高等数学同济大学上第3习题课省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用机动目录上页下页返回结束中值定理及导数应用第三章1/27拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理机动目录上页下页返回结束2/272.微分中值定理主要应用(1)研究函数或导数性态(2)证实恒等式或不等式(3)证实相关中值问题结论机动目录上页下页返回结束3/273.相关中值问题解题方法利用逆向思维,设辅助函数.普通解题方法:证实含一个中值等式或根存在,(2)若结论中包括到含中值两个不一样函数,(3)若结论中含两个或两个以上中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须屡次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.机动目录上页下页返回结束4/27例1.

设函数在内可导,且证实在内有界.证:取点再取异于点对为端点区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.机动目录上页下页返回结束5/27例2.

设在内可导,且证实最少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点机动目录上页下页返回结束6/27例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证机动目录上页下页返回结束7/27例4.

设实数满足下述等式证实方程在(0,1)内最少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即机动目录上页下页返回结束8/27例5.机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,最少存在一点由罗尔定理知,必存在9/27例6.

设函数在上二阶可导,且证实证:由泰勒公式得两式相减得机动目录上页下页返回结束10/27二、导数应用1.研究函数性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.处理最值问题目标函数建立与简化最值判别问题3.其它应用:求不定式极限;几何应用;相关改变率;证实不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见下页)机动目录上页下页返回结束11/27设函数在上含有n阶导数,且则当时证:令则利用在处n－1阶泰勒公式得所以时定理.机动目录上页下页返回结束12/27连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所表示,机动目录上页下页返回结束单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提醒:正负作f(x)示意图.单调增区间为

;13/27

.在区间

上是凸弧;拐点为提醒:正负作f(x)示意图.形在区间

上是凹弧;则函数f(x)图(2)

设函数图形如图所表示,机动目录上页下页返回结束14/27例8.

证实在上单调增加.证:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,机动目录上页下页返回结束故当x>0时,从而在上单调增.得15/27例9.

设在上可导,且证实f(x)至多只有一个零点.

证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因所以也至多只有一个零点.思索:若题中改为其它不变时,怎样设辅助函数?机动目录上页下页返回结束16/27例10.

求数列最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一极大点所以在处也取最大值.又因中最大项.极大值机动目录上页下页返回结束列表判别:17/27例11.证实证:设,则故时,单调增加,从而即思索:

证实时,怎样设辅助函数更加好?机动目录上页下页返回结束提醒:18/27例12.设且在上存在,且单调递减,证实对一切有证:设则所以当令得即所证不等式成立.机动目录上页下页返回结束19/27例13.

证:只要证机动目录上页下页返回结束利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.20/27例14.证实当x>0时,证:令则法1由在处二阶泰勒公式,得故所证不等式成立.与1之间)机动目录上页下页返回结束21/27法2列表判别:即机动目录上页下页返回结束22/27法3利用极值第二判别法.故也是最小值,所以当时即机动目录上页下页返回结束23/27例15.求解法1利用中值定理求极限原式机动目录上页下页返回结束24/27解法2利用泰勒公式令则原式机动目录上页下页返回结束25/27解法3利