2021年中考数学压轴题押题含答案

2021年中考数学压轴题

1.已知NAOB=30°,H为射线04上一定点，。"=b+1,尸为射线。8上一点，例为

线段O”上一动点，连接PM,满足N0MP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针

旋转150°,得到线段PN,连接ON.

(1)依题意补全图1:

(2)求证：N0MP=N0PN；

(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个0P的值，使得对于任意的点M

总有ON=QP,并证明.

解：(1)如图1所示为所求.

(2)设NOPM=a,

,/线段PM绕点、P顺时针旋转150°得到线段PN

：.ZMPN=\50°,PM=PN

：.ZOPN=NMPN-ZOPM=1500-a

ZAOB=30°

.•./OMP=180°-N40B-/OPM=180°-30°-a=150°-a

:.NOMP=NOPN

(3)OP=2时，总有ON=QP,证明如下:

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过点N作NCL08于点C,过点户作尸O_LQ4于点D,如图2

・,./NCP=NPDM=ZPDQ=90°

VZAOB=30°,OP=2

：.PD=2。尸=1

・・・OD=yJOP2-PD2=V3

V3+1

：.DH=OH-0D=\

•：/OMP=NOPN

A180°-NOM尸=180°-NOPN

即/PMD=ZNPC

在△PQM与△NCP中

(A.PDM=Z.NCP

ZPMD=乙NPC

(PM=NP

：./\PDM^/\NCP(AAS)

:.PD=NC,DM=CP

设。M="=x,贝UOC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+T

•・•点M关于点H的对称点为。

；.HQ=MH=x+l

：.DQ=DH+HQ=l+x+l=2+x

：.OC=DQ

在△OCV与△QOP中

OC=QD

Z.OCN=Z-QDP=90°

.NC=PD

：./\OCN^/\QDP(SAS)

・•・ON=QP

MDH

图2

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2.如图，在平面直角坐标系中，点4在y轴上，点C在x轴上，且四边形0A8C是矩形,

且BC的长满足方程m2-8m=0.

(1)求点A的坐标；

(2)点P是AB上动点，连接OP,以OP为斜边在直线PO的右下方作等腰RtADOP,

设AP=f,△OOP的面积为S,求S与，的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点Q是。A上一点，连接P。、连接CQ交OP于点E,且NAP。

=NQCO,当EP=EQ,CQ=20时，求点。的坐标.

小

解：⑴m2-8/n=0,解得：,"=0或8(舍去〃?=0),故点A(0,8)；

(2)S=1xODXPD=1(?+82)=1r+16；

2444

(3)过点。作OM〃PQ交QC于点M,设NAPQ=NQCO=a,

♦：EP=EQ,

：.PQE为等腰三角形，

9：OM//PQ,

：./QPE=/POM,NPQE=/EOD,

：・/\EOM为等腰三角形，

：・EO=EM,

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OM//PQ,

・,.ZAPO=ZPOC.

即：ZMOC+ZMOP=ZAPQ+ZQPO,而NQPE=NPOM,

・•・NMOC=NAPQ=a,

在RtZ\QOC中，*：ZMOC=ZMCO=a,

・••点M是CQ的中点，CM=MQ=iC0=lO,

JOP=OE+EP=QE+EM=QM=10,

过点。作y轴的平行线分别交A3、OC于点G、H,设点。的坐标为（a,b）,

・.・NOOH+NPOG=90°,ZPDG+ZGPD=90°,

:・/GPD=NODH,

/DHO=NDGP=9C,DO=DP,

:.△OHDQfXDGP（A4S）,

AOH=GD=a,DH=PG=b,

则：DH+DG=a+b=BC=8••①

Hb2