2023-2024学年上海市高三（上）月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年上海市高三（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题（本大题共有12题，4'*6+5'*6＝54'）1．（4分）设集合P＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，Q＝{（x，y）|y＝﹣x+7，x∈R}，则P∩Q＝．2．（4分）若要用反证法证明“对于三个实数a，b，c，若a≠c，则a≠b或b≠c”，应假设．3．（4分）空间向量＝（2，2，﹣1）的单位向量的坐标是．4．（4分）已知点P（t≠0）是角α其终边上一点，若，则sinα＝．5．（4分）已知a，b∈R且a≠0，则的最小值是．6．（4分）已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为．7．（5分）已知数列{an}的前n项和，n∈N*．若{an}是等差数列，则{an}的通项公式为．8．（5分）已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为．9．（5分）已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．10．（5分）直线ax+by+c＝0与半圆x2+y2＝1（y≥0）交于A，B两点，设OA，OB的倾斜角是α，β，则cos（α+β）＝．11．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数D（x）＝为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数L（x）＝，则关于狄利克雷函数和L函数有以下四个结论：（1）D（1）＝L（1）；（2）函数L（x）是偶函数；（3）L函数图象上存在四个点A、B、C、D，使得四边形ABCD为菱形；（4）L函数图象上存在三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形．其中所有正确结论的序号是．​12．（5分）已知函数在R上恒取正值，则实数θ的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，4'*2+5'*2＝18'）（多选）13．（4分）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数不等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差14．（4分）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060﹣90混合动力汽车1050﹣60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A．p1＜3p3 B．p2＞10p3 C．p3＝1000p0 D．p2≤p1≤100p215．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ的取值范围是（）A． B． C． D．16．（5分）已知数列{an}满足，则（）A．当a1＝3时，{an}为递减数列，且存在常数M≤0，使得an＞M恒成立 B．当a1＝5时，{an}为递增数列，且存在常数M≤6，使得an＜M恒成立 C．当a1＝7时，{an}为递减数列，且存在常数M＞6，使得an＞M恒成立 D．当a1＝9时，{an}为递增数列，且存在常数M＞0，使得an＜M恒成立三、简答题（本大题共有5题，14“3+18'*2＝78'）17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，M、N分别为A1B、AC的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；（2）求A1B与平面A1B1CD所成角的大小．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinCcosB+bsinAcosC＝．（1）求角A；（2）若△ABC为锐角三角形，求4sin2B﹣4sinBsinC的取值范围．19．（14分）已知数列{an}满足：a1＝2，．（1）求证{an﹣4}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求使不等式成立的所有正整数m，n的值．20．（18分）已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx﹣1与曲线E交于A，B两个不同的点．（1）求曲线E的方程；（2）求实数k的取值范围；（3）如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S△ABC．21．（18分）已知f（x）＝lnx+，g（x）＝f（x）﹣x．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）容易证明f（x）＞1对任意的x＞1都成立，若点M的坐标为（1，1），P、Q为函数y＝f（x）图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：∠PMQ＜30°；（3）数列{an}满足a1∈（0，1），an+1＝f（an），证明：．

