黑龙江省绥化市柞岗中学高三数学文测试题含解析

黑龙江省绥化市柞岗中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义R上的减函数f（x），其导函数f/(x)满足:<，则下列结论正确的是

A.当且仅当x(-∞,1)，f（x）<0

B.当且仅当x∈（1，+∞），f（x）>0C.对于?x∈R，f（x）<0

D.对于x∈R，f（x）>0

参考答案：D2.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）

A．－1

B．1－log20132012

C．-log20132012

D．1参考答案：A函数的导数为，所以在处的切线斜率为，所以切线斜率为，令得，所以，所以，选A.3.设等比数列的公比为，前项和为，且。若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：B略4.已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）=3﹣bi（b∈R），则|z|=（）A．3 B．2 C．3 D．2参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部相等求得b，得到z，代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：由z（2+i）=3﹣bi，得=，∴6﹣b=﹣2b﹣3，解得b=﹣9．∴z=3+3i，则|z|=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．5.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（

）参考答案：B试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.6.如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C考点：平面向量基本定理因为P在AB上，

;P在CD上，

;

P在AE或BF上，;

P在DE或CF上，

所以，综上可知当时，有且只有6个不同的点P使得成立。

故答案为：C7.已知，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵tanθ=，∴=﹣cos2θ====﹣．故选：A．8.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为

（

）

A．1

B．

C．

D．参考答案：A9.已知双曲线的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A、B两点，且则的面积为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为，连接，即可得四边形为平行四边形，从而求出，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出的值，利用面积公式可求出的面积，根据和的关系即可得到答案.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，依题可知四边形的对角线互相平分，则四边形为平行四边形，由可得，依题可知，由余弦定理可得：即；又因为点在椭圆上，则，所以.两式相减得，即，所以的面积为：因为为的中点，所以故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.10.设集合等于A. B. C. D.参考答案：D，，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

参考答案：

AC⊥BD(四边形ABCD是正方形或菱形)12.课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲．乙．丙三组，对应城市数分别为．．。若用分层抽样抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为

参考答案：本题考查分层抽样的特点及应用.由分层抽样的特点可知丙组中应该抽取的城市数为.13.在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有

种。参考答案：9614.命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．参考答案：存在一个无理数，它的平方不是有理数【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解结论.【详解】存在一个无理数，它的平方不是有理数，全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数【点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.15.已知函数则函数的零点个数为

个．参考答案：2由＝0，得：，画出与的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数：2。16.随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为

．参考答案：2【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在[50，60）年龄段抽取的人数为22×=22×=2．故答案为：2．17.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：由表中数据得到回归直线方程=﹣2x+a．据此预测当气温为﹣4°C时，用电量为

（单位：度）．气温（x℃）181310﹣1用电量（度）24343864参考答案：68【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】求出样本中心（，），代入求出a，结合线性回归方程进行预测即可．【解答】解：=（18+13+10﹣1）=10，=（24+34+38+64）=40，则﹣20+a=40，即a=60，则回归直线方程=﹣2x+60．当气温为﹣4°C时，用电量为=﹣2×（﹣4）+60=68，故答案为：68【点评】本题考查线性回归方程，考查用线性回归方程估计或者说预报y的值，求出样本中心是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质、圆的标准方程和几何性质.【参考答案】（1）由题意得，所以又点在椭圆上，所以解得所以椭圆的标准方程为----------------------------------------------3分（2）由（1）知，设点则直线的方程为

①

直线的方程为②把点的坐标代入①②得

所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上，所以即为定值．-------------------------------9分（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，设点则圆的方程为----------------------11分由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点，则当时，最小，所以

①假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则

②又点在椭圆上，所以

③------------------------------------14分由①②③得或当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意.综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是---------16分19.（本小题满分12分）

已知数列是首项为，公差的等差数列，且。（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列满足，求数列的前n项和。参考答案：（1）见解析；（2）．（1）由题意，……………2分则由，得，则，所以，……………4分故数列是首项为，公比为的等比数列．……………5分（2）由（1）知，，……………6分∴，∴，……………8分两式相减得，化简，得，……………11分所以．……………12分20.（本小题满分13分）

已知椭圆，F1、F2为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为-．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)解：，设，则

依题意，得，∴椭圆标准方程为 4分(2)解：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+p，代入椭圆方程得

(1+2k2)x2+4kpx+2p2－8=0 5分

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点

所以△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－8)=8(4+8k2－p2)=0，即4+8k2=p2 7分

设x轴上存在两个定点(s，0)，(t，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为4，则

即(st+4)k+p(s+t)=0(*)，或(st+12)k2+(s+t)kp+8=0(**)

由(*)恒成立，得，解得 11分

(**)不恒成立.

②当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为时

定点(－2，0)、F2(2，0)到直线l的距离之积.

综上，存在两个定点(2，0)、(-2，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为定值4． 13分注：第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点，则扣2分；

第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点，再给予一般性证明也可。21.（本题满分12分）在中分别为,,所对的边，且（1）判断的形状；（2）若，求的取值范围参考答案：解：（1）由题意由正弦定理知，在中，或当时，则舍ks5u当时，即为等腰三角形。（2）在等腰三角形，取AC中点D，由，得又由，所以，略22.在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP?AD的值．参考答案：【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠AB