考点10 变化率与导数、导数的计算-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点10变化率与导数、导数的计算【命题趋势】从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的热点，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.【重要考向】本节通过导数的运算及其几何意义考查考生的数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.导数的计算1、导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.（2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数..【典例】1.求下列函数的导数.（1）；（2）.答案及解析：1.（1）；（2）.【分析】根据导数的运算法则进行求导即可．【详解】（1）函数的导数：；（2）函数的导数：.【点睛】本题主要考查导数的计算，结合导数的公式以及运算法则是解决本题的关键，比较基础．导数的几何意义解题技巧：导数几何意义的应用类型及求解思路(1)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【典例】2.已知函数（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.答案及解析：2.（1）（2）【分析】（1）运用函数的求导公式及求导法则计算这个函数的导数即可.（2）欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决.【详解】（1），∴（2）又当时，，所以切点为∴切线方程，即【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题.3.已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．答案及解析：3.（I）；（II）.【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得a的取值范围.试题解析：．（Ⅰ）由题意得，解得．（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，∴关于的方程有两个不相等的实数根，∴即∴∴a的取值范围是考点：导数的几何意义.

1.求下列函数的导数：（1）；（2）.2.（1）函数的导数为，求；（2）设l是函数图象的一条切线，证明：l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．3.已知函数在点处的切线方程为，则a、b的值分别为____.1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A． B．C． D．2．（2020年高考全国Ⅰ卷理数）函数的图像在点处的切线方程为A．B．C．D．3．（2020年高考全国III卷理数）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+4．(2019年高考全国Ⅱ卷)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝05.(2018年高考全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y＝－2x B.y＝－xC.y＝2x D.y＝x6.(2019年高考全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－17.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为__________．8.（2019年高考北京理数）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．9．（2019年高考天津文数）曲线在点处的切线方程为__________.10．（2018年高考全国Ⅱ卷理数）曲线在点处的切线方程为__________．11．（2018年高考全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________．12．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．1.若函数f(x)满足，则（）A.8 B.－8 C.4 D.－42.曲线在点(1,1)处的切线方程为（）A. B.C. D.3.设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a等于（）A.－1 B. C.－2 D.24.已知函数是奇函数，则的图像在处的切线方程为（）A. B.C. D.5.设曲线在处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（）A. B.－1 C. D.16.设P为yx2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为_____7.请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）y=esinx（2）y=（3）y=ln（2x+3）（4）y=（x2+2）（2x﹣1）（5）．8.已知f′（x）是一次函数，x2f′（x）﹣（2x﹣1）f（x）=2，求f（x）的解析式． 参考答案跟踪训练1.（1）（2）【分析】（1）根据积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可；（2）先化简函数，根据商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可.【详解】（1）.（2）因为，则.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式和和差积商的求导法则，考查了计算能力，属于基础题.2.（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）对求导，根据直接计算即可；（2）设切点为，对求导，然后根据点斜式写出切线的方程，从而可以求出与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形面积，证明题中结论.【详解】（1），则，所以；（2）设切点为，∵，，∴切线的斜率，∴切线的方程为：，令，得，令，得，所以与坐标轴所围成的三角形的面积，因此与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．【点睛】本题考查了导数的基本运算，考查了切线方程的基本应用，难度不大.3.，【分析】将点代入切线方程得出，由可得出关于、的的方程组，即可解出这两个未知数的值.【详解】将点代入直线的方程得，，则，由题意得，解得.故答案为：，.【点睛】本题考查利用函数的切线方程求参数，一般要注意两点：一是切点为函数图象与切线的公共点，二是函数在切点处的导数值等于切线的斜率，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.真题再现1.【答案】D【分析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.2.【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.3.【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.4.解析设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k＝f′(π)＝－2，故切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.答案C5.解析因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f(x)＝x3＋x.∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(0)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.6.解析∵y′＝aex＋lnx＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又已知切线方程为y＝2x＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ae＋1＝2，,b＝－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝e－1，,b＝－1.))7【答案】【分析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．8.【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.9．【答案】y【解析】∵则所求的切线方程为y=2【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知的曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.10．【答案】-【解析】，则，所以a=-3.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.11．【答案】【解析】∵，∴，故所求的切线方程为，即.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．（2）如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．12.【答案】(1)答案见解析；(2)和.【分析】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.模拟检测1.D【分析】根据导数的定义可直接化简求得结果.【详解】.故选：.【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.2.A【分析】由题求得，进而求得，根据直线的点斜式方程求得在点处的切线方程即可.【详解】解：由题知，故，故在点处的切线方程为，化简整理得.故选：A.【点睛】本题主要考查用导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题.3.D【分析】求出函数在点处的导数值，即函数在此点的切线斜率，再根据两直线垂直的性质求出实数.【详解】，，曲线在点处的切线的斜率为，切线与直线垂直，，解得.故选D.【点睛】本题考查导函数几何意义的应用，解题时要认真审题，注意两直线垂直的性质的灵活运用.4.A分析：由已知函数为奇函数求出a值，然后得到和f(0)，再求出的图象在x=0处的切线方程.解答：由函数是奇函数，可知，即，检验可知，函数为奇函数，，，，又，所以切线方程为，即，故选：A5.B【分析】根据导数的几何意义可求得在处的切线方程，进而得到，代入所求式子，根据对数运算法则可求得结果.【详解】，在处的切线斜率，切线方程为：，令，解得：..故选：.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够利用导数的几何意义准确求得在某点处的切线方程.6.【分析】设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再由基本不等式求最小值.【详解】设P（），由yx2﹣2，得，∴，则C在点P处的切线方程为：，整理得：.∴坐标原点O到l距离d.当且仅当，即x0＝0时上式等号成立.∴坐标原点O到l距离的最小值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用导数