八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理

17.2勾股定理的逆定理互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.题型1：互逆命题1.（2021八下·武侯期中）下列命题的逆命题为假命题的是（）A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B．若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等C．若c＝d，则（a﹣b）c＝（a﹣b）dD．两直线平行，同位角相等【变式1-1】下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④垂线段最短．其中（）A．①④是真命题 B．①③是真命题C．②③是真命题 D．①②④是真命题【变式1-2】（2021八上·西湖期中）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是，逆命题是命题（填“真”或“假”).勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.题型2：勾股定理的逆定理2.下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10【变式2-1】（2022七上·招远期末）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）．A．a=3，b=2，c=5 B．a=40，b=50，C．a=54，b=1，c=34 D．a=【变式2-2】（2022八下·承德期末）满足下列条件的三边长为a、b、c的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=aC．∠C=∠B-∠A D．∠A如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.题型3：判定三边能否构成三角形（具体数值、比值或字母参数）3.在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a=32，b=52【变式3-1】（2021八下·云浮期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由．【变式3-2】（2022八上·嘉兴期中）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中a=m-n，b=2mn，c=m+n，且m>n>0【变式3-3】已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.注意：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；勾股数的求法：如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.题型4：勾股数及规律问题4.下列各组数中，为勾股数的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12【变式4-1】若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或【变式4-2】观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．【变式4-3】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜150时，共有组这样的“完美勾股数”．题型5：勾股定理逆定理的应用5.（2022八下·老河口期中）某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A=90°，AB=20米，BC=24米，CD=7米，AD=15米，若铺一平方米草坪需要25元，铺这块空地需要投入多少钱？【变式5-1】（2022八下·建昌期末）在如图所示的四边形草坪中，∠ADC=90°，CD=12m，AD=9m，AB=36m，BC=39m，求这块草坪的面积．【变式5-2】（2022八上·仁寿月考）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=1，BC=2，CD=25，DE=3，AE=4，求五边形ABCDE【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）试说明AD⊥BC；（2）试求点D到直线AC的距离．题型6：勾股定理逆定理探究问题6.（2023八上·渠县期末）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.【变式6-1】（2022八下·济南期末）先阅读下面的材料，再解决问题：因式分解多项式：am+an+bm+bn，先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b：得：a（m+n）+b（m+n）再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．请用上面材料中提供的方法解决问题：（1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；（2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状．【变式6-2】（2022八下·巴州期中）阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状；①若a2=b2+c2则该三角形是直角三角形例如一个三角形的三边长分别是4，5，6则最长边是6，62=36<4（1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是三角形（2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形则x的值为（3）若一个三角形的三条边长分别为m2-n一、单选题1．（2021八上·余杭期中）三角形的三边长分别为a、b、c，且满足(a+b)2A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形2．（2020八上·德化月考）下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，9 B．6，8，11 C．5，12，14 D．3，4，53．（2020八下·潮南月考）下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2C．7，24，25 D．6，12，134．（2021八上·成都月考）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤125．（2020八上·沈阳月考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝13，b＝14，c＝1C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝3，b＝7，c＝26．（2020八上·临川月考）三角形的三边长为a，b，c，且满足(a-b)2A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形二、填空题7．（2022八下·黔西月考）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.8．（2020八上·仪征月考）如图所示，圆柱的高AB=3，底面圆的周长是8，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是.9．若正整数a，n满足a2+n2=(n+1)2，这样的三个整数a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我们称它们为一组“完美勾股数"．当n<150时，共有组“完美勾股数"．10．（2020八上·富平期末）如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是cm.11．（2020八上·东阳期末）如图，将一根长度为16cm、自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至点D，则此时该弹性皮筋被拉长了cm.三、解答题12．（2019八上·毕节月考）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）13．（2021八上·万州期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的