山西省太原市矿山机器集团有限公司子弟中学高三数学文模拟试卷含解析

山西省太原市矿山机器集团有限公司子弟中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若(

)A．

B．C．

D．参考答案：A略2.下列说法正确的是（

）A．“为真”是“为真”的充分不必要条件；B．已知随机变量，且，则；C．若，则不等式成立的概率是；D．已知空间直线，若，，则．参考答案：B3.下列命题中的真命题是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B

，所以A、C、D都是假命题。令对于恒成立，故在上单调递增，，B是真命题。4.某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有A．50种

B．70种

C．35种

D．55种参考答案：A略5.等腰三角形中，边中线上任意一点，则的值为A.

B.

C.5

D.参考答案：A略6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：A7.设α为锐角，若，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】GI：三角函数的化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．【解答】解：∵α为锐角，若，设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=（﹣）×﹣（﹣）×=．故选：B．8.已知，且的终边上一点的坐标为，则等于（

）A．

B．C．D．参考答案：B因为，所以是第四象限的角且，所以。9.直线与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极大值点，与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=（）A． B． C． D．2参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到cosx1=，点斜式写出AB直线的方程，求出点B的横坐标，由=?cos∠ABC==（x1﹣xB）2求出结果．【解答】解：∵P（，1），直线l的斜率即为OP的斜率=．设A（x1，y1），由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率，∴cosx1=，y1=sinx1==，∴AB直线的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0可得点B的横坐标xB=x1﹣y1，由=?cos∠ABC==（x1﹣xB）2==×=，故选B．【点评】本题考查直线的斜率公式，函数的导数与斜率的关系，求直线的点斜式方程，以及两个向量数量积的定义，属于中档题．10.若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（

）A. B. C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则平面直角坐标系对应的可行域面积为_________．参考答案：画出可行域如图所示，则可行域对应的面积为，，，，则．12.已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为．参考答案：{a|a=或﹣}【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【分析】令g（x）=0，化简函数g（x）=，从而不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．【解答】解：设f（x）=0，可得|x﹣a|﹣+a=2，设g（x）=|x﹣a|﹣+a，h（x）=2，函数g（x）=，不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞a时，f（x）=0，解得x=﹣1，x=3；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=3，由等差数列的性质可得x1=﹣5，由f（﹣5）=0，解得a=﹣，满足f（x）=0在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤3，f（x）=0在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=3，所以有x1，x2是2a﹣x﹣=2的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣2）x+3=0的两个解．得到x1+x2=2a﹣2，x1x2=3，又由设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+3，解得：a=或（舍去）；③a＞3，f（x）=0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a=或﹣．故答案为：{a|a=或﹣}．13.已知椭圆C：的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点，已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为

．参考答案：由题意可得，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率．

14.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4=8，Sn+1=pSn+1，（p∈R），则a1=

，p=

．参考答案：1，2.考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{an}的公比为q，讨论q=1，q≠1，运用等比数列的通项公式和求和公式，计算即可得到所求值．解答： 解：设等比数列{an}的公比为q，若q=1，则an=a1=8，Sn=na1=8n，Sn+1=pSn+1不成立，即有q≠1，则a1q3=8，=+1，即有a1=pa1+1﹣q，a1q=a1p，a1q3=8，解得a1=1，p=2．故答案为：1，2．点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意公比是否为1，考查运算能力，属于中档题．15.已知正数x、y满足，则的最小值为____________.参考答案：16.曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为

．参考答案：5x+y﹣3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出导数，求出切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程．解答： 解：y=e﹣5x+3的导数y′=﹣5e﹣5x，则在x=0处的切线斜率为﹣5e0=﹣5，切点为（0，3），则在x=0处的切线方程为：y=﹣5x+3，即为5x+y﹣3=0．故答案为：5x+y﹣3=0．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．17.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=AC（为常数，且），为定长，则△ABC的面积最大值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函数h(x)的定义域；(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．参考答案：(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，h(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝g(x)－f(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数．(3)由f(3)＝2，得a＝2.此时h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，由h(x)>0即log2(1＋x)－log2(1－x)>0，∴log2(1＋x)>log2(1－x)．由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．19.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示.据统计，随机变量的概率分布如下：01230.10.3（1）求的值和的数学期望；（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率.

