新教材高中数学第1章空间向量与立体几何空间中的点直线与空间向量导学案新人教B版选择性必修第一册

1.2空间向量在立体几何中的应用

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

阂用/圃目国(教师独具内容)

课程标准：L理解点的位置向量和直线的方向向量.2.会用向量方法证明空间的线线平行

或不平行.3.会用向量运算证线线垂直，会求空间中两条直线所成的角.4.会用空间向量来研

究异面直线，了解异面直线间的距离.

学法指导：用向量解决几何问题，建立点、直线与向量的关系，利用向量来确定空间直

线的平行、垂直、异面、夹角等问题，体现向量解决问题的灵活性.

教学重点：利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系；求空间两直

线所成的角.

教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系.

核心概念.掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

确定平面内点的位置，通常采用两种方法一一“平面直角坐标系内的坐标(不力”或“该

点相对于某一已知点的方向和距离”.那么空间呢？在空间，我们也可以用“该点在空间直

角坐标系内的坐标(x,y,z)”或“在空间中该点相对于某一已知点的方向和距离”来描述.

两个词一一“方向”“距离”，给我们什么启示？

导学

知识点一空间中的点与空间向量

一般地，如果在空间中指定一点。，那么空间中任意一点尸的位置，都可以由向量画座

唯一确定，此时，画迷通常称为点夕的位置向量.

知识点二空间中的直线与空间向量

(1)一般地，如果/是空间中的一条直线，-是空间中的一个非零向量，且表示y的有向

线段所在的直线与，叵1平行或重合,则称〃为直线1的一个方向向量.此时，也称向量r

与直线,画王任，记作画必.

(2)如果46是直线/上两个不同的点，则r=画逐就是直线/的一个方向向量.

(3)如果r是直线，的一个方向向量，则对任意的实数空间向量画，工也是直

线1的一个方向向量，而且直线1的任意两个方向向量都画的£

(4)如果y为直线/的一个方向向量，/为直线/上一个已知的点，则空间中直线/的位

置可由画上和画虎A唯一确定.

(5)如果H是直线■的一个方向向量，彩是直线心的一个方向向量，则VI//V2<=>[09]71

〃/2,或1与A重合.

知识点三空间中两条直线所成的角

设以，外分别是空间中直线上，A的方向向量，且上与A所成角的大小为0,则

①。=回~|〈必，%〉或31一〈必，火〉.

②sin〃=|03|sin〈必，火〉或cos〃=|04||cos〈必,日〉

③入J_Z；o|05|〈口,外〉=言目06|H_|_畛.

知识点四异面直线与空间向量

(1)设M,或分别是空间中直线入，A的方向向量

①如果人与人异面，则必与」是不可能画平行的.

②如果0与上不平行，则一与肌可能同异面,也可能画粗交.

③“必与巧河不平行”是“Z与闹异面”的必要不充分条件.

④如下图，46BWlz,“必，物研用不共面”是“，与/：叵]显面”的充要条件.

A

(2)一般地，如果人与心是空间中两条异面直线，材GA,NGh,MN，h,MNLh,则称匝]

世为人与A的公垂线段.空间中任意两条异面直线的公垂线段都画存在并且Fi词唯一.两

条异面直线的旧公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.

'新知I拓展

1.直线的方向向量

(1)在直线上给定一个定点力和它的一个方向向量「，对于直线上的任意一点8有位=

/心这样可以求直线上任一满足要求的点的坐标.

(2)空间中RA,8三点共线的充要条件是

配AOA+〃应(4+〃=1).

2.空间中两条直线所成的角

设空间中两条直线所成的角为，，当两直线垂直时0=90°,当两直线平行时。=0°,

即不平行也不垂直的两条直线所成的角。右(0°,90°),所以空间中两条直线所成角的范

围为［0°,90。］.

血评价自测

1.判一判(正确的打"，错误的打“X”)

(1)直线，的方向向量是唯一的.()

(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.()

(3)若向量a是直线/的一个方向向量，则向量然也是直线/的一个方向向量.()

(4)直线上任意两个不同的点46表示的向量无都可作为该直线的方向向量.()

答案⑴X(2)V(3)X(4)V

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

⑴已知直线h,乙的方向向量分别是m=(1,2,-2),畛=(-3,-6,6),则直线7,

与人的位置关系为.

(2)两向量“=(2,0,3),皈=(-3,0,2),则以向量M，以为方向向量的直线九，&的夹

角为.

(3)已知直线人的一个方向向量为(-7,3,4),直线&的一个方向向量为(%y,8),且

卜"h,贝!)x=,y=.