参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，4'*6+5'*6＝54'）1．【分析】联立直线方程，解出x，y，即可求解．【解答】解：集合P＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，Q＝{（x，y）|y＝﹣x+7，x∈R}，联立，解得，故P∩Q＝{（3，4）}．故答案为：{（3，4）}．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【解答】解：假设结论的反面成立，即a＝b且b＝c成立．故答案为：a＝b且b＝c成立．【点评】本题主要考查反证法的应用，属于基础题．3．【分析】得出，从而得出的单位向量坐标为：，然后进行向量坐标的数乘运算即可．【解答】解：，∴的单位向量的坐标为：．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．4．【分析】由任意角的三角函数的定义可求t2+3的值，即可求解sinα的值．【解答】解：由题意|OP|＝，由cosα＝＝，解得t＝±，所以sinα＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查三角函数的化简求值，属于基础题．5．【分析】根据绝对值三角不等式，即可容易求得结果．【解答】解：由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，又因为当a＞0时，；当a＜0时，，所以，当且仅当a＝±2时，等号成立，所以≥4，当且仅当或﹣2时，等号成立，即的最小值是4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基础题．6．【分析】利用二项展开式的通项公式，根据第4项为常数项，求得n，可得展开式系数有4项为奇数，3项为偶数，从而求得从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率．【解答】解：∵的展开式中的第4项为xn﹣6，为常数项，∴n＝6，故展开式的系数为，r＝0，1，2，3，4，5，6，其中，有4项为奇数，3项为偶数，故从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，古典概率，属于基础题．7．【分析】利用等差数列的定义以及Sn，an的关系即可得出结论．【解答】解：已知，当n＝1时，a1＝S1＝2a﹣1；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2（a﹣2）n+（3﹣a），此时，当n＝2时，a2＝4（a﹣2）+（3﹣a）＝3a﹣5，当n≥2时，an+1﹣an＝2（a﹣2），而a2﹣a1＝3a﹣5﹣（2a﹣1）＝a﹣4，若数列{an}是等差数列，则2（a﹣2）＝a﹣4，所以a＝0，则an＝﹣4n+3．故答案为：an＝﹣4n+3．【点评】本题考查了等差数列的性质，重点考查了数列通项公式的求法，属中档题．8．【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）＝2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x＝x0，由条件求得x0＝0，可得g（0）＝2，即2sin（2φ+）＝2，从而求得φ的值．【解答】解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin[2（x+φ）+]＝2sin（2x+2φ+）的图象，再根据y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，设g（x）的对称轴x＝x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即＝1，求得x0＝0，可得g（0）＝2，即2sin（2φ+）＝2，∴φ＝，故答案为：．【点评】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．9．【分析】建系，设C（m，0），B（﹣m，0），A（0，n），可得D（，），进而由题意可得BD2＝（）2+（）2＝4，故三角形的面积S＝mn＝••≤•＝，注意等号成立的条件即可．【解答】解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系，设C（m，0），则B（﹣m，0），A（0，n），由中点坐标公式可得D（，），由题意可得BD2＝（）2+（）2＝4，∴三角形的面积S＝mn＝••≤•＝当且仅当＝即n＝3m时取等号，∴三角形的面积的最大值为故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．10．【分析】由三角函数的定义得：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝x1x2﹣y1y2，联立，利用韦达定理即可求解．【解答】解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，由三角函数的定义得：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝x1x2﹣y1y2，联立可得（a2+b2）x2+2acx+c2﹣b2＝0，，b2y1y2＝（﹣ax1﹣c）（﹣ax2﹣c）＝a2x1x2+ac（x1+x2）+c2＝，所以cos（α+β）＝x1x2﹣y1y2＝﹣＝．故答案为：＝．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．11．【分析】根据狄利克雷函数的定义，结合奇偶性即可判断（1）（2）；利用反证法证明（3）错误；直接取点说明（4）正确．【解答】解：由题意得，D（1）＝L（1）＝1，故（1）正确；由L（x）＝，得L（﹣1）＝﹣1，L（1）＝1，不满足L（﹣1）＝L（1），则函数L（x）不是偶函数，故（2）错误；L函数图像上的点要么在直线y＝x上，要么在直线y＝0上，若L函数图像上存在四个点A、B、C、D，使得四边形ABCD为菱形，∵菱形的对角线互相垂直平分，则直线y＝x和y＝0不是对角线所在直线方程，不妨设A（a，a），B（b，b），C（m，0），D（n，0），则AC与BD互相垂直平分，可得，可得A与B，C与D重合，且方程组不成立，故（3）错误；取L函数图象上三个点A（3，3），B（3﹣，0），C（3+，0），则AB＝BC＝AC＝2，使得△ABC为等边三角形，故（4）正确．