山西省晋城市水村中学高三数学文摸底试卷含解析

山西省晋城市水村中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知

（

）参考答案：C2.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+，则S2015的值是（）A． B．C．2015 D．参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】2Sn=an+，可得，解得a1=1．同理解得，．…，猜想．．验证满足条件，进而得出．【解答】解：∵2Sn=an+，∴，解得a1=1．当n=2时，2（1+a2）=，化为=0，又a2＞0，解得，同理可得．猜想．验证：2Sn=…+=，==，因此满足2Sn=an+，∴．∴Sn=．∴S2015=．故选：D．【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．3.函数在区间上的最大值是（

）

A． B． C．

D．

参考答案：略4.表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．12π B． C．π D．π参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正方体的表面积为24，得到正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的体积即可．【解答】解：表面积为24的正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2，就是球的直径，∴球的体积为：S=π（）3=4π．故选：C．5.函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：B6.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x都有x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）的解集是（）A．（，+∞） B．（0，） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，设g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，设g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．∵不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）∴g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得x＜．∴不等式x2f（x）＜（3x﹣1）2f（1﹣3x）的解集为：（﹣∞，）．故选：C．7.向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正边形内的概率为下列论断正确的是（

）A．随着的增大，增大

B．随着的增大，减小C．随着的增大，先增大后减小

D．随着的增大，先减小后增大参考答案：A ,设,可知,可时,当时,,故在时单调递增.8.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=10，S12=130，则S8=（）A．﹣30 B．40 C．40或﹣30 D．40或﹣50参考答案：B【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质：数列{an}为等比数列，且数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，…也构成等比数列，结合已知中S3=2，S9=14，可得答案．【解答】解：∵数列{an}为等比数列且数列{an}的前n项和为Sn，∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也构成等比数列．∴（S8﹣S4）2=S4?（S12﹣S8），∵S4=10，S12=130，各项均为正数的等比数列{an}，∴（S8﹣10）2=10?（130﹣S8），∴S8=40．故选：B．【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质，Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，…也构成等比数列，是解答的关键．9.设全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，N={4，5}，则?UM）∪N=（）A．{1} B．[1，5} C．{4，5} D．{1，4，5}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义，进行运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，∴?UM={1，5}；又N={4，5}，∴（?UM）∪N={1，4，5}．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．10.如图为互相垂直的两个单位向量，则（

）A．20

B．

C．

D．参考答案：【知识点】向量的坐标运算F2C解析：分别以的方向为x,y轴方向建立直角坐标系，则，，所以选C.【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，若点A，B，C，D都在一个以O为球心的球面上，则球O的体积为_________

.参考答案：略12.已知m>0,n>0,向量，且，则的最小值是_____________.参考答案：略13.设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．参考答案：f（2n）≥（n∈N*）考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．解答：解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）14.已知圆与圆交于两点，则直线的方程为

.参考答案：x-y-1=0【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x-1）2+（y+1）2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为：

x2+y2-1-[（x-1）2+（y+1）2-1]=0即x-y-1=0【思路点拨】将两个方程相减，即可得到公共弦AB的方程，然后根据半弦长与弦心距及圆半径，构成直角三角形，满足勾股定理，易求出公共弦AB的长．15.已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．参考答案：（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．16.已知tan（α+）=2，则tanα=．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得tanα的值．【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴=2，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．17.已知在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD面积的最大值为__________．参考答案：设,则在中,由余弦定理有,所以四边形面积,所以当时,四边形面积有最大值.点睛:本题主要考查解三角形,属于中档题.本题思路:在中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把四边形面积写成这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当时,四边形面积有最大值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，男生打分的平均分为：=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：=0.45，∴最高矩形的高h==0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n==20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=．19.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.参考答案：⑴设，，则：，分两种情况：是奇数，则，，若是偶数，则，，⑵当时，∴⑶∵，∴，∴由定义可知：∴∴∴∵，∴，综上可知：当时，都有

略20.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3成等差数列．（Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列；（Ⅱ）设bn=2an﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）an+1=λSn+1（n∈N*），可得an=λSn﹣1+1（n≥2），相减可得：an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由，且a1、2a2、a3+3成等差数列．可得4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，解得λ=1，可得an，进而得到bn．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：∵an+1=λSn+1（n∈N*），∴an=λSn﹣1+1（n≥2），∴an+1﹣an=λan，即an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，又a1=1，a2=λS1+1=λ+1，∴数列{an}是以1为首项，公比为λ+1的等比数列，（Ⅱ）解：∵，且a1、2a2、a3+3成等差数列．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得λ2﹣2λ+1=0，得λ=1，∴．∴，∴，==2n+1﹣2﹣n．21.在中，已知．（Ⅰ）求角的值．（Ⅱ）若，，求的面积．参考答案：（）∵，∴．∵，∴，从而．∴．（）∵，，根据正弦定理得，∴．∵，∴．所以的面积．22.已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C