上海师范大学附属外国语中学高三数学理期末试题含解析

上海师范大学附属外国语中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数y＝sin(2x+?)的图象向右平移个周期后，所得图像关于y轴对称，则?的最小正值是

A．

B．π

C．

D．2π参考答案：B2.已知集合，，则(

)A． B．C． D．参考答案：B3.甲、乙、丙等个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（

）． A． B． C． D．参考答案：B先排甲、乙、丙，共有种排法，再将剩余人插进去，∴人排成一排，甲、乙不在丙同侧的排法共有种．故选．4.已知函数又若关于x的方程有四个不同的实根，则实数t的取值范围为(

)A. B. C. D.参考答案：A当时，恒成立，在上单调递增，当时，，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，在有一个最大值，，要使方程有四个不同的实数根，令，则方程应有两个不等的实根且，令，只需，即，得，即的取值范围是，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.5.函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，3） B．（﹣2，3] C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，3]参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2＜x≤3，故选：B．6.已知全集，集合，，则集合（

）A．(－∞,－1] B．(－1,2) C．(－∞,－1]∪[2,+∞)D．[2,+∞)参考答案：A由题意可得：，则集合.本题选择A选项.7.定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略8.函数的图象可能是下列图象中的参考答案：C9.函数的图象大致是（

）A．B．C.D．参考答案：A10.已知函数，若，则实数a等于

A、

B、

C、2

D、4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是．参考答案：ρ=2cosθ【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：设圆上的任意一点为（ρ，θ），利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】：解：设圆上的任意一点为（ρ，θ），则以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是ρ=2cosθ．故答案为：ρ=2cosθ．【点评】：本题考查了圆的极坐标方程、直角三角形的边角关系，属于基础题．12.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．参考答案：π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即可得出结论．【解答】解：直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即=π．故答案为π．13.已知点，若，则点的坐标为__*___.参考答案：(0,3)略14.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球表面积为____________

参考答案：略15.已知，则的最大值为

.参考答案：【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6

【答案解析】

解析：由题意得，x，y∈R+，x2+=1，则设x=cosθ＞0，y=sinθ＞0，所以x===≤×==，当且仅当2cos2θ=1+2sin2θ时取等号，此时sinθ=，所以x的最大值为：，故答案为：．【思路点拨】根据椭圆的方程可设x=cosθ、y=2sinθ，代入式子x化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．16.设m，n是任意正整数，定义.对于任意的正整数k，t，设，，则

．参考答案：15∵，∴∵∴故答案为15.

17.已知数列{an}满足：()，记Sn为{an}的前n项和，则S40=．参考答案：440当n=2k时，即①当n=2k-1时，即②当n=2k+1时，即③①+②③-①S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在中，内角所对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）如果，求面积的最大值．参考答案：（1），由正弦定理得，

………3分.

…………5分（2），

……………6分又，所以，当且仅当取等号.………8分，为正三角形时，.

……………10分19.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A、B两点，求.参考答案：(1).(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，又由，可得，即，所以曲线的普通方程为.由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即直线的方程为，即.（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.化简得：，则.所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3

5

3

3

8

5

5

6

3

4

6

3

4

7

5

3

4

8

5

38

3

4

3

4

4

7

5

6

7该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．参考答案：解析：（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．

…………3分∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为,

………4分二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为,

…5分三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为．…6分（Ⅱ）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，

……………7分记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：

,,，，，,,

,,，,,,共15种，

…………10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件，则包含的基本事件有共3种，………11分故所求的概率．

……12分21.已知函数在点处的切线方程为． (Ⅰ）求的表达式； (Ⅱ）若满足恒成立,则称是的一个“上界函数”,如果函数为（R）的一个“上界函数”,求实数的取值范围； (Ⅲ）当时,讨论在区间（0,2）上极值点的个数．

参考答案：（1）

，∴

（3分）（2）∵恒成立∴恒成立

，

∴当，∴的最小值为∴

（8分）（3），令=0，得（9分）当时，，为在区间（0,2）上的极大值点；当时，，为在区间（0,2）上的极值点；当时，在区间（0,2）上无极值点；当时，，为在区间（0,2）上的极值点；当时，，为在区间（0,2）上的极大值点；当时，，为在区间（0,2）上的极大值点；由以上可知：当或时，在区间（0,2）上有