河北省保定市李庄中学高三数学文下学期摸底试题含解析

河北省保定市李庄中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示程序框图运行后输出的结果为()A．36

B．45

C．55

D．56参考答案：B其实质是求1＋2＋3＋…＋9＝45，因此选B.2.已知向量，向量，且，则实数等于（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D3.已知实数，满足不等式组，若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则A．

B．

C．

D．参考答案：B4.甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习教学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为，乙答及格的概率为，丙答及格的概率为，3人各答1次，则3人中只有1人答及格的概率为（

）

A．

B．C．

D．以上全不对参考答案：答案：C5.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行参考答案：C若c与a，b都不相交，则与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾6.已知为互相垂直的单位向量，向量a，b，且a与a+b的夹角为锐角，则实数的取值范围是

（）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.若为纯虚数，其中R，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C∵为纯虚数，∴，∴．8.已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，1）参考答案：B【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，解得：0＜x＜2，即A=（0，2）∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）∴A∪B=（﹣1，2）故选：B．9.已知点Q(5，4)，若动点P(x，y)满足，则的最小值为

(A)

(B)

(C)5

(D)以上都不正确参考答案：C10.已知tan(α+)=，则cos2(－α)=（）A． B． C．D．参考答案：B【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，∴======，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里明月和清泉，都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C：x2=y的图象（如图），过交点F作直线l交C于A、B两点，过A、B分别作C的切线，两切线交于点P，过点P作x轴的垂线交C于点N，拖动点B在C上运动，会发现是一个定值，该定值是

．参考答案：1【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】线段AB是过抛物线x2=y焦点F的弦，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．N点在抛物线的准线上．根据抛物线的定义知：NF=NP，∴现是一个定值1．【解答】解：线段AB是过抛物线x2=y焦点F的弦，过A，B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．N点在抛物线的准线上．下面证明证明：由抛物线x2=y，得其焦点坐标为F（0，）．设A（x1，x12），B（x2，x22），直线l：y=kx+代入抛物线x2=y得：x2﹣kx﹣=0．∴x1x2=﹣…①．又抛物线方程为：y=x2，求导得y′=2x，∴抛物线过点A的切线的斜率为2x1，切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1）…②抛物线过点B的切线的斜率为2x2，切线方程为yx22﹣=2x2（x﹣x2）…③由①②③得：y=﹣．∴P的轨迹方程是y=﹣，即N在抛物线的准线上；根据抛物线的定义知：NF=NP，∴是一个定值1．故答案为：112.设函数的最小值为，则实数的取值范围是

．参考答案：因为当时，，所以要使函数的最小值，则必须有当时，，又函数单调递减，所以所以由得。13.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为___________．参考答案：514.某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望为

．参考答案：15.设为不等式组表示的平面区域，区域上的点与点之间的

距离的最小值为___________.参考答案：16.一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．参考答案：25π【考点】球的体积和表面积．【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积．【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为=25π．故答案为：25π．17.某程序框图如右图所示，则输出的结果S为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.）在中，边、、分别是角、、的对边，且满足：.（1）求；（2）若，，求边，的值.

参考答案：（1）（2），或

．（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，

∴3sinA?cosB-sinC?cosB=sinBcosC，化为：3sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．

∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．

（2）由=4，b=4，可得，a?c?cosB=4，即ac=12．…①．

再由余弦定理可得b2=32=a2+c2-2ac?cosB=a2+c2-，即a2+c2=40，…②．

由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或

．

略19.设函数，k∈R（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当k＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间上仅有一个零点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）由解析式求出定义域和f′（x），化简后对k进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；（2）由（1）求函数的最小值，由条件列出不等式求出k的范围，对k进行分类讨论，并分别判断在区间上的单调性，求出f（1）和f（）、判断出符号，即可证明结论．【解答】解：（1）由得，函数的定义域是（0，+∞），=；①当k≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当k＞0时，由f′（x）=0得x=或x=﹣（舍去），当时，f′（x）＞0，当时，令f′（x）＜0，所以f（x）的递减区间是（0，），递增区间是（）；…证明：（2）由（1）知，当k＞0时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）==．因为f（x）存在零点，所以，解得k≥e．当k=e时，f（x）在（1，）上递减，且f（）=0，所以x=是f（x）在（1，]上的唯一零点．当k＞e时，f（x）在（0，）上单调递减，且f（1）=0，f（）=＜0，所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在（1，]上仅有一个零点…【点评】本题考查求导公式、法则，导数与函数单调性的关系，以及函数零点的转化，考查分类讨论思想，化简、变形能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）在中，分别为内角A,B,C所对的边长，，（1）求角B的大小。（2）若求的面积。Ks5u参考答案：（1）由正弦定理及已知可得…………1分得…….4分所以解得又因为在ABC中所以角B为

……………6分（2）由（1）知又因为所以……….7分所以

Ks5u……………9

…………12分21.（本题满分12分）某市投资甲、乙两个工厂，2008年两工厂的产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第年比上一年增加万吨，记2008年为第一年，甲、乙两工厂第年的年产量分别为万吨和万吨．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底，其中哪