2020-2021学年延边州高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年延边州高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共48.0分)

1.已知集合A={Xi——2x—3S0},B={0,1,2,3,4},则4nB=()

A.[1,2,3}B.{O,l,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.[0,1,2)

2.命题“△ABC中，若乙4>NB,则a>b”的结论的否定应该是()

A.a<hB.a<bC.a>bD.a>b

3.8.F列命题为真命题的是

A.己知G,b&R,则“J^-4一2”是“夕>0且6〈0”的充分不必要条件

ab

B.已知数列2*}为等比数列，则“必<％”是“外〈心”的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面以，若两条异面直线冽，落满足桁=a,wuf且耀//p,即〃以，则

a//P

D.e(-x,0),使sx*<44成立

4.下列函数中不能用二分法求零点的是()

A.,筑赚=竽度开迎B.式:礴=•/C.演百礴=£D.,/>；?=te：

5.已知函数/。)=1一高(x>e,e=2.71828...是自然对数的底数)若f(m)=2)夜—f(n),则

/(mn)的取值范围为()

A.[;,1)B.[1,1)C.舄,1)D.[|,1]

6.函数/(X)=/+b一用，若/©)和/(一》都不是f(x)的最小值，则a的取值范围是()

A.(一吟]B.C.D.g+8]

7.基本再生数Ro与世代间隔7是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均

人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

/(t)=描述累计感染病例数/(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与&,7近似满

足品=1+「「有学者基于已有数据估计出/?0=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，

累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(m2〜0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

8.函数f（%）=sin（wx+0）cos（3%+w）（to>0）的相邻的两个对称中心的距离为1,且能在％=2时

取得最大值，则R的一个值是（）

A.B.--C.1D,7

4442

9.下列函数既是偶函数又是寻函数的是（）

A.y-xB.y-=.xiC.y=xzD.y—|x|

已知尸例）是偶函数’且在（0,秘）上是增函数’则”/（一多斥/（一回则

10.

有

A-a<cB-h<c<ac-h<a<cD-c<a<h

11.已知汝n8=-5则+4ttm(9+g)=()

A.1B.-2C.-1D.0

12.已知函数/（x）={M黑91,则函数〃x）的零点为（）

A.：和1B.—4和0C.7D.1

44

二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.若扇形的中心角为半，半径为小，则此扇形的面积为.

14.已知。为锐角，且cos（。+彳）=：,则cos。=.

15.已知函数冈，若冈，则冈.

16.定义函数/㈤=亍蓝）给出下列四个命题：

7vicosx,sinx<cosx

（1）该函数的值域为

（2）当且仅当x=2k?r+m（k6Z）时，该函数取得最大值；

（3）该函数是以兀为最小正周期的周期函数；

（4）当且仅当2卜兀+兀<x<2卜兀+手（kCZ）时，/（x）<0.

上述命题中正确的序号是.

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.设集合力={x\x2—2mx+m2—1<0],B={x\x2—4x—5<0}.

（1）若m=5,求力CiB；

(2)若4UB=B,求实数m的取值范围.

18.已知在△ABC中，sin(4+B)=2sin(4-B).

(1)若B=£,求4；

(2)若tanA=2,求tanB的值.

19.已知幕函数y=/n-9(meN")的图象关于y轴对称，且在(0,+8)上函数值随％的增大而减小，

求满足(a+1)-T<(3-2a)号的a的范围•

20.已知函数/'(x)=V3cos(2x--2sinxcosx.

(1)求/(均的最小正周期、最大值、最小值；

(n)求函数的单调区间.

21.学生群体的人均通勤时间，是指单日内学生从居住地到学校的平均用时，某地学生群体S中的成

员仅以私家车或公共交通通勤，分析显示：当S中％%(0<x<100)的学生乘坐私家车上学时私

(30,0<x<30

家车群体的人均通勤时间为/。)=理_(单位：分钟)；而公共交通群

(乙人IJXZ1OVZ人J.UU

IX

体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟.根据上述分析结果：

(1)当x在什么范围内时，公共交通群体的人均通勤时间少于私家车群体的人均通勤时间？

(2)求该地学生群体S的人均通勤时间g(x)的表达式，并求得x取值多少时g(x)最小，以及最小值为多

少？

22.已知函数/'(x)=x+：.

