高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程备课省公开课一等奖新名师获奖课件

第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程

1/66【自主预习】1.椭圆定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2距离之和等于_____(大于|F1F2|)点轨迹.(2)焦点:两个定点F1,F2.常数2/66(3)焦距:两焦点间距离|F1F2|.(4)几何表示:|MF1|+|MF2|=___(常数)且2a__|F1F2|.2a>3/662.椭圆标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_______________________________图形4/66焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标__________________________a,b,c关系________(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2=b2+c25/66【即时小测】1.椭圆=1左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________________.6/66【解析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2.答案:27/662.椭圆25x2+16y2=400焦点坐标为________________,焦距为________________.8/66【解析】把方程化为标准形式为=1,可知焦点在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,则c=3,所以焦点为(0,±3),焦距为2c=6.答案:(0,±3)69/66【知识探究】探究点1椭圆定义1.平面内动点M到两定点F1,F2距离之和等于常数(2a)且2a>|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M轨迹是什么?若2a<|F1F2|,则M轨迹是什么?10/66提醒:当2a=|F1F2|时,点M轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点M轨迹不存在.11/662.确定椭圆标准方程需要知道哪些量?提醒:a,b值及焦点所在位置.12/66【归纳总结】对椭圆定义三点说明(1)椭圆是在平面内定义,所以“平面内”这一条件不能忽略.(2)定义中到两定点距离之和是常数,而不能是变量.13/66(3)常数(2a)必须大于两定点间距离,不然轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆限制条件.14/66探究点2椭圆标准方程1.在椭圆标准方程中a>b>c一定成立吗?提醒:不一定,只要a>b,a>c即可,b,c大小关系不定.2.依据椭圆方程,怎样确定焦点位置?提醒:把方程化为标准形式,x2,y2分母哪个大,焦点就在对应轴上.15/66【归纳总结】对椭圆标准方程两点认识(1)标准方程几何特征:椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上.(2)标准方程代数特征:方程右边为1,左边是关于与平方和,而且分母为不相等正值.16/66尤其提醒:焦点所在坐标轴不一样,其标准方程形式也不一样.17/66类型一求椭圆标准方程【典例】1.(·武汉高二检测)过点(-3,2)且与=1有相同焦点椭圆方程是()18/662.依据以下条件,求椭圆标准方程.(1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点距离和为26.(2)经过点两焦点间距离为2,焦点在x轴上.19/66【解题探究】1.典例1中已知椭圆焦点在哪个轴上?提醒:椭圆焦点在x轴上,因为已知方程中x2项分母较大.20/662.典例2(1)中焦点在y轴上椭圆标准方程是怎样?典例2(2)中焦点在x轴上椭圆标准方程是怎样?提醒:(1)=1(a>b>0).(2)=1(a>b>0).21/66【解析】1.选A.由方程=1可知,其焦点坐标为(±,0),即c=.设所求椭圆方程为=1(a>b>0),因为过点(-3,2),代入方程得=1(a>b>0),解得a2=15(a2=3舍去).故方程为=1.22/662.(1)因为椭圆焦点在y轴上,所以设它标准方程为=1(a>b>0).因为2a=26,所以a=13,又c=5.所以b2=a2-c2=144.所以所求椭圆方程为=1.23/66(2)设椭圆标准方程为=1(a>b>0),因为焦点在x轴上,2c=2,所以a2=b2+1,又椭圆经过点所以=1,解得b2=3,所以a2=4.所以椭圆标准方程为=1.24/66【延伸探究】将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是(5,0),(-5,0),其它条件不变,求椭圆标准方程.25/66【解析】因为椭圆焦点在x轴上,所以设它标准方程为=1(a>b>0),因为2a=26,所以a=13,又c=5.所以b2=a2-c2=144.所以所求椭圆方程为=1.26/66【方法技巧】求椭圆标准方程方法利用待定系数法求椭圆标准方程:(1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c等量关系.(4)求a,b值,代入所设方程.27/66尤其提醒:若椭圆焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).28/66【变式训练】求适合以下条件椭圆标准方程.(1)焦点在x轴上,且a=4,c=2.(2)经过点A(0,2)和29/66【解析】(1)a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12,且焦点在x轴上,故椭圆标准方程为=1.30/66(2)设所求椭圆标准方程为Mx2+Ny2=1(M>0,N>0,M≠N).因为椭圆经过A(0,2)和两点,所以解得所以所求椭圆方程为x2+=1.31/66类型二椭圆定义及应用【典例】(·潍坊高二检测)设P是椭圆=1上一点,F1,F2是椭圆焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2面积.32/66【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|大小吗?