辽宁省鞍山市第五十中学高三数学文上学期期末试卷含解析

辽宁省鞍山市第五十中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i是虚数单位，复数等于

A．

B．

C．

D．1-i参考答案：A2.函数的图象A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称参考答案：D本题考查的知识点是函数的奇偶性，，是偶函数，所以图像关于关于y轴对称所以答案是D。3.已知正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（）A． B． C． D．不存在参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】由正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项am，an，使得，知m+n=6，由此能求出的最小值．【解答】解：∵正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，∴，即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，∵存在两项am，an，使得，∴，∴，∴，所以，m+n=6，∴=（）[（m+n）]=（5++）≥（5+2）=，所以，的最小值是．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．4.已知命题是真命题，命题是假命题，那么下列命题中是假命题的是（

）A．

B．或

C．且

D．且参考答案：C5.已知，，若，则＝A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：B因为，所以，即，即，所以，故选B．6.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是

()参考答案：A7.下列命题中的假命题是（）A．?x∈R，lgx=0 B．?x∈R，tanx=0 C．?x∈R，2x＞0 D．?x∈R，x2＞0参考答案：D考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 简易逻辑．分析： 举例说明是A、B真命题，根据指数函数的定义与性质，判断C是真命题；举例说明D是假命题．解答： 解：对于A，x=1时，lg1=0，∴A是真命题；对于B，x=0时，tan0=0，∴B是真命题；对于C，?x∈R，2x＞0，∴C是真命题；对于D，当x=0时，x2=0，∴D是假命题．故选：D．点评： 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目．8.函数的图象大致是（

）参考答案：D令，则，为上的偶函数，故B错误.当，，，若时，，故在上为减函数；若时，，故在上为增函数；故选D.

9.为得到函数的图象，可以将函数的图象（A）向左平移个单位 （B）向左平移个单位（C）向右平移个单位 （D）向右平移个单位参考答案：B因为，所以可以将函数的图象向左平移个单位，得到，所以选B.10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是内（不含边界）的一个动点，若，则线段A1P的长的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先判断是正四面体，可得正四面体的棱长为，则的最大值为的长，的最小值是到平面的距离，结合不在三角形的边上，计算可得结果.【详解】由正方体的性质可知，是正四面体，且正四面体的棱长为，在内，的最大值为，的最小值是到平面的距离，设在平面的射影为,则为正三角形的中心，，，的最小值为，又因为不在三角形的边上，所以的范围是，故选C.【点睛】本题主要考查正方体的性质及立体几何求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于

.参考答案：12.【题文】已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为

.参考答案：13.已知函数，若关于x的方程有8个不同根，则实数b的取值范围是___________________参考答案：在上有2个根令

在上有2个根所以解得

思路点拨；运用图像画出圆然后利用二次函数两个根,最后利用根分布求范围14.设，且满足：，，则

。参考答案：由柯西不等式知，结合已知条件得，从而解得，。【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）15.关于函数(x∈R)，有下列命题：（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-);（2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x)的图象关于点(—,0)对称;（4）y=f(x)的图象关于直线x=—对称;其中正确的命题序号是_____．参考答案：略16.已知菱形ABCD边长为2，，点P满足=λ，λ∈R，若=﹣3，则λ的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出，列出方程解出λ．【解答】解：∵=λ，∴=﹣=（λ﹣1）．∴=﹣=（λ﹣1）﹣．∵==．∴=[（λ﹣1）﹣]?（）=（1﹣λ）﹣+λ=﹣3．∵，=2×=﹣2．∴4（1﹣λ）﹣4﹣2λ=﹣3．解得．故答案为．17.正方体的棱长为2，则三棱锥与三棱锥公共部分的体积等于_______参考答案：【知识点】几何体的结构，几何体的体积.G1

解析：设,取中点P，则三棱锥与三棱锥公共部分的体积为.【思路点拨】画出图行可知两三棱锥公共部分的结构，从而利用三棱锥的体积公式求解.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试．（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A0B，由此能求出2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“2016年期末考试时取到i个新题库（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）．又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库，所以；；，所以ξ的分布列为ξ012Pξ的数学期望为．（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B，A1B，A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=．所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19.已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3．（1）设a=1，求函数f（x）的极值；（2）若，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．参考答案：解：（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x2﹣6x﹣9．令f′（x）=0，解得x1=﹣1，x2=3．列表讨论f（x），f′（x）的变化情况：所以，f（x）的极大值是f（﹣1）=6，极小值是f（3）=﹣26．（2）f′（x）=3x2﹣6ax﹣9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．若，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3﹣6a﹣9a2，最大值是f′（4a）=15a2．由|f′（x）|≤12a，得﹣12a≤3x2﹣6ax﹣9a2≤12a，于是有（1）=3﹣6a﹣9a2≥﹣12a，且f′（4a）=15a2≤12a．由f′（1）≥﹣12a得﹣≤a≤1，由f′（4a）≤12a得所以，即．若a＞1，则∵|f′（a）|=15a2＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立．所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是略20.已知函数f（x）=ax3+x．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数g（x）=f′（x）（x2+px+q）（其中f′（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线x=1对称，求函数g（x）的最大值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，检验即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出g（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax3+x有f'（x）=3ax2+1因为f（x）在x=1处取得极值，故f'（1）=3a+1=0∴经检验：当时，符合题意，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）=（﹣x2+1）（x2+px+q）∵g（x）的图象关于直线x=﹣1对称，故函数g（x﹣1）为偶函数又g（x﹣1）=[﹣（x﹣1）2+1][（x﹣1）2+p（x﹣1）+q]=﹣x4+（4﹣p）x3+（3p﹣q﹣5）x2+2（1﹣p+q）x∴，解得p=4，q=3∴g（x）=（﹣x2+1）（x2+4x+3）∴g'（x）=﹣2x（x2+4x+3）+（﹣x2+1）（2x+4）=﹣4（x+1）（x2+2x﹣1）令g'（x）＞0有或令g'（x）＜0有或∴函数g（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减∴函数g（x）的最大值