A2，…An，过原点的直线与函数图象的交点个数，就是n的取值．结合图象可得，过原点的直线与函数图象的交点个数可能为：2，3，4．【解答】解：设区间[a，b]上n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，在函数y＝f（x）的图象上对应的点为A1，A2，…An，，，…，∵，过原点的直线与函数图象的交点个数，就是n的取值．结合图象可得，过原点的直线与函数图象的交点个数可能为：2，3，4．故选：C【点评】本题考查了函数的图象，考查了转化思想，属于中档题．8．【分析】根据题设条件可得P的轨迹为圆，故可求|PD|的最大值．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y）．根据题意，x2+y2+（x﹣1）2+y2＝（x﹣1）2+（y﹣1）2，即x2+（y+1）2＝2，于是点P的轨迹是以M（0，﹣1）为圆心，为半径的圆，因此|PD|的最大值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．【分析】对于A，由面面平行的性质和判定定理进行判断；对于B，由面面垂直的性质和判定定理进行判断；对于C，由线面垂直的性质和判定定理进行判断；对于D，由线面平行的性质和判定定理进行判断．【解答】解：为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），对于A，由面面平行的性质和判定定理得：∥⇔α∥β，故A正确；对于B，由面面垂直的性质和判定定理得：⊥⇔α⊥β，故B正确；对于C，由线面垂直的性质和判定定理得∥⇔l⊥α，故C错误；对于D，由线面平行的性质和判定定理得⊥⇔l∥α，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．10．【分析】根据直线方程求出定点A，B的坐标，判断A，证明直线m，n垂直，判断B，再结合|PA|2+|PB|2＝|AB|2判断C，D．【解答】解：直线m的方程λx﹣y+λ＝0可化为y＝λ（x+1），所以直线m过定点（﹣1，0），直线n的方程x+λy﹣3﹣2λ＝0可化为x﹣3+λ（y﹣2）＝0，所以直线n过定点（3，2），所以点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，2），所以A错误，由已知λ×1+（﹣1）×λ＝0，所以直线m与直线n垂直，即m⊥n，B正确，因为PA⊥PB，所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2，故|PA|2+|PB|2＝（3+1）2+（2﹣0）2＝20，所以，当且仅当时等号成立，C正确；因为PA⊥PB，故|PA|2+|PB|2＝|AB|2，设点P的坐标为（x，y），则（x+1）2+y2+（x﹣3）2+（y﹣2）2＝20，化简可得x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0，又点（﹣1，2）不是直线m，n的交点，点（﹣1，2）在圆上，故点P的轨迹为圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0除去点（﹣1，2），D错误；故选：BC．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，考查转化能力，属于中档题．11．【分析】对A，B选项，若t＝1，则M与A重合，延长B1B与QP交于点E，易得过点M，P，Q的截面为等腰梯形PQD1M，再根据线面平行的性质定理，梯形面积公式，即可求解；对C，D选项，若，则M为AB的中点，连接A1C1，易知A1C1∥MP，从而得A1到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离，又易知BC1∥PQ，从而得B到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离，再利用等体积法思想，即可分别求解．【解答】解：对A，B选项，若t＝1，则M与A重合，如图所示：延长B1B与QP交于点E，易知A1B1不平行AE，∴A1B1不平行平面MPQ，∴A选项错误；连接MD1，QD1，则根据题意易知MD1∥PQ，∴过点M，P，Q的截面为等腰梯形PQD1M，又根据题意易得PM＝QD1＝，PQ＝，D1M＝，∴易得等腰梯形PQD1M的高为＝，∴等腰梯形PQD1M的面积为＝，∴B选项正确；对C，D选项，若，则M为AB的中点，连接A1C1，如图所示：易知A1C1∥MP，∴A1到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d，则根据等体积法思想可得：，又PM＝PQ＝，MQ＝＝，∴＝，∴，∴，∴d＝，∴C选项错误；又易知BC1∥PQ，∴B到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d＝，又MB＝1，设AB与平面MPQ所成角为θ，则sinθ＝＝，∴cosθ＝，∴tanθ＝＝，∴D选项正确．故选：BD．【点评】本题考查线面平行的性质定理，正方体的截面面积的求解，等体积法求解点面距，线面角的概念，属中档题．12．【分析】设A关于直线l：y＝x的对称点为A1（1，3），A关于x轴的对称点为A2（3，﹣1），对于A：根据对称性可得|PQ|+|QA|+|PA|＝|PQ|+|QA1|+|PA2|≥|A1A2|，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为|AP|+|PQ|＝|A2P|+|PQ|，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得、|AP|+|OP|＝（|A2P|+|CP|），结合点到直线的距离分析判断．【解答】解：设A（3，1）关于直线l：y＝x的对称点为A1（1，3），A（3，1）关于x轴的对称点为A2（3，﹣1），可知|QA|＝|QA1|，|PA|＝|PA2|，对于选项A：可得△APQ周长|PQ|+|QA|+|PA|＝|PQ|+|QA1|+|PA2|≥|A1A2|＝，当且仅当A1，P，Q，A2四点共线时，等号成立，所以△APQ周长的最小值为，故A错误；对于选项B：设A（3，1）到x轴，直线l：x﹣y＝0的距离分别为d1，d2，则，，所以|AP|+|AQ|的最小值为，故B正确；对于选项C：因为|AP|+|PQ|＝|A2P|+|PQ|，设A2（3，﹣1）到直线l：x﹣y＝0的距离为，，所以|AP|+|PQ|的最小值为2，故C正确；对于选项D：作PC⊥l，垂足为C，因为直线l的斜率k＝1，则∠COP＝45°，可得，则|AP|+|CP|＝|A2P|+|CP|≥d3＝，可得，所以|AP|+|OP|的最小值为4，故D正确．故选：BCD．【点评】此题考查直线方程的综合应用，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】可知，并得出，然后得出，代入向量和的坐标，进行向量坐标的数量积运算即可．【解答】解：根据题意知，，且，∴，整理得，x+y﹣2z﹣3＝0，即P点的坐标满足的方程是：x+y﹣2z﹣3＝0．故答案为：x+y﹣2z﹣3＝0．【点评】本题考查了平面法向量的定义，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．14．【分析】由两平行线间的距离＝，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为＝，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为15°或75°，故答案为：15°或75°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，两角和差的正切公式，属于基础题．15．【分析】分析题意，求出A关于x＝0，y＝x的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．【解答】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．则A（3，﹣1）关于x＝0的对称点A′（﹣3，﹣1）在直线BC上，A关于y＝x的对称点A″（﹣1，3）也在直线BC上，由两点式得，＝，所求直线BC的方程：2x﹣y+5＝0．故答案是：2x﹣y+5＝0．【点评】本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．16．【分析】推导出AC⊥平面BDD1B1，BD1⊥AC，在AB上取F，使得BF＝3FA，连接EF，记AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC1与AC所成角的余弦值．【解答】解：如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵底面是菱形，侧棱垂直底面，∴AC⊥平面BDD1B1，∴BD1⊥AC，在AB上取F，使得BF＝3FA，连接EF，则EF∥AC，BD1⊥EF，记AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（4，0，0），D1（﹣4，0，6），E（1，3，0），在BB1上取一点G，记为G（4，0，t），∴＝（﹣8，0，6），＝（3，﹣3，t），由•＝﹣24+6t＝0，解得t＝4，即BG＝2GB1，∴△EFG的边为点M的运动轨迹，由题意得FG＝＝2，EF＝＝＝6，动点M的轨迹围成的面积为S＝＝15，∴当M与G重合时，MC与平面ABCD所成角最大，∵M（4，0，4），C1（0，4，6），∴＝（﹣4，4，2），∵的一个方向向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝＝，∴异面直线MC1与AC所成角的余弦值．故答案为：15，．【点评】本题考查动点轨迹的面积、异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）首先求出直线BC的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程；（2）利用分类讨论思想求出过点B且与A、C距离相等的直线方程．【解答】解：（1）由于B（8，7），C（4，6），所以，故过点A且与直线BC平行的直线方程为，整理得x﹣4y﹣4＝0；（2）①由于A（4，0），C（4，6），故直线AC垂直于x轴，所以过点B的直线当垂直于x轴时，即直线x＝8时，满足条件；②由于A（4，0），C（4，6），故中点D（4，3），故经过点B和点D的直线满足条件，即BD的直线方程为y﹣3＝x﹣4，整理得x﹣y﹣1＝0．综上所述，满足条件的直线方程为x＝8或x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，点斜式的直线方程的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．18．【分析】（1）由空间向量的线性运算直接计算即可；（2）由空间向量的数量积与夹角公式直接计算即可．【解答】解：（1）因为，所以，因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以＝，因为，所以＝，因为，，，所以；（Ⅱ）由题意可知：，，与，的夹角均为60°，与的夹角为90°，所以＝＝，所以，因为，所以＝＝＝，设与所成的角为θ，则＝．【点评】本题考查空间向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．19．【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；（3）分①a＝1，②，③a≠1，且三种情况进行讨论分析解决．【解答】证明：（1）整理直线l的方程，得（2x﹣y+3）a+3x+y+7＝0，所以直线l过直线2x﹣y+3＝0与3x+y+7＝0的交点，联立方程组，解得，所以直线l过定点A，点A的坐标为（﹣2，﹣1）；（2）解：当截距为0时，直线l'的方程为，即x﹣2y＝0，当截距不为0时，设直l'线的方程为，则，解得，直线l'的方程为，即x+2y+4＝0，故直线l'的方程为x﹣2y＝0或x+2y+4＝0；（3）当a＝1时，直线l的方程为x＝﹣2，符合题意，当时，直线l的方程为y＝﹣1，不符合题意，当a≠1，且时，，所以，解得a＞1或，综上所述，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查了直线过定点问题，考查了直线的截距式方程，属于中档题．20．【分析】（1）设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，代入已知条件联立方程即可；（2）用M点坐标表示E点坐标，而后代入圆C方程化简即可．【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由题意得，解得a＝﹣3，b＝2，r2＝20，所以圆C的标准方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝20；（2）设M（x，y），E（x1，y1），由F（3，0）及M为线段EF的中点得，解得，又点E在圆C：（x+3）2+（y﹣2）2＝20上，所以有（2x﹣3+3）2+（2y﹣2）2＝20，化简得：x2+（y﹣1）2＝5，故所求的轨迹方程为x2+（y﹣1）2＝5．【点评】本题主要考查圆的标准方程，属中档题．21．【分析】（1）由已知条件推导出BF⊥AE，CB⊥AB，从而得到CB⊥平面ABE，由此能够证明AE⊥平面BCE．（2）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过点O平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AC﹣E的正弦值．（Ⅲ）求出＝（0，0，2），由此利用向量法能求出点D到平面ACE的距离．【解答】（1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE，∴AE⊥平面BCE．（2）解：以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