八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质十二大题型（解析版）

18.1.1平行四边形的性质平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.题型1：平行四边形的定义1.如图，在▱ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF与GH相交于点O，则图中的平行四边形一共有（）A．4个 B．5个 C．8个 D．9个【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．即共有9个平行四边形，故选：D【变式1-1】如图，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则图中平行四边形一共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形的中位线定理得出EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可．【解答】解：有3个平行四边形，有平行四边形ADEF，平行四边形CFDE，平行四边形BEFD，理由是：∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴EF∥AB，DF∥BC，∴四边形BEFD是平行四边形，同理四边形ADEF是平行四边形，四边形CFDE是平行四边形，∴图中平行四边形一共有3个，故选：C【变式1-2】以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点作形状不同的平行四边形，一共可以作．【分析】连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形．【解答】解：①当A、B、C三点共线时，以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，不能作形状不同的平行四边形；②已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，可构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF．综上所述，可以作0个或3个平行四边形．故答案为：0个或3个．平行四边形的性质（1）1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；注意：①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；题型2：平行四边形的性质与角度计算2（2022八下·威县期末）在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C的度数是（）A．145° B．65° C．55° D．35°【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=35°，∴∠C=35°，故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质，结合∠A=35°求解即可。【变式2-1】（2022八下·虎林期末）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（）A．32-1 B．32+1 C．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，如图：在▱ABCD中，有AD=BC，AD//BC，∵BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45∴∠BFD=∠BED=90∴∠D=360∴∠A=∠C=45∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，∴BE=CE=3，AF=BF，∴BC=B∴AD=32∴AF=BF=AD-DF=32故答案为：A．

【分析】

四边形内角和求得∠A，根据平行四边形性质对顶角相等即可求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求得。【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为度．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠C＝60°，∴AD＝BC，∠ADE＝∠ABC＝120°，∠BAD＝60°，∵∠EAB＝38°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝22°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝BC，∠BEC＝60°，∴BE＝AD，∠BED＝120°＝∠ADE，在△BDE与△AED中，，∴△BDE≌△AED（SAS），∴∠DBE＝∠EAD＝22°，故答案为：22【变式2-3】（2022八下·赵县期末）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1【答案】D【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，其中满足上述条件的为D，故答案为：D．【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补逐项判断即可。题型3：平行四边形的性质与求线段3.（2022八下·锦州期末）如图，▱ABCD的周长为36cm，△ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】【解答】解：∵▱ABCD的周长是36cm，∴AB+BC＝18cm，∵△ABC的周长是28cm，∴AB+BC+AC＝28cm，∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+BC）＝28﹣18＝10（cm）．故答案为：C．

【分析】根据平行四边形周长公式和三角形的周长公式可得AB+BC＝18cm，AB+BC+AC＝28cm，再利用线段的和差可得答案。【变式3-1】（2022八下·文山期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（）A．10 B．213 C．5 D．【答案】A【解析】【解答】解：令▱ABCD对角线交点为O，如图所示：在▱ABCD中，OB=OD=1在RtΔAOB中，AB＝4，BO＝3，BD⊥AB，则OA=A∴AC=2OA=10，故答案为：A．【分析】先求出OB=OD=1【变式3-2】（2022八下·丰南期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，则BD的长是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，∴AO=12AC=6∵AB⊥AC，∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=A∴BD=2BO=20．故答案为：C．【分析】先利用勾股定理求出BO的长，再利用平行四边形的性质可得BD=2BO=20。平行四边形的性质（2）1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；2．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.注意：（1）对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.（3）对角线性质的拓展∶①两条对角线将平行四边形分为面积相等的四个三角形;②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等;③过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.题型4：平行四边形的性质与求周长4.（2022八下·仁怀月考）如图，已知平行四边形ABCD的周长等于22cm，AC=8cm，则△ABC的周长是（）A．11cm B．15cm C．16cm D．19cm【答案】D【解析】【解答】解：∵▱ABCD的周长是22cm，∴AB＋BC＝11cm，∵AC＝8cm，∴△ABC的周长为AC＋（AB＋BC）＝8＋11＝19（cm），故答案为：D.【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得AB+BC=11cm，进而根据三角形周长的计算方法即可算出答案.【变式4-1】（2022八下·芜湖期末）如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是（）A．32 B．23 C．21 D．20【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=12AC=4，BO=DO=1∴△AOD的周长是：AD+AO+DO=10+4+7=21，故答案为：C．【分析】利用平行四边形的性质求解即可。【变式4-2】已知□ABCD的周长为36，且AB：AD=1：2，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，