故答案为：（1）（4）．【点评】本题考查了狄利克雷函数及该函数的奇偶性，综合运算能力，是中档题．12．【分析】由题意可得4x（cosθ+1）+9x（sinθ+1）＞2×6x恒成立，即（）x（cosθ+1）+（）x（sinθ+1）＞2恒成立，设t＝（）x，则有t（cosθ+1）+（sinθ+1）≥2，进而得sinθcosθ+sinθ+cosθ＞1，令μ＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），则有μ2+2μ﹣3＞0，从而得1＜μ≤，再结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：已知条件等价于不等式4x（cosθ+1）+9x（sinθ+1）＞2×6x恒成立，上式两边同除以6x，则有（）x（cosθ+1）+（）x（sinθ+1）＞2，设t＝（）x，则t∈（0，+∞），下面求（）x（cosθ+1）+（）x（sinθ+1）＝t（cosθ+1）+（sinθ+1）的最小值，由t（cosθ+1）+（sinθ+1）≥2，当且仅当t2＝时，上式等号成立，于是t（cosθ+1）+（sinθ+1）的最小值为2，根据题意得2＞2，即sinθcosθ+sinθ+cosθ＞1．①令μ＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），则μ∈[﹣，]，因此式①化为μ2+2μ﹣3＞0，解得μ＜﹣3或μ＞1，结合μ的范围，得1＜μ≤．则＜sin（θ+）≤1．于是2kπ+＜θ+＜2kπ+（k∈Z）．故θ的取值范围是（2kπ，2kπ+）（k∈Z）．故答案为：（2kπ，2kπ+）（k∈Z）．【点评】本题考查了基本不等式的应用、三角函数的性质及转化思想，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，4'*2+5'*2＝18'）13．【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．【解答】解：对于选项A，令样本数据x1，x2，⋯，x6为1，2，2，2，2，9，则x2，x3，x4，x5的平均数为2，而x1，x2，⋯，x6的平均数为3，两者不相等，故A错误；对于选项B，不妨令x1，x2，…，x6从小到大排列，所以x2，x3，x4，x5的中位数等于的中位数等于，故B正确；对选项于C，令样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，所以x1，x2，⋯，x6的方差+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2，x2，x3，x4，x5的方差，所以，∴s1＞s2，故C错误；对于选项D，不妨令x1，x2，…，x6从小到大排列，则x6≥x5，x2≥x1，∴x6﹣x1≥x5﹣x2，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了平均数，中位数，标准差，极差的概念，属于基础题．14．【分析】A选项，根据公式得到，A错误；B选项，根据公式得到；C选项，根据公式得到p3＝100p0；D选项，根据公式得到．【解答】解：A选项，燃油汽车，解得，混合动力汽车，解得，电动汽车，解得，因为60≤L1≤90，50≤L2≤60，L3＝40，所以，A错误；B选项，，B错误；C选项，，C错误；D选项，，故p2≤p1≤100p2，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．15．【分析】设＝λ，以B1为原点建立坐标系，则＝（1，1，1）是平面A1BC1的一个法向量．＝（﹣λ，λ﹣，1）的坐标，得出sinα＝|cos＜，＞|关于λ的函数，根据二次函数的性质得出sinθ的取值范围．【解答】解：设正方体边长为1，＝λ（0≤λ≤1）．以D为原点，分别以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（，，0），P（1﹣λ，λ，1），∴＝（﹣λ，λ﹣，1），∵易证DB1⊥平面A1BC1，∴＝（1，1，1）是平面A1BC1的一个法向量．∴sinθ＝|cos＜，＞|＝，当λ＝时sinθ取得最大值，当λ＝0或1时，sinθ取得最小值．故选：A．【点评】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．16．【分析】利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误．【解答】解：因为，故，对于A，若a1＝3，可用数学归纳法证明：an﹣6≤﹣3，即an≤3，证明：当n＝1时，a1﹣6＝﹣3≤﹣3，此时不等关系an≤3成立；设当n＝k时，ak﹣6≤﹣3成立，则，故ak+1﹣6≤﹣3成立，由数学归纳法可得an≤3成立．而，，an﹣6＜0，故an+1﹣an＜0，故an+1＜an，故{an}为减数列，注意ak+1﹣6≤﹣3＜0，故，结合an+1﹣6＜0，所以，故，故，若存在常数M≤0，使得an＞M恒成立，则，故，故，故an＞M恒成立仅对部分n成立，故A不成立．对于B，若a1＝5，可用数学归纳法证明：﹣1≤an﹣6＜0，即5≤an＜6，证明：当n＝1时，﹣1≤a1﹣6＝﹣1≤0，此时不等关系5≤an＜6成立；设当n＝k时，5≤ak＜6成立，则，故﹣1≤ak+1﹣6＜0成立，即由数学归纳法可得5≤ak+1＜6成立．而，，an﹣6＜0，故an+1﹣an＞0，故an+1＞an，故{an}为增数列，若M＝6，则an＜6恒成立，故B正确．对于C，当a1＝7时，可用数学归纳法证明：0＜an﹣6≤1，即6＜an≤7，证明：当n＝1时，0＜a1﹣6≤1，此时不等关系成立；设当n＝k时，6＜ak≤7成立，则，故0＜ak+1﹣6≤1成立，即6＜ak+1≤7由数学归纳法可得6＜an≤7成立．