参考答案：（1）解：由概率分布的性质有0.1+a+2a+0.3=1，解得a=0.2.所以的概率分布为01230.10.20.40.3所以.（2）解：设事件表示“两个月内共被投诉3次”，事件表示“两个月内有一个月被投诉3次，另外一个月被投诉0次”，事件表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次”，则由事件的独立性得，，，所以.所以该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率为0.22.20.（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明(3)当且时，证明：.参考答案：解：（1），函数的定义域为..依题意，在恒成立，在恒成立.，，∴的取值范围为.（2）当时，.证明：当时，欲证，只需证.由（Ⅰ）可知：取，则，而，（当时，等号成立）.用代换，得，即，∴.在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.∴当时，.

(3)由（Ⅱ）可知（时，等号成立）.而当时：，∴当时，.设，则，∴在上递减，在上递增，∴，即在时恒成立.故当时，（当且仅当时，等号成立）.

……

①用代换得：（当且仅当时，等号成立）.

……②当时，由①得，.当时，由②得，用代换，得.∴当时，，即.在上式中分别取，并将同向不等式相加，得.故当且时，略21.(12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中原有白球的个数；（II）求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.参考答案：解析：(I)设袋中原有个白球,由题意知∴(－1)=6得或(舍去)即袋中原有3个白球.(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

所以的分布列为:12345(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则∵事件两两互斥，∴22.已知函数f（x）=ln（x+2a）﹣ax，a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记f（x）的最大值为M（a），若a2＞a1＞0且M（a1）=M（a2），求证：；（Ⅲ）若a＞2，记集合{x|f（x）=0}中的最小元素为x0，设函数g（x）=|f（x）|+x，求证：x0是g（x）的极小值点．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可得到函数的单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，M（a）=f（﹣2a）=2a2﹣1﹣lna，继而得到2a12﹣1﹣lna1=2a22﹣1﹣lna2，通过转化得到4a1a2=，设h（t）=t﹣﹣2lnt，t＞1根据函数的单调性证明＜1，问题即可得以证明，（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，g（x）=，分类讨论，得到g（x）在（﹣2a，x0）递减，g（x）在（x0，﹣2a）递增，故x0是g（x）的极小值点．【解答】解：（Ⅰ）：f′（x）=﹣a=，∵x＞﹣2a，a＞0，由f′（x）＞0，得﹣2a＜x＜﹣2a，由f′（x）＜0，得x＞﹣2a，∴f（x）的增区间为（﹣2a，﹣2a），减区间为（﹣2a，+∞），（Ⅱ）由（Ⅰ）知，M（a）=f（﹣2a）=2a2﹣1﹣lna，∴2a12﹣1﹣lna1=2a22﹣1﹣lna2，∴2（a22﹣a12）=lna2﹣lna1=ln，∴2a1a2=ln，∴4a1a2（﹣）=2ln，∴4a1a2=，设h（t）=t﹣﹣2lnt，t＞1∴h′（t）=1+﹣=（1﹣）2＞0，∴h（x）在（1，+∞）单调递增，h（t）＞h（1）=0，即t﹣＞2lnt＞0，∵＞1，∴﹣＞2ln＞0，∴＜1，∴a1a2＜；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，f（x）在区间（﹣2a，﹣2a），又x→﹣2a时，f（x）→﹣∞，易知f（﹣2a）=M（a）=2a2﹣1﹣lna在（2，+∞）递增，M（a）＞M（2）=7﹣ln2＞0，∴﹣2a＜x0＜﹣2a，且﹣2a＜x＜x0，f（x）＜0，x0＜x＜﹣2a时，f（x）＞0，∴当﹣2a＜x＜﹣2a时，g（x）=，于是﹣2a＜x＜x0时，g′（x）=（a+1）