∴AB=CD，AD=BC

∴2（AB+AD）=36，

∴AB+AD=18；

∵AB：AD=1：2，

∴AD=2AB，

∴3AB=18，

解之：AB=6.

故答案为：B.

【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，结合已知可求出AB+AD的长；再根据题意可得到AD=2AB，然后解方程组求出AB的长.题型5：平行四边形的性质与面积5.如图，在▱ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．（1）求AB的长；（2）求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理得出DE，进而解答即可；（2）根据平行四边形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC＝13，在Rt△ADE中，，＝．∴CD＝DE+CE＝5+10＝15．∴AB＝15；（2）S▱ABCD＝CD×AE＝15×12＝180【变式5-1】（2022八下·东港期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF和GH过点O，且点E，H在边DC上，点G，F在边AB上，若▱ABCD的面积为10，则阴影部分的面积为（）A．6 B．4 C．3 D．5【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，EF和GH过点O，∴△OEH与△OFG关于点O成中心对称，∴S△OEH=S△OFG，∴阴影部分的面积=S△OCD=14故答案为：D．【分析】先求出△OEH与△OFG关于点O成中心对称，再求出S△OEH=S△OFG，最后求解即可。【变式5-2】如图所示，□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，

∴AD=BC，AB=DC，

在△ADC和△CBA中

AD=BCAB=DCAC=CA

∴△ADC≌△CBA（SSS）

∴S△ADC=S△CBA=12S平行四边形ABCD=12×12=6；

∵AE=EF=FC

∴S△BEF=13S△CBA=13×6=2.

故答案为：A.

【变式5-3】（2021八下·成华期末）如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）A．S1+S2>12S【答案】C【解析】【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴S=BC•EF，S1＝AD⋅PE2，S2＝BC⋅PF∵EF=PE+PF，AD=BC，∴S1+S2=S2故答案为：C.【分析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，利用平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，分别表示出S，S1，S2，再根据EF=PE+PF，AD=BC，可得到S，S1，S2之间的关系.题型6：平行四边形的性质与三边关系6.（2022八下·凉山期末）在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，AC＝10，BD＝8，则AD的长度的取值范围是（）A．AD＞1 B．1＜AD＜9 C．AD＜9 D．AD＞9【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC=12AC=5，OB=OD=12BD=4，

∵OA-OD<AD<OA+OD，

∴1＜AD＜9.