、H

答案⑴平行⑵万⑶一146

核心素养形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一空间中点的位置的确定

例1已知点4(4,1,3),6(2,-5,1),。为线段45上一点，且则C点坐标为

O

)

5B.《，-3,2

A.~2

10‘573'

C.i1D.2f~2f2

设C(x,y,z),则/C=(x—4,y—1,z—3),又AB=(—2,—6,—2),AC=^

［解析］

~AB,，(x—4,y—1,z—3)=；(—2,—6,—2),解得才=学，y=—1,z=；,

ooo

.•.((¥，—i,故选c.

［答案］c

—［思维品质兼发反思感悟］-------------------

解决此类问题的关键是把已知的长度关系转化为向量关系，从而得到要求点的坐标.

［跟踪训练1］已知点4(2,4,0),5(1,3,3),如图，以丽J方向为正方向，在直线AB

上建立一条数轴，P,0为轴上的两点，且分别满足条件：

①"：PB=\：2；

②四：QB=2：1.

求点P和点0的坐标.

解由於：PB=\：2,得的=2崩，

即宓一尻2(应一而)，

21

设点户的坐标为(x,%z),则上式换用坐标表示，得(x,y,z)=［(2,4,0)+-(1,3,3),

oJ

口口4,158,11…

即才=鼻+鼻=鼻，y=~+1=—,z=0+l=l.

OOOOO

因此，尸点的坐标是便91)

因为四：QB=2：1,

所以拓=-2宓，W-dA=-2(OB-d0),~OQ=~M+2OB.

设点。的坐标为(/,V,z'),则上式换用坐标表示，得(/,V,z')=一⑵4,0)

+2(1,3,3)=(0,2,6),

即x=0,y'=2,z'=6.

因此，0点的坐标是(0,2,6).

题型二向量法证明直线与直线平行

例2如图，在长方体力斫Q466中，(24=3,08=4,绐=2,点P在棱/^上，且

AP=2PA\,点S在棱仍上，支SB\=2BS,点0,A分别是。儿小的中点.求证：PQ//RS.

［证明］证法一：如图，建立空间直角坐标系,

则4(3,0,0),8(0,4,0),«(0,0,2),4(3,0,2),反(0,4,2),£(3,4,0).

•：AP=2P4,

.•.43,0,夕

,:SB、=2BS,.,.《()，4,|).

又。，??分别为和4'的中点，

/.M3,2,0),0(0,2,2),

.•.9(一3,2,1|=后，.•.两〃后,

又麻PQ,：.PQ//RS.

证法二：设》=a,08=b,OO\=c,

,—►—►—►—►1-►-►1―►11—►―►―►―►—►

则国=7%+4。+。0=可〃。一0+5如=鼻。一＞3+54RS=RA+AO+OB+BS

=-^OB—~OA+近+Jc.

乙o乙J

：.PQ=1S,：J?Q//Js,又袋PQ,：.PQ//RS.

——［思推品质表或反思感悟］-------------------

(D通过建系，把证明平行问题转化为代数运算，思路清晰，在以后证线面关系时，只要

能建系的尽量用此法，也就是坐标法.

(2)通过向量运算证明平行问题，此种方法往往在不建系的情况下选用，但要注意根据条

件合理选取基底.

［跟踪训练2］如图，在正方体被叱45G〃中，E,尸分别为血和能的中点.求证:

四边形力比历是平行四边形.

证明以点〃为坐标原点，｛而，DC,前｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为1,则40,0,0，G(0,1,1),1,...泰=

(-1,0,的=(一1,0,I),宿=(0,1,j>=(0,1,：JAE=FCx,ECX=~AF,

:KEII市、,防〃崩，

又咫AE,KEQ,J.AE//FG,ECx//AF,

...四边形加G尸是平行四边形.

题型三利用向量证明两直线垂直或求两直线所成的角

例3如图，在棱长为1的正方体1aA45G4中，E,厂分别是〃〃协的中点，G在

棱切上，且CG=^CD.应用空间向量方法解决下列问题：

(D求证：EFLBC

⑵求旗与GG所成角的余弦值.

［解］如图，建立空间直角坐标系.由已知得《0,0,3，/&»,<7(0,1,0),

G(0,1,1),5(1,1,1),(0,I，0

1

^(7=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,

2,

0,-1),

旗・(-i)+1xo+^-1^x(-1)=0.

一11

C1G=-XO+-X

D=4

.-.cos〈拜,%=互皿=誓

\E~F\\C,G\17

:，EF与GG所成角的余弦值是由二

——［思傕区质表成反思感悟］-------------------

(D将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法也可用坐标法，熟练掌握

证明线线垂直的向量方法是关键.

(2)向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是［0,而异面直线所

成角的范围是(0,y,故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.

(3)利用向量求异面直线夹角的方法

[跟踪训练3](1)直三棱柱45G—中，/4g90°,2,笈分别为4儿4G的中

点，若BC=CA=CC、,则薇与所成角的余弦值为()

1

A

2-

A/5

D.

