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多元函数取得极值的条件1/21无约束问题取得极值的条件2/21必要条件若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数，且P(x0,y0)是函数f(x,y)极值点，则驻点充分条件若函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)某邻域内连续且存在一阶及二阶偏导数，又令则时含有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值。<0时没有极值不能确定n元函数取得极值条件？3/21梯度含有偏导数，Hesse矩阵4/21必要条件若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)极值点，则一阶条件二阶条件5/21二阶充分条件证实:所以6/21约束问题取得极值的条件7/21对于多元函数条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点终究是否是极值点方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点方法。问题：对于普通有约束极值问题，取得极值条件是什么？普通约束极值问题：几个概念：可行域：可行方向：(1)8/21指标集起作用集起作用约束在x领域限制了可行点范围。当点沿一些方向稍微离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长多么小，都将违反这些约束。对于非起作用约束（ci(x)>0），x是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。序列可行方向：9/21序列可行方向性质设ci(x)在x处可微，则证实性质1一样可证性质2设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则10/21必要条件说明Lagrane函数K——T条件等价于λi称为Lagrange乘子Lagrange乘子法x*称为K——T点一阶条件11/21证实首先证实集合非空因为该方程组系数矩阵行向量组线性无关，所以该方程组有解考查方程组是SFD(x*,X)子集12/21而SFD(x*,X)是闭集，所以S*闭包cl(S*)

SFD(x*,X)，即下面证实13/21下面证实d∈cl(S*)于是所以定理得证14/21一阶充分条件证实15/21二阶条件线性化零约束方向集设x*是K——T点，λ是对应Lagrange乘子，d∈Rn。假如则称d是在x*处线性化零约束方向。在x*处全部线性化零约束方向集合记为G(x*,λ)序列零约束方向集设x*是K——T点，λ是对应Lagrange乘子。假如存在序列dk∈Rn和δk>0(k=1,2,…)使得则称d是在x*处序列零约束方向。在x*处全部序列零约束方向集合记为S(x*,λ)。可证S(x*,λ)

G(x*,λ)16/21二阶必要条件设x*是问题（1）局部极小点，λ是对应Lagrange乘子。则必有证实则存在序列dk∈Rn和δk>0(k=1,2,…)使得所以因为x*是问题（1）局部极小点，对充分大k有17/21充分条件设x*是K——T点，λ是对应Lagrange乘子。假如则x*是问题（1）局部严格极小点。证实18/21定理成立推论设x*是K——T点，λ是对应Lagran

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