故答案为：B.【变式6-1】（2021八下·崂山期末）如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A．2<OA<10 B．1<OA<5 C．4<OA<6 D．2<OA<8【答案】B【解析】【解答】∵AB=4，BC=6，∴6-4<AC<6+4，即：2<AC<10，∵在▱ABCD中，OA=OC，∴1<OA<5，故答案为：B．【分析】根据两边之长大于第三边，两边之差小于第三边，得到OA长的取值范围。【变式6-2】（2021八下·铜官期中）已知平行四边形一边长为5，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．1＜α＜11 B．4＜α＜16C．10＜α＜12 D．以上答案都错误【答案】B【解析】【解答】如图，已知平行四边形中，AB=5，AC=6，求BD的取值范围，即α的取值范围．∵平行四边形ABCD∴α=2OB，AC=2OA=6∴OB=12∴在△AOB中：AB-OA＜OB＜AB+OA2＜OB＜8∴4＜α＜16故答案为：B．【分析】由平行四边形的性质可得OB=12BD=12α，OA=题型7：平行四边形的性质与角平分线7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF＝2，，则AB的长为（）A． B． C． D．4【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证AB＝BF，在Rt△BEF中，由勾股定理可求BF，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∵BE⊥AF，EF＝2，，∴BF＝＝＝4，∴AB＝BF＝4，故选：D【变式7-1】（2022八下·成都期末）如图，▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD，则EC之长为（）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=8，∴∠DAE=∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，∴EC=BC-BE=8-6=2，故答案为：D.【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=8，根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB，由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE=6，然后根据EC=BC-BE进行计算.【变式7-2】（2022八下·上虞期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，则线段EF的长是（）A．3 B．3 C．2 D．3【答案】C【解析】【解答】解：∵AE和BF分别是∠DAB和∠CBA的角平分线∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF∵AB∥CD∴∠DEA=∠BAE，∠CFB=∠ABF∴∠DAE=∠DEA，∠CFB=∠CBF，

∴DA=DE，CF=CB∵AD=BC=5，AB=8∴DE=CF=5，CD=8∴EF=DE+CF-CD=2.故答案为：C.【分析】根据角平分线的概念可得∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，由平行线的性质得∠DEA=∠BAE，∠CFB=∠ABF，则∠DAE=∠DEA，∠CFB=∠CBF，推出DA=DE，CF=CB，结合已知条件可得DE=CF=5，CD=8，然后根据EF=DE+CF-CD进行计算.【变式7-3】（2020八下·扶风期末）如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE相交于CD上的一点E．求证：AE⊥BE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,∴∠DAB+∠CBA=180°∵AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,∴∠EAD=12∠DAB,∠EBA=1∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，即AE⊥BE.【解析】【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得出∠DAB+∠CBA=180°，再根据角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA=90°，从而求得∠AEB=90°，即可求解.题型8：平行四边形的性质与垂直平分线8.在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为30cm，则△CDE的周长为（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15cm，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长为30cm，∴AD+CD＝15（cm），∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15（cm）．故选：C【变式8-1】如图，在▱ABCD中，D在AB的垂直平分线上，且▱ABCD的周长为42cm，△BCD的周长比▱ABCD的周长少12cm，则AB＝cm，S▱ABCD＝cm2．【分析】根据垂直平分线的性质可知，AD＝DB，由于△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm，所以可求出BD＝9cm，再根据周长的值求出AB，根据勾股定理求出高DE，即可求出答案．【解答】解：∵AB的垂直平分线EF经过点D，∴DA＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，∵△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm∴BD＝9cm，∴ADBC＝BD＝9cm，∵▱ABCD的周长为42cm，∴AB＝DC＝×42cm﹣9cm＝12cm，在△ADB中，AD＝BD＝9cm，AB＝12cm，∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，AE＝BE＝6cm，由勾股定理得：DE＝＝3（cm），∴S平行四边形ABCD＝AB×DE＝12cm×3cm＝36cm2，故答案为：12，36．【变式8-2】（2021八下·江津期末）如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE=CE，∵△CDE的周长为11cm，∴CE+DE+CD=11cm，∴AE+DE+CD=11cm，即AD+CD=11cm，则平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=22cm，故答案为：B.【分析】先根据平行四边形的性质可得OA=OC，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得AE=CE，然后根据三角形的周长公式可得AD+CD=11cm，最后根据平行四边形的周长公式即可得.题型9：平行四边形的性质与最值9.（2021八下·邢台月考）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（）A．6 B．8 C．22 D．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，∵∠BAC＝45°，∴∠ACP=∠BAC=45°，设PA=PC=x，在Rt△APC中，AB＝AC＝8，则PA2+P解得x=42故答案为：D．

