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《线性代数》

电子教案之三11/59主要内容第三讲

矩阵及其运算矩阵概念；零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；矩阵线性运算（矩阵加法及矩阵与数乘法）、矩阵与矩阵乘法、矩阵转置、方阵行列式以及他们运算规律.基本要求了解矩阵概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；熟练掌握矩阵运算及其运算规律.22/59一、矩阵定义与记号第一节矩阵1.定义

由个数排成行列数表称为行列矩阵，简称矩阵.为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作33/59这个数称为矩阵元素，简称为元，数位于矩阵第行第列，称为矩阵元.以数为元矩阵可简记作或.矩阵也记作注意（1）矩阵记号是在数表外加上括弧，与行列式记号（在数表外加上双竖线）是不一样，这是两个不一样概念，注意区分.（2）矩阵行数和列数不一定相等.44/592.相关概念实矩阵与复矩阵：元素是实数矩阵称为实矩阵，元素是复数矩阵称为复矩阵；除尤其说明外，都指实矩阵.行矩阵（行向量）：只有一行矩阵，记作列矩阵（列向量）：只有一列矩阵，记作矩阵矩阵55/59方阵：行数与列数都等于矩阵称为阶矩阵或阶方阵.阶矩阵也记作同型矩阵:两个矩阵行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.矩阵相等：假如与是同型矩阵，而且它们对应元素相等，即那么就称矩阵与矩阵相等，记作66/59二、矩阵举例例2

某厂向三个商店发送四种产品数量可列成矩阵其中为工厂向第店发送第种产品数量.这四种产品单价及单件重量也可列成矩阵其中为第种产品单价，为第种产品单件重量.说明

从两个矩阵能够清楚看出这个厂产品信息.77/59例3

四个城市间单向航线以下列图所表示，1234若令则这个图能够用矩阵表示为说明

用矩阵表示这个图后，就能够用计算机对这个图进行分析和计算.88/59例4个变量与个变量之间关系式称为从变量到变量线性变换.线性变换系数组成矩阵称为线性变换系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应.99/59三、几个特殊矩阵单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角直线单位矩阵对应线性变换为恒等变换（叫做（主）对角线）上元素都是1，其它元素都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用表示，即1010/59对角矩阵：对角矩阵对应线性变换为不在对角线上元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，用表示，即1111/59零矩阵：元素都是零矩阵，记作0.注意

不一样型零矩阵是不一样，比如1212/59数量矩阵（纯量矩阵）：不在对角线上元素都是0，对角线上元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用表示，

即1313/59四、小结在线性代数里，矩阵是一个主要工具，也是一个主要研究对象.1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵概念矩阵应用十分广泛：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观察、导航、机器人位移、化学分子结构稳定性分析、密码通讯、含糊识别，以及计算机层析X射线摄影术等方面，都有广泛应用1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则1414/59西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接收过一些较低教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年努力，他终于成为霍布金斯大学教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达50多年时间内，他是行列式和矩阵论一直不渝作者之一。1515/59卡莱（Cayley1821-1895）生于一个古老而有才能英国家庭，在学校中他就显示了数学才能.他老师说服他父亲送他到剑桥，而不要让他做家务.在剑桥它是数学荣誉会考一等第一名，并取得Smith奖，他当选为剑桥三一学院研究员和助理导师，但3年后因为必须担任圣职而离开。他转向法律并在这个职业上花费了以后15年.这期间他用了大量时间搞数学，并发表了近200篇文章.也是在这时，他和Sylvester开始了长久情谊和合作.1863年，他被任命为剑桥新创建Sadler数学教授。除去1882年受Sylvester聘请在霍普金斯大学以外，他一直在剑桥，直到逝世．1616/59一、矩阵加减法第二节矩阵运算1.定义两个同为矩阵相加（减）后得一矩阵，其元素为两矩阵对应元素和（差）.尤其注意只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加（减）法.1717/59比如1818/592.矩阵加减法_运算规则交换律：结合律：设矩阵记称为矩阵负矩阵.

1919/59二、矩阵与数乘法（矩阵数乘）1.定义阶矩阵与一个数相乘后得一矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作说明矩阵负矩阵；

纯量矩阵.