(I)指出f(x)的定义域，并判断/Q)的奇偶性；

(口)判断并证明/(x)在区间［3,+8)上的单调性，并求在［3,+8)上的最小值.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：•••集合4={x\x2-2x-3<0}={x|-1<%<3},

B={0,123,4},

■.AC\B={0,1,2,3).

故选:B.

利用交集的性质求解.

本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用.

2.答案：B

解析：解：由题意可知：命题“A4BC中，若乙4>",则a>b”的结论的否定应该是：aSb.

故选：B.

直接利用命题的否定，写出经过即可.

本题考查命题的否定，基本知识的考查.

3.答案：C

解析：

选项X中，4-2=a'+"+2=0W0=ab<0是a>0且b<0的必要不

ababab

充分条件，所以♦错；

选项B中，由q<生<生得fl¥或彳:,，可以推出。4<生；但若。4<%，则该

q>10<g<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,T,1,-1,1,-1……，此时推不出为<%<生，

所以3错；选项。中，当x0<0时，">g)°=l=3">4"，所以。错.

故答案为C.

4.答案：C

解析：试题分析：逐一分析各个选项，观察它们是否有零点，函数在零点两侧的符号是否相反.

，就域。=盖;,皆迎是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

巽：磁=/也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

雷飞礴=/不是单调函数，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求

零点；

，耀城1=加里也是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点.

故选C.

考点：本题函数能用二分法求零点必须具备2个条件，一是函数有零点，而是函数在零点的两侧符号

相反.

5.答案：B

_772

解析：解：由=21rl&-/(n)得f⑺+f(n)=1=寿币+同=1，-旧)=1"丽而=

]--l-n-n-+-l-n-m-+1,1

又vInn4-Inm+2=[(Inn+1)+(Znm+1)1(--——I)=4+2〈竺叱》+>44-4=8,

LV''yjklnn+lZnm+l7lnn+1lnm+1

252

•••Inn+Inm>6,/(mn)=1-嬴而京>且m、n>e,：.lnn+Inm>O,/(mn)=1-."+(­+1<

1,•••|<f(mn)<1,

故选：B.

272

由/(m)=2ln&-f(n)得f(m)+=+—/(mn)=1-=1一

lnn+lnm+1,又由"兀+lnm+2=l(lnn+D+("死+D](而壬+而|京)得到m71+)加的范围，再求

/(nrn)的取值范围.

本题考查了基本不等式中，求最值的一种常见方法，对学生的思维强度要求高，属于难题.

6.答案：C

解析：解：由题意f(%)=x2+|x—a|+

当x2a时，函数的对称轴是％=-右又/(—今不是函数/。)的最小值，故—：<a

当X<a时，函数的对称轴是x=%又/(》不是函数/(%)的最小值，故3>a

11

•--2-<2a<-

：•a的取值范围是(一：*)

故选C

将函数/(x)=X2+|X-a|变为分段函数，再根据二次函数的性质对若/©)和都不是函数/(X)

的最小值这种情况进行研究，得出参数a的取值范围

本题考查函数的最值及其几何意义，求解本题的关键是把函数变为一个分段函数的形式，再根据二

次函数的性质得出a的取值范围，本题分两类求参数，最后求它们的交集，此是本题的一个易错点,

也是一个疑点，一般分类讨论都是求并集，本题因为在定义域的不同部分上求参数，故对定义域都

有意义的参数必须是两类中参数的交集.此处的逻辑关系要好好体会.

7.答案：B

解析：

本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于中档题.

根据题意，先将Ro=3.28,T=6代入Ro=1+rT,求得r,再由题意即可求解.

解：将J?。=3.28,T=6代入A。=1+rT,

得r=掌=胃二=0.38,

由/(t)=e°38t得”见13,

0.38

当增加1倍时，X=处⑵⑴),

0.38

所需时间为-电色@=叱，叱。1.8.

