解直角三角形应用举例市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2解直角三角形（2）用数学视觉观察世界用数学思维思考世界第1页在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形依据(2)两锐角之间关系:∠A＋∠

B＝90º；(3)边角之间关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc知识回顾(必有一边)第2页

温故而知新ABC┌如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=（3）若∠A=α°，AC=3，则BC=（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=第3页例3：6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面343km圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点正上方时，从中能直接看到地球上表面最远点在什么位置？最远点与P点距离是多少？（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）

分析：从组合体中能直接看到地球上点，应是视线与地球相切时切点．·OQFPα如图，⊙O表示地球，点F是组合体位置，FQ是⊙O切线，切点Q是从组合体中观察地球时最远点．长就是地面上P、Q两点间距离，为计算长需先求出∠POQ（即a）度数.例题第4页解：在图中，设∠POQ=aFQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．∴弧PQ长为当飞船在P点正上方时，从飞船观察地球时最远点距离P点约.6km·OQFPα第5页仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线夹角叫做俯角.介绍:第6页例4:热气球探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部仰角为30°，看这栋高楼底部俯角为60°，热气球与高楼水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果准确到0.1m）分析：我们知道，在视线与水平线所成角中视线在水平线上方是仰角，视线在水平线下方是俯角，所以，在图中，a=30°,β=60°Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形知识求出BD；类似地能够求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角仰角与俯角第7页解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ第8页1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40mD处观察旗杆顶部A仰角54°，观察底部B仰角为45°，求旗杆高度（准确到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋杆高度为15.2m.练习第9页2.如图，沿AC方向开山修路．为了加紧施工进度，要在小山另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远恰好能使A，C，E成一直线（准确到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D332.8m恰好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE一个外角第10页

当堂反馈3.如图3，从地面上C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于

（根号保留）．4.如图4，将宽为1cm纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重合部分面积为

（根号保留）．

图3图4第11页

当堂反馈6.如图2，在离铁塔BE120mA处，用测角仪测量塔顶仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．图1图25.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°C第12页指南或指北方向线与目标方向线组成小于900角,叫做方位角.如图：点A在O北偏东30°点B在点O南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南方位角介绍:第13页例5如图，一艘海轮位于灯塔P北偏东65°方向，距离灯塔80海里A处，它沿正南方向航行一段时间后，抵达位于灯塔P南偏东34°方向上B处，这时，海轮所在B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮抵达位于灯塔P南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．65°34°PBCA第14页利用解直角三角形知识处理实际问题普通过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形问题)2.依据条件特点,适当选取锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题答案;4.得到实际问题答案.第15页巩固练习：海中有一个小岛A，它周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里抵达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，假如渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？BADF60°1230°第16页BADF解：由点A作BD垂线交BD延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，依据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8没有触礁危险30°60°第17页1.如图所表示，轮船以32海里每小时速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在轮船北偏东30°处，半小时航行到B处，发觉此时灯塔Q与轮船距离最短，求灯塔Q到B处距离（画出图像后再计算）ABQ30°相信你能行第18页A2．如图所表示，一渔船上渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时速度向正东航行，半小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船距离是()海里.海里C.7海里D.14海里D第19页修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡倾斜程度.坡面铅垂高度（h）和水平长度（l）比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1∶m形式，如i=1∶6.坡面与水平面夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana.

显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.第20页例5.如图，拦水坝横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面铅直高度DE与水平宽度CE比），依据图中数据求：（1）坡角a和β;（2）斜坡AB长（准确到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°第21页19.4.6

如图一段路基横断面是梯形，高为4.2米，上底宽是12.51米，路基坡面与地面倾角分别是32°和28°．求路基下底宽．（准确到0.1米）想一想1.认清图形中相关线段;2.分析辅助线作法;3.坡角在解题中作用;4.探索解题过程.练习第22页解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.在Rt△ADE中，因为所以

在Rt△BCF中，同理可得所以AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底宽约为27.13米．第23页4如图,水库大坝截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.(1)求坡角∠ABC大小;(2)假如坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果准确到0.01m3).咋办先结构直角三角形!ABCD第24页2.01:2.51:2BCADEF探究题如图,沿水库拦水坝背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,求:(1)原背水坡坡角和加宽后背水坡坡角;(2)加宽后水坝横截面面积