【分析】设PA=PC=x，利用勾股定理可得PA2+P【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，求DE的最小值．【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC，∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝2，∴ED＝2OD＝4；则DE的最小值是4．题型10：平行四边形的性质与折叠问题10.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114° D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C【变式10-1】如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°【分析】根据折叠的性质得出AM＝MD＝MF，得出∠MFA＝∠A＝70°，再由三角形内角和定理即可求出∠AMF．【解答】解：根据题意得：AM＝MD＝MF，∴∠MFA＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故选：B【变式10-2】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE＝∠BAD，得出∠D1AD＝∠BAE＝55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°；故答案为：55°．题型11：平行四边形的性质与证明题11.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F是对角线AC的三等分点，∴AE＝CF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．【变式11-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE＝CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．【变式11-2】如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明．【分析】（1）只要证明∠MAB+∠MBA＝90°即可；（2）结论：DF＝CE．只要证明AD＝DE，CF＝BC，可得DE＝CF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠EAB＝∠DAB，∠ABF＝∠ABC，∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠EAB+∠ABF＝×180°＝90°，∴AE⊥BF．（2）DF＝CE．证明：∵AE平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD，∵DC∥AB，∴∠EAD＝∠EAD，∴AD＝DE，同理：FC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴DE＝FC，∴DF＝CE两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.题型12：平行线的距离12.（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【答案】C【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，∵a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，∴a与c间的距离为5+2=7(cm)；②直线c在直线a、b之间时，∵a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，∴a与c间的距离为5-2=3(cm)；综上，a与c间的距离为3cm或7cm，故答案为：C．

【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.【变式12-1】如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB与CD的距离；（2）AD与BC的距离．【分析】（1）在直角三角形中，由勾股定理解直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可；（2）由面积相等建立等式关系，进而可求解其距离．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝＝＝8，∴AB与CD的距离＝AC＝8；（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，∴AD、BC之间的距离为6×8÷10＝4.8【变式12-2】如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．【答案】解：S△ABC=AB•BC=×4•BC=12，解得BC=6，∵AB∥CD，∴点D到AB边的距离等于BC的长度，∴△ABD中AB边上的高等于6cm【解析】【分析】根据三角形的面积求出△ABC的边AB上的高BC，再根据平行线间的距离相等解答．一、单选题1．（2021八下·昌图期末）下列性质中，平行四边形不具有的是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．相邻两角互补 D．两组对边分别相等【答案】A【解析】【解答】解：A、平行四边形不具有对角线相等的性质，符合题意；B、平行四边形具有对角线互相平分的性质，不符合题意；C、平行四边形具有相邻角互补的性质，不符合题意；D、平行四边形具有两组对边分别相等的性质，不符合题意，故答案为：A．【分析】平行四边形的对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分，据此逐一判断即可.2．（2022八下·滕州期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝12AC＝3，OB＝1在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故答案为：D．【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝12AC＝3，OB＝13．（2021八下·崇川月考）如图，▱ABCD中，对角线AC､BD相交于点O,OE⊥AC交CD于点E，连接AE，若▱ABCD的周长为28，则△ADE的周长为（）A．28 B．24 C．21 D．14【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC∵OE⊥AC∴OE是线段AC的垂直平分线∴AE=CE∵平行四边形ABCD的周长为28，即2（AD+CD）=28∴AD+CD=14∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14故答案为：D.【分析】根据平行四边形的性质以及已知条件可得：OE是线段AC的垂直平分线，则AE=CE，由平行四边形的周长可得AD+CD=14，据此解答即可.4．（2022八上·新泰期末）如图，▱ABCD中，点O为对角线AC的中点，直线l经过点O分别与BC，AD交与点M，N，下列结论中，不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．BM=AN C．AN=CM D．OM=ON【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，A成立，不符合题意；∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵点O为对角线AC的中点，∴OA=OC，∵∠AON=∠COM，∴△AON≅△COM，∴AN=CM，OM=ON，C、D成立，不符合题意；BM=AN不一定成立，B符合题意；故答案为：B．