0.380.380.380.38

故选8.

8.答案：4

解析：

本题主要考查二倍角公式、正弦函数的对称性和最值，属于中档题.

先求得函数f。)=1sin(2a)x+2程)，根据它的相邻的两个对称中心的距离为1求得3,再根据x=2时

取得最大值，求得W的值.

解：,；函数/(x)=sin®x+w)cos®x+w)=^sin2(a)x+W)=1sin(2ajx+2(p)(3>0)的相邻的两

个对称中心的距离为1,

解得3=捺

再根据x=2时取得最大值，可得2《-2+2。=2卜兀+akez,

解得8=/OT-拳kEz,

故选A.

9.答案：B

解析：解：对于4函数的奇函数，不合题意；

对于8,函数的偶函数且是幕函数，符合题意；

对于C,函数不是偶函数，不合题意；

对于D,函数不是幕函数，不合题意

故选：B.

函数奇偶性的定义：定义域关于原点对称，若f(-x)=-f(x)则为奇函数；若门-乃=/(乃则为偶

函数，塞函数是指形如丫=”的函数.由以上两知识点即可作出判断.

本题考查函数奇偶性的定义，要注意其定义域必须关于原点对称；同时考查寻函数定义，要注意非的

系数必须为1.

10.答案：B

解析：•."(")是偶函数，

•••武-戊)=/必/(-今=呜)，

QTT

又••・/(X)在(0,+8)上是增函数且&

''-h<c<a°

故选8。

11.答案：D

解析：解：tan9=—1,

Ti

7r2tan0tanO+tan五

tan26+4tan(6+-)=------z-+4x-----------%

'4，1-tan201—tanOtan-^

2X(告,“4+14,4

——^-+4x-^==0n.

1-1+lx：33

42

故选：D.

由已知直接利用倍角公式及两角和的正切求解.

本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题.

12.答案：D

解析：解：当XW1时，令/(%)=2*-2=0,

2X=2,x=1,

•••x=1是函数的一个零点；

当x>1时，令/(%)=2+log2=0,

解得x=；

4

•••》=;不是%>1范围内的一个数，故舍去；

4

1是函数的零点；

故选：D.

首先，当x<1时，令/(%)=2*-2=0,解得相应的零点，然后，当x>1时，令/(x)=2+log,=0,

解得相应的零点，最后，得到该函数的零点.

本题重点考查函数的零点的求解方法，属于基础题，注意分段函数的零点，需要用到分类讨论.

13.答案：n

解析：解：•・•扇形的圆心角a为半，半径丁是8，

:•扇形的面积S=|r2a=x(遮/Xy=7T.

故答案为：TC.

利用扇形的面积公式可求扇形的面积.

本题考查扇形的面积公式的应用，正确运用公式是解题的关键，属于基础题.

14.答案：至毡

10

解析：解：•・•。为锐角，且cos(e+3=E，?为锐角，

故sin(6+：)=Jl-cos2(04-=等，

贝!kos。=cos[(0+-)--]=cos(0+-)cos-+sin(0+-)sin-=—+—•—=--+-?,

"4‘4''"4'4，4525210

故答案为：纪巴史.

10

利用同角三角函数的基本关系求得sin(e+》的值，再利用两角和差的余弦公式求得COS9=cos[(6+

勺的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题.

15.答案:2

解析：试题分析：已知条件为S,待求式为SS

S.

考点：对数的运算法则.

16.答案：(4)

解析：解：函数/'(X)=

csinx,sinx>cosx

,函数的图

tcosx,sinx<cosx

象如图,

可知(1)该函数的值域为

所以(1)不正确;

(2)当且仅当X=2k〃+3kez)时，该函数取得最大值，不正确，

因为x=2依，kez时，函数也取得最大值，所以(2)不正确；

(3)该函数是以27r为最小正周期的周期函数，所以(3)不正确；

(4)当且仅当2卜兀+兀<x<2而+半(kCZ)时，/(%)<0,所以(4)正确.