C・骞10

(2)已知在正方体48W—4844中，点机/V分别是仍与山的中点.求证：物吐能,

答案(DC(2)见解析

解析⑴如图所示，以C为坐标原点，CA,CB,比的方向分别为X轴、y轴、z轴的正

方向建立空间直角坐标系，设I点|=a,

则4(a,0,0),8(0,a,0),0,aj,1,a

丽=《，-1>a],^5—f—I，0,a\,

所以cos〈血忿〉

(2)证明：设正方体的棱长为1,如图,

以力为坐标原点，崩，茄，筋I的方向分别为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐

标系，则1(1,0,目，

1,0),Ji(0,0,1),&(1,0,1),所以就'=1-5,0

6(1,0,0),<7(1,、乙乙乙,\乙乙

祀=(1,1,-1),历=(0,0,1).

所以布，•Zb=^-^xi+1xi+ox(-1)=0,欣•®=[^-^]xo+|xo+oxi=o.

即必归_微，版VI4c

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.若点4(—1,0,1),庾1,4,7)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()

A.(1,2,3)B.(1,3,2)

C.(2,1,3)D.(3,2,1)

答案A

解析由题意，可得直线/的一个方向向量葩=(2,4,6),又当布=32,4,6)=(1,2,3),

向量(1,2,3)是直线/的一个方向向量.故选A.

2.设/i的方向向量a=(1,2,—2),人的方向向量6=(—2,3,ni),若h工则加=

()

A.1B.2

C.D.3

答案B

解析V7I±72,：.aLb,即a・6=(l,2,-2)•(-2,3,加=一2+6—20=0,.•.必=2,

故选B.

3.(多选)如图所示的几何体4比施中，为_L平面£48,CB//DA,EA=AB=DA=2CB,EA

_L46,材是改;的中点.则下述结论正确的是()

A.DM1.EBB.BDLEC

C.DEIBMD.EALCD

答案AD

解析以力为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，井设EA=DA=AB=2CB=2,则

£(2,0,0),6(0,2,0),<7(0,2,1),

1,1,9，防仁1.1,一|),EB=(-2,2,0),诙=(一2,2,1),9(0,

〃(0,0,2),4

-2,2),~DE=(2,0,-2),曲=(1,-1,号，£4=(-2,0,0),0)=(0,-2,1),仅有我•威

=0,EA•CD=Q,从而得DMVEB,EAYCD.故选AD.

4.已知直线)的方向向量v=(2,1,3),且/过40,%3)和8(—1,-2,z)两点，则

尸.z=.

33

答案一52

解析'JAB—(—1>~2—y,z—3)—A(2,1,3),

..11333

••12'―9之一尸—5'z―3=_5，即尸一］，z=~.

5.在直三棱柱480-484中，NBAC=q,AB=AC=AAlt求异面直线48与G/所成角

的大小.

A>

解解法一：设U=4C=44=a,所以48=蛆2=。/,则cos〈/AGA)=----(―

\A^B\\GA\

第1+诵•觉+•

\AB\GA\

德•沆斗德•近+葩・丞斗法•刀

A^B\\GA\

d"+0+0+01.,,h七l-七.u

=?772=~of故向重El48G4所成角为丁，

乙azo

即异面直线46与G4所成角的大小为千

0

解法二：以4为坐标原点，AB,AC,需的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立

如图所示的空间直角坐标系，

:

&AB=AC=AAl=l,则4(0,0,0),6(1,0,0),4(0,0,1),G(0,1,1),

所以而=(1,0,-1),

德=(0,-1,-1),则

cosM⑦=漉

匕4

1

-1X-1

2-从而（诵,GA）=—,即异面直线46与G4所成角的大小

W+Jx'T+rO

,兀

为X

解法三：由题意可知直三棱柱力比1一48G可补成正万体力用力一46£几如图，显然/G

〃如，则直线48和能所成角的大小等于直线46与G4所成角的大小.设9=4C=/4=1,

易知45=9=4〃=*,即△/四是等边三角形，从而/4初=2，因此，直线48与G4

O

所成角的大小为参

课后课时精练

HOUKESHIJINGLIAI

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.已知4B,C三点的坐标分别为1(4,1,3),8(2,-5,1),<7(3,7,4),若/反L/C,

则A等于()

A.28B.-28

C.14D.-14

答案D

解析后=(一2,-6,-2),左=(一1,6,八一3),"：ABLAC,...初•花=0,即2—

36-2(A-3)=0,/.A=-14,故选D.