【分析】利用平行四边形的性质逐项判断即可。5．（2020八下·古冶期中）如图，在▱ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，则▱ABCD的周长是（）A．12cm B．20cm C．16cm D．24cm【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵AD＝6cm，AB＝4cm，∴AB＝CD＝4cm，AD＝BC＝6cm，则▱ABCD的周长为AB+BC+CD+AD＝4+6+4+6＝20（cm），故答案为：B．【分析】根据平行四边形的性质可知：对边相等，再利用周长计算方法求解即可。二、填空题6．如图，DE∥BC，AE＝EC，延长DE到点F，使EF＝DE，连结AF，FC，CD，则图中的平行四边形有．【答案】四边形ADCF和四边形BCFD【解析】【解答】∵AE=EC，EF=DE，∴四边形ADCF是平行四边形．∵四边形ADCF是平行四边形，∴AB∥CF，又∵DE∥BC，，

∴四边形BCFD是平行四边形．故填四边形ADCF和四边形BCFD.【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出第一个平行四边形，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出第二个平行四边形．7．（2019八下·东台月考）在平行四边形ABCD中，若∠B＝50°，则∠D＝°【答案】50【解析】【解答】根据“平行四边形的对角相等”可知：∠D=∠B=50°.故答案为：50.

【分析】由平行四边形的对角相等可求解。8．（2020九上·镇海开学考）如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为.【答案】14【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，

∴AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6

∵AC+BD=16

∴2OC+2OB=16

∴OC+OB=8

∴△BCO的周长为OC+OB+BC=8+6=14.

故答案为：14.

【分析】利用平行四边形的性质可知AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6，由AC+BD=16，可求出OC+OB的值，然后可求出△BOC的周长。9．（2019八下·尚志期中）如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是．【答案】12【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质，得AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OF=OE=1.5，CF=AE，

根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，

故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD=OE+OF+AE+ED+CD=1.5+1.5+5+4=12．

故答案为：12.

【分析】根据平行四边形的性质相等的边和角，证明△AOE≌△COF，即可得到OF=OE=1.5，CF=AE，进而利用平行四边形的对边相等可计算出四边形EFCD的周长.三、解答题10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF求证：AE=CF．【答案】证明：∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，∴DE=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中DE=BF∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AE=CF．【解析】【分析】由BE=DF，可得DE=BF，在平行四边形ABCD中有AD=BC，AD∥BC，故可由两直线平行内错角相等可得∠ADE=∠CBF，从而可利用SAS证得△ADE≌△CBF，即可由全等三角形的对应边相等得到AE=CF．11．（2022八下·阜新期末）如图所示，在▱ABCD中，∠ABC=60°，且AB=BC，∠MAN=60°．请探索BM，DN与AB的数量关系，并证明你的结论．【答案】解：如图，连接AC，∵▱ABCD，∠ABC=60°，∴AB=CD，∠BAD=120°，AB∥CD，∵∠MAN=60°，∴∠MAC+∠NAC=60°，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，∴∠BAM+∠NAC=60°，∴∠BAM=∠NAC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA=60°，∵∠BAM=∠NAC，AB=AC，∠ABC=∠DCA=60°，∴△ABM≌△CAN，∴BM=CN，∵AB=CD，∴BM+DN=CN+DN=CD=AB.【解析】【分析】连接AC，先证明△ABC为等边三角形，可得∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，再证明△ABM≌△CAN，可得BM=CN，再结合AB=CD，利用线段的和差及等量代换可得BM+DN=CN+DN=CD=AB。12．已知ABCD是平行四边形，用尺规分别作出△BAC与△DAC共公边AC上的高BE、DF．求证：BE=DF．【答案】证明：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°．在△ABE和△CDF中，AB=DC∠BAC=∠DCA∠AEB=∠DFC，∴△ABE≌△CDF（A