故答案为：(4).

画出函数的图象，结合函数的图象，判断选项的正误即可.

本题考查命题的真假的判断，三角函数的图象的应用，是中档题.

17.答案：解：(l)?n=5,集合A={%|%2-一1工0}

={x\x2—10x4-24<0}={x|4<%<6},

B={x|x2—4%—5<0}={x|-1<%<5].

AC\B={x|4<%<5}.

(2)设集合A={x\x2—2mx+m2—1<0}

={%l[%—(m+l)][x-(m-1)<0]={x\m-1<%<m+1},

B=(x]x2—4%—5<0}={x|-1<%<5}.

AUB=B,・,.A£B,

当4=0时，m-1>m+1,无解；

m—1<m4-1

当4H0时，？n—1N—1,

m+1<5

解得0<m<4,

・・.实数m的取值范围是[0,4].

解析：(l)?n=5时，求出集合4B,由此能求出4nB.

m—1<m4-1

(2)由AU8=8,得4G8,当4=0时，m-1>m+1,当AH。时，zn-1N,由此能求

,m4-1<5

出实数6的取值范围.

本题考查交集的求法，考查交集、并集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

18.答案：解：(1)由条件sin(4+B)=2s讥(4一8),B=*

得sin(i4+三)=2sin(A--).

66

・•・-sinA4--cosA=2(^-sinA--cosA).

22'227

化简，得sinA=yf3cosA-

tanA=V3.

Mw(0,7r),・・.]=1

(2)vsin(i4+8)=2sin{A—8).

・•・sinAcosB+cosAsinB=2^sinAcosB-cosAsinB).

化简，得3cosAsinB=sinAcosB.

又cosAcosBW0,

2

AtanA=3tm艮又=2,AtanB=

解析：(1)利用已知条件通过两角和与差的三角函数，结合8=也通过三角形内角即可求4

(2)利用已知条件化简求出=3tanB,通过=2,即可求的值.

本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角形的解法，考查计算能

力.

19.答案：解♦.•函数在(0,+8)上递减，

•1•3m—9<0,解得m<3,又m6N*,lm=1,2.

又函数图象关于y轴对称，

.•.3??1-9为偶数，故m=l,

11

:.(a+1)-3<(3-2a)~3

又•.・y=%甘在(-8,0),(0,+8)上均递减，

Q+1>3—2d>0或0>Q+1>3—2Q

或Q+1<0V3—2a,

解得IV口<|或@V—L

故a的取值范围是|<a<|或a<-1.

解析：利用基函数在(0,+8)上是减函数判断出指数小于0,由图象关于y轴对称得到指数是偶数，求

出m的值；利用基函数的单调性将不等式转化为一次不等式，求出解集.

本题考查塞函数的性质：塞函数奇、偶性与事指数有关、嘉函数的单调性与嘉指数有关.

20.答案：解：(I)/(x)=/cos2x+|sin2x—sin2x=gsin2x+当cos2x=sin(2x+》

所以/'(x)的最小正周期7=:=兀，最大值为1,最小值为-1.

(II)由2x+gW2/OT+MkeZ可解得：kn--<x<kn+keZ.

故函数单调递增区间是阿一居做+与，kez.

由2/CTT+/W2x+EW2kn+kGZ可解得：kyi+合WxWkn+工，k&Z.

故函数单调递减区间是阿+行,而+勺，k&Z.

解析：本题主要考查了两角差的余弦公式，辅助角公式，二倍角公式以及正弦函数的性质，考查了

函数思想，属于基础题.

(I)首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为/(x)=sin(2x+》，最后根据公式

7=史求周期，利用正弦函数的性质即可求解其最值.

0)

(n)利用正弦函数的单调性即可求解.

21.答案：解：(1)当0<xW30时，/(x)=30<40,不满足题意；

当30<x<100时，f(x)=2x+等-90,由/0)=2刀+等一90>40,

解得XV-20(舍)，或%>45.

・,•当45<%<100时，公共交通群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

f30x+40(100-%)

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