高中数学第三章导数及其应用3.3.1单调性省公开课一等奖新名师获奖课件

3.3.1单调性第3章§3.3导数在研究函数中应用1/311.结合实例，直观探索并掌握函数单调性与导数关系.2.能利用导数研究函数单调性，并能够利用单调性证实一些简单不等式.3.会求函数单调区间(其中多项式函数普通不超出三次).学习目标2/31栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠3/31知识梳理自主学习知识点一函数单调性与导数关系(1)在区间(a，b)内函数导数与单调性有以下关系：导数函数单调性f′(x)>0单调递___f′(x)<0单调递___f′(x)＝0常函数增减答案4/31(2)在区间(a，b)内函数单调性与导数有以下关系：函数单调性导数单调递___f′(x)≥0单调递___f′(x)≤0常函数f′(x)＝0增减答案思索在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0什么条件？答案必要不充分条件.5/31知识点二利用导数求函数单调区间求可导函数单调区间基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内部分为单调递减区间.返回6/31题型探究重点突破解析答案题型一利用导数判断函数单调性则cosx<0，∴xcosx－sinx<0，反思与感悟7/31反思与感悟关于利用导数证实函数单调性问题：(1)首先考虑函数定义域，全部函数性质研究必须确保在定义域内这个前提下进行.(2)f′(x)>0(或<0)，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要尤其注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥0(或≤0).8/31解析答案又0<x<e，∴lnx<lne＝1.故f(x)在区间(0，e)上是增函数.9/31解析答案题型二利用导数求函数单调区间例2求以下函数单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；解f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)＞0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0解得－3<x<2.故f(x)增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2).10/31解析答案(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π)；解f′(x)＝cosx－1.因为0<x<π，所以cosx－1＜0恒成立，故函数f(x)单调递减区间为(0，π).11/31解析答案(3)f(x)＝3x2－2lnx；解函数定义域为(0，＋∞)，12/31解析答案(4)f(x)＝x3－3tx.解f′(x)＝3x2－3t.令f′(x)＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数增区间是(－∞，＋∞)；反思与感悟13/31反思与感悟求函数单调区间详细步骤：(1)优先确定f(x)定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0区间为减区间.14/31解析答案15/31解方法一函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1,0)，(0,1).解析答案16/31方法二函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)单调递增↗－4单调递减↘单调递减↘4单调递增↗所以函数f(x)单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1,0)，(0,1).17/31解析答案反思与感悟18/31要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立.∴(2x3)min＝16，∴a≤16.∴a取值范围是(－∞，16].反思与感悟19/31反思与感悟已知函数单调性，求函数解析式中参数取值范围，可转化为不等式恒成立问题，普通地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用相关方法可求出参数取值范围.20/31解析答案跟踪训练3

若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上单调函数.求实数m取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.21/31解析答案返回解后反思例4

已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数底，求证：ab＞ba.分析观察ab＞ba，两边取对数即有blna＞alnb，从函数角度考虑blna与alnb，解题技巧结构法应用证实当b＞a＞e时，要证ab＞ba，只要证blna＞alnb，故ab＞ba.22/31

“结构”是一个主要而灵活思维方式，应用好结构思想解题关键是：一要有明确方向，即为何目标而结构；二是要搞清条件本质特点，方便重新进行逻辑组合.返回解后反思23/31当堂检测12345解析答案1.函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是________函数.(填“增”或“减”)∴函数在(0,6)上单调递增.增24/31解析答案123452.f′(x)是函数y＝f(x)导函数，若y＝f′(x)图象如图所表示，则函数y＝f(x)图象可能是________.解析由导函数图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.经过观察易知④符合.④25/31123453.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a取值范围是__________.解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.解析答案[1，＋∞)26/31解析答案123454.函数y＝x2－4x＋a增区间为___________，减区间为__________.解析y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).(2，＋∞)(－∞，2)27/31解析答案1234528/31解析答案12345因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解.又因为函数f(x)定义域为(0，＋∞)，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解.①当a＞0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a＜0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下抛物线，若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，29/3112345③当a＝0时，显然符合题意.总而言之，a取值范围是(－1，＋∞).