而，故an+1＜an，故{an}为减数列，又，结合an+1﹣6＞0可得：，所以，若，若存在常数M＞6，使得an＞M恒成立，则恒成立，故，n的个数有限，矛盾，故C错误．对于D，当a1＝9时，可用数学归纳法证明：an﹣6≥3即an≥9，证明：当n＝1时，a1﹣6＝3≥3，此时不等关系成立；设当n＝k时，ak≥9成立，则，故ak+1≥9成立由数学归纳法可得an≥9成立．而，故an+1＞an，故{an}为增数列，又，结合an﹣6＞0可得：，所以，若存在常数M＞0，使得an＜M恒成立，则，故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误．故选：B．【点评】本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，14“3+18'*2＝78'）17．【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面BCC1B1的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面A1B1CD的法向量，利用空间向量求解即可．【解答】（1）证明：如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），所以，因为DC⊥平面BCC1B1，所以平面BCC1B1的一个法向量为，因为，所以，因为MN不在平面BCC1B1内，所以MN∥平面BCC1B1．（2），，，设平面A1B1CD的一个法向量为则，令z＝1，则x＝﹣1，y＝0，所以，设A1B与平面A1B1CD所成角为θ，则，因为0°≤θ＜180°，所以A1B与平面A1B1CD所成角为30°．【点评】本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．18．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin2A＝sinA，由A∈（0，π），sinA≠0，可求sinA＝，进而可求得A的值；（2）由题意可求得A＝，可求得＜B＜，利用三角函数恒等变换的应用可求4sin2B﹣4sinBsinC＝1﹣2sin（2B+），进而利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）因为asinCcosB+bsinAcosC＝，所以由正弦定理可得sinAsinCcosB+sinBsinAcosC＝sinA，所以sinA（sinCcosB+sinBcosC）＝sinAsin（B+C）＝sin2A＝sinA，因为A∈（0，π），sinA≠0，所以sinA＝，可得A＝或；（2）若△ABC为锐角三角形，由（1）可得A＝，所以，可得＜B＜，因为4sin2B﹣4sinBsinC＝4sin2B﹣4sinBsin（﹣B）＝4sin2B﹣4sinB（cosB+sinB）＝2sin2B﹣2sinBcosB＝1﹣（cos2B+sin2B）＝1﹣2sin（2B+），又B∈（，），可得2B+∈（，），所以sin（2B+）∈（﹣，1），所以4sin2B﹣4sinBsinC＝1﹣2sin（2B+）∈（﹣1，2），即4sin2B﹣4sinBsinC的取值范围是（﹣1，2）．【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想的应用，属于中档题．19．【分析】（1）令bn＝an﹣4，利用等比数列的定义即可证数列{bn}是等比数列，利用等比数列的通项公式求得数列{bn}的通项公式，即可解得数列{an}的通项公式．（2）利用（1）中求得的解得，代入不等式分析并分类讨论，根据不等式的解法即可解得正整数m，n的值．【解答】解：（1）证明：由题意，令bn＝an﹣4，则b1＝a1﹣4＝﹣2，由题意，，易知bn≠0，∴，∴数列{bn}是首项为﹣2，公比为的等比数列，∴，∴．（2）解：由（1）知，则，∴不等式即，∵2n＜2n+1，∴，∴，∵当m≥4时，，，∴，不满足要求；∴m＜4，又m∈N*，n∈N*∴当m＝1时，，即可解得：，∴n＝1；当m＝2时，，即，可解得：1＜2n＜4，∴n＝1；当m＝3时，，即，可解得：2＜2n＜8，∴n＝2．综上，使不等式成立的所有正整数m，n的值为或或．【点评】本题考查了等比数列的定义，数列不等式，属于较难题．20．【分析】（1）首先根据曲线的定义判断出曲线E是双曲线的左支，a和c已知，则可求得b，曲线E的方程可得；（2）设出A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，进而根据直线与双曲线左支交于两点A，B，联立不等式求得k的范围；（3）根据弦长公式求得|AB|的表达式，根据结果为6求得k，则直线AB的方程可得，设C（x0，y0），根据，可得；根据x1+x2和y1+y2的值求得C点的坐标，代入双曲线方程求得m的值，进而求得点C到直线AB的距离，最后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，且，易知b＝1，故曲线E的方程为x2﹣y2＝1（x＜0）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组，消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有，解得．所以k的取值范围是．（3）∵＝＝＝，依题意得，整理后得28k4﹣55k2+25＝0，∴或，但，∴，故直线AB的方程为，设C（x0，y0），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）＝（mx0，my0），∴，（m≠0）又，∴点C将点C的坐标代入曲线E的方程，得，解得m＝±4，但当m＝﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m＝4，点C的坐标为，C到AB的距离为，∴△ABC的面积．故△ABC的面积为．【点评】此题考查了双曲线的方程，考查了直线与双曲线相交，考查了方程思想，属于难题．21．【分析】（1）求导分析f′（x）的符号