2.从点4(2,一1,7)沿向量a=(8,9,—12)的方向取线段长48=34,则8点的坐标为

()

A.(-9,-7,7)B.(18,17,-17)

C.(9,7,-7)D.(-14,-19,31)

答案B

解析设6(笛y,z),葩=(*-2,y+1,z-7)=A(8,9,一12),A>0,故/一2=8乂，

尸+1=9儿,z-7=~12A,由(x-2)2+(y+l)2+(2-7)2=342,得(174)2=34?,V2>0,

/.A=2.：.x=18,尸17,z=~17,即6(18,17,-17).

3.如图，在正方体中，E,F,G,〃分别是AB,BB\,5G的中点，

则异面直线"与67/所成的角等于()

A.45°B.60°

C.90°D.30°

答案B

解析以〃为坐标原点，DA,DC,布的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系.设正方体的棱长为1,则《1,o,分，(1,a0)，《1，1，/(；，1，1)

_1

.•.旗=(0,游=(一g，0,耳，cos(EF,G//)~41

一直至一一亍故选B.

4.在正三棱柱4氏G中，已知CQ="则异面直线与园所成角的正

弦值为（）

A.1B.平

C.1D.平

答案A

解析设线段45,四的中点分别为。，D,连接OG,0D,则。平面/能4,以。为

坐标原点，施，龙，砺的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图,

则4（一1,0,⑫,&（1,0,0）,8（1,0,啦），G（0,小,0）,所以葩=（2,0,一⑫,而

—（—1,^3,—^2）,因为45•6G=（2,0,\/2）,（—1,[5,—[^）=0,所以45_L8G,

即异面直线AR和BC、所成的角为直角，则其正弦值为1.

5.（多选）如图所示，在正方体力留146G4中，点只0分别为棱4儿如的中点,

则下列说法正确的是（）

A.PQVACx

B.BQLAC

C.PQLCD

D.PCLADx

答案ACD

解析设正方体的棱长为1,以点4为坐标原点，嬴以，需1的方向分别为x轴、y

轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则/e，0,0）,40,1,4（0,0,1）,G（l,1,0）,

5（1,0,1）,c（i,i,i）,a（o,1,0）,i,0,尼=（i,i,一i）,和（一1,1,

6»=(-1,0,-1),无=$L1)次=(0,1,-1).•・•南•蕉=—京1+1乂1+*(一

1)=0,.,.南1蕉，故A正确；•.•丽•就;=—1乂1+1乂1+卜如(-1)=：,故B错误；：

W*(-l)+lX0+1x(-1)=0,：.PQLCDy,故C正确；•淡=2XO+1X1

+1X(-1)=0,：.PCVAIX,故D正确.故选ACD.

二、填空题

6.在空间直角坐标系中，已知6(1,2,3),5(-1,0,5),<7(3,0,4),0(4,1,3),则直线

4E与切的位置关系是.

答案平行

解析,：AB={-2,-2,2),，方=(1,1,-1),：.A~B=-2Cb,即直线四与二平行.

7.已知直线4,&的方向向量分别为a=(1,2,-1),6=(%2%2),若h〃k,则x=

答案一2一2

解析由/i〃，2,可知a〃b,所以(x,2必2)=4(1,2,—1),解得x=—2,y=~2.

8.已知点4B,。的坐标分别为(0,1,0),(―1,0,1),(2,1,1),点尸的坐标为(％0,

z),若属U_葩，PALAC,则尸点坐标为.

答案件。，-9

解析森=(-1,-1,1),AC=[2,0,1),PA={-x,1,-z),:.匈•诵=0,PA>AC=0,

即x—l—z—0,①

—2x~z—0,②

12fl2、

由①②得x=§，z=—A/lg,0,--J.

三、解答题

9.在正方体力a®-48G4中，己知£,G,〃分别是S,切和4G的中点.

证明：ABx//GE,ABdEH.

证明如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz,设正方体的棱长为1,则/1(0,

0,0),8(。0,0),(7(1,1,0),。(0,1,0),4(0,0,1),5(1,0,1),C；(l,1,1),4(0,1,1),由

中点的性质得(1，1，另，

1)忿=(1,0,1),占$0,1

2｝新(一今

+0+1X=0,

,:靠尸溢,ABx•~EH=1XH)2

J.ABJ/'GE,崩△曲.邸AB、〃GE,ABxLEH.

10.如图，已知直三棱柱/6C-45G中，。===1,N8Cl=90°,44=2,机/V分别

为45,4/的中点.

⑴求cos〈丽，.〉的值；

(2)求证：BN，C\M,BN1CN

解⑴以C为坐标原点，CA,CB,花的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空

间直角坐标系Cxyz.

依题意,得4(1,0,2),(7(0,0,0),&(0,1,2),8(0,1,0),

则丽=(1,-1,2),滂=(0,1,2),

.•.丽•应=1X0+(—1)X1+2X2=3,

|旗|=乖,|滂|=4,

.-.cos向,豆〉=亘今=卑.

\BAA\CR\10

(2)证明:依题意，得6(0,0,2),Ml,0