提醒:(1)依据椭圆定义即可写出.33/66(2)在△F1PF2中,怎样得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|之间关系式?提醒:在△F1PF2中,利用余弦定理能够得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|之间关系式.34/66【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2=,所以c2=,所以c=,2c=5.在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①35/66由椭圆定义得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,所以|PF1|·|PF2|=25,所以=|PF1|·|PF2|·sin60°=36/66【延伸探究】1.将典例中“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2=30°”,其余条件不变,求△F1PF2面积.37/66【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2=,所以c2=,所以c=,2c=5.在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos30°,即25=|PF1|2+|PF2|2—|PF1|·|PF2|.①38/66由椭圆定义得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得(2+)|PF1|·|PF2|=75,所以|PF1|·|PF2|=75(2-),所以=|PF1|·|PF2|·sin30°=(2-).39/662.将典例中椭圆方程改为“=1”,其余条件不变,求△F1PF2面积.40/66【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余弦定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°,即144=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|.所以|PF1|·|PF2|=,所以=|PF1|·|PF2|·sin60°=.41/66【方法技巧】椭圆定义应用技巧(1)椭圆定义含有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点距离之和必为2a.(2)包括曲线上点到焦点距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆定义求解.42/66【拓展延伸】椭圆中焦点三角形椭圆上一点P与椭圆两个焦点F1,F2组成△PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆焦点三角形问题,通常要利用椭圆定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.43/66【赔偿训练】如图所表示,已知椭圆方程为=1,若点P是椭圆上第二象限内点,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2面积.44/66【解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长.【解析】由已知a=2,b=,所以c==1,|F1F2|=2c=2,45/66在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①46/66由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.②将②代入①解得|PF1|=.所以即△PF1F2面积是47/66类型三与椭圆相关轨迹问题【典例】1.(·合肥高二检测)已知点M在椭圆=1上,MP′垂直于椭圆焦点所在直线,垂足为P′,而且M为线段PP′中点,则P点轨迹方程为_________.2.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心轨迹方程.48/66【解题探究】1.典例1中动点P与哪个动点相关?本题可采取什么方法求动点P轨迹方程?提醒:动点P与点M相关.因为点M在已知椭圆上运动,所以本题可采取代入法求动点P轨迹方程.49/662.典例2中两圆内切时能得到什么条件?提醒:两圆内切时,两圆圆心距等于两圆半径之差.50/66【解析】1.设点P坐标为(x,y),M点坐标为(x0,y0),因为点M在椭圆=1上,所以=1.因为M是线段PP′中点,所以把代入=1,得=1,即x2+y2=36.51/66所以点P轨迹方程为x2+y2=36.答案:x2+y2=3652/662.两定圆圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,所以|MO1|+|MO2|=10.而|O1O2|=6<10,53/66故由椭圆定义知:M在以O1,O2为焦点椭圆上,且a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心轨迹方程为=1.54/66【方法技巧】处理与椭圆相关轨迹问题两种方法(1)定义法:用定义法求椭圆方程思绪是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆定义.若符合椭圆定义,则用待定系数法求解即可.55/66(2)相关点法(代入法):有些问题中动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成,只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵照条件中去,即可处理问题,这种方法称为相关点法.56/66易错警示:求轨迹方程时注意求得方程中自变量取值范围.57/66【变式训练】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,如图,求圆心P轨迹方程.58/66【解析】设|PB|=