2020/59比如2121/592.矩阵数乘_运算规则

说明

矩阵加法与矩阵数乘合起来，统称为矩阵线性运算.2222/59三、矩阵与矩阵乘法（矩阵乘法）1.概念引入某家电企业向三个商店发送四种产品数量以下表空调冰箱29``彩电25``彩电甲商店30205020乙商店07100丙商店504050502323/59这四种产品售价（单位：百元）及重量（单位：千克）以下售价重量空调3040冰箱163029``彩电223025``彩电1820问：该企业向每个商店出售产品总售价及总重量分别是多少？2424/59甲商店乙商店丙商店售价重量2525/592.定义定义以下：若则其中设是一个矩阵，是一个矩阵，与乘积是一个矩阵，记作说明：

元就是第行元素与第列元素对应乘积之和.2626/59尤其注意_乘积不可交换可乘前提是列数等于行数.

乘积普通不能够交换，1）

为矩阵，但无意义；2）为和都有意义，但2阶矩阵，为3阶矩阵，不相等；3）若则称矩阵乘积可交换.2727/59例题例5求矩阵与乘积解析：是矩阵，是矩阵，列数等于行数，所以矩阵与能够相乘.2828/59例题例5求矩阵与乘积解析：是矩阵，是矩阵，列数等于行数，所以矩阵与能够相乘.2929/59例题例5求矩阵与乘积解析：是矩阵，是矩阵，列数等于行数，所以矩阵与能够相乘.3030/59例题例5求矩阵与乘积解析：是矩阵，是矩阵，列数等于行数，所以矩阵与能够相乘.3131/59例6求矩阵与乘积及

解说明

此例不但表明矩阵乘法不满足交换律，而且还表明矩阵乘法不满足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出3232/59３．矩阵乘法_运算规则

或简写成

纯量矩阵与方阵乘积说明

第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换．3333/59４．方阵幂定义设是阶方阵，定义说明

此定义表明，就是个连乘，而且显然，只有方阵，它幂才有意义.运算规则

尤其注意

普通来说，与不相等.3434/59方阵多项式设称为方阵

次多项式.为数次多项式，记同一个方阵两个矩阵多项式是可交换：设是两个多项式，则由此可知，方阵多项式能够像数多项式一样分解因式.如3535/59说明

当与可交换时，有类似与数乘法公式.

与为同阶方阵：3636/595.行矩阵与列矩阵乘积设则3737/59例7下列图示明了d国三个城市，e国三个城市，f国两个城市相互间之道路.交通网络模型在d国和e国间城市通路情况可用以下形式表示：在e国和f国间城市通路情况可用以下形式表示：其中：0,1指城市间通路数3838/59求：d国和f国城市通路形式？3939/59四、矩阵转置1.定义

把矩阵行换成同序数列得到一个新矩阵，叫做转置矩阵，记作.即若则其中比如则转置矩阵为设矩阵4040/592.对称矩阵设为阶方阵，假如满足，即那么称为对称矩阵，简称对称阵.比如对称阵特点是：它元素以对角线为对称轴，对应相等.4141/593.矩阵转置_运算规则

4242/59例8已知求解法1解法2

此例验证了矩阵转置运算规则44343/59例9设列矩阵满足，证析：要证实一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对称阵条件所以是对称阵.为阶单位矩阵，证实是对称阵，且注意和

区分4444/59五、方阵行列式1.定义由阶方阵元素所组成行列式（各元素位置不变），称为方阵行列式，记作或尤其注意方阵与行列式是两个不一样概念，方阵是一个数表，而行列式则是一个数.方阵与它行列式又是紧密相关，行列式是方阵确定一个数，所以行列式可看作方阵函数；同时，行列式是方阵特征主要标志.4545/592.由确定_运算规则

证实注意但但4646/593.伴随矩阵称为矩阵伴随矩阵，简称伴随阵.矩阵行列式各元素代数余子式所组成以下矩阵4747/59说明此性质表明与可交换，且其乘积为单位阵倍；当时，由此可深入讨论与性质（后面介绍）.伴随矩阵基本性质证实4848/59例10设求伴随矩阵解4949/59所以，所求伴随阵为验证5050/59六、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示共轭复数，记称为共轭矩阵.

定义由确定_