广东省汕尾市海丰县2023-2024学年中考数学最后冲刺卷含解析

广东省汕尾市海丰县2023-2024学年中考数学最后冲刺浓缩精华卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．如图，两张完全相同的正六边形纸片边长为重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：13．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为（）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于()A．30 B．40 C．60 D．805．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（）A． B． C． D．6．如图，已知，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．7．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．8．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．没有实数根9．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31° B．28° C．62° D．56°10．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=()A．335°° B．255° C．155° D．150°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．12．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为__________．13．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__米（结果保留根号）．14．因式分解：x3﹣4x=_____．15．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____．16．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为．17．甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.求证：是⊙的切线；若,且,求⊙的半径与线段的长.19．（5分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1∴==+=x2+2+这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．解答：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明的最小值为1．20．（8分）如图，的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.在图1中画出边上的中线；在图2中画出，使得.21．（10分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在中，是边上的中线，若，求证：.如图②，已知矩形，如果在矩形外存在一点，使得，求证：.（可以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边与的数量关系.22．（10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？23．（12分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．24．（14分）如图，∠BAO=90°，AB=8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连接BD，设AP=m．（1）求证：∠BDP=90°．（2）若m=4，求BE的长．（3）在点P的整个运动过程中．①当AF=3CF时，求出所有符合条件的m的值．②当tan∠DBE=时，直接写出△CDP与△BDP面积比．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】∵∆=12-4×1×（-2）=9>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.2、C【解析】

求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题；【详解】解：正六边形的面积，

阴影部分的面积，

空白部分与阴影部分面积之比是：：1，

故选C．【点睛】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3、A【解析】

设黄球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出黄球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个黄球的概率．【详解】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：，解得：x=3，即袋中黄球有3个，所以随机摸出一个黄球的概率为，故选A．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．4、B【解析】

过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．【详解】过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，∴点A的坐标为（a，a）．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a•a=a2=48，解得：a=1，或a=-1（舍去）．∴AM=8，OM=6，OB=OA=1．∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，∴S△AOF=S菱形OBCA=OB•AM=2．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA．5、B【解析】

连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案．【详解】解：连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝60°，∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，∴的长＝＝；故选B．【点睛】本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．6、A【解析】

已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【详解】∵AB∥CD∥EF，∴．故选A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．7、B【解析】

连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．8、D【解析】

解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．9、D【解析】

先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．10、B【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．故选B．点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n﹣2）×180°（n≥3且n为整数）是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、或【解析】分析：依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．详解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=+2，由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=，∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD，又∵AB=+2，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=，故答案为：或．点睛：本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．12、【解析】

根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），从而得到四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据勾股定理可得答案.【详解】如图，在y＝﹣x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0,3），∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x－1）2＋4，∴对称轴为x＝1，顶点D（1,4），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2,3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1,4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3）,连结D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′＝DE＋D′E′＝＝∴四边形EDFG周长的最小值是.【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，利用数形结合得出答案.13、100+100【解析】【分析】由已知可得∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，继而可得∠DCB=60°，从而可得AD=CD=100米，DB=100米，再根据AB=AD+DB计算即可得.【详解】∵MN//AB，∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∠DCB=60°，∵CD=100米，∴AD=CD=100米，DB=CD•tan60°=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100（米），故答案为：100+100．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．14、x（x+2）（x﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式．即x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15、【解析】

设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．【详解】∵△BCD∽△BAC，∴=，设AB=x，∴22=x，∵x＞0，∴x=4，∴AC=AD=4-1=3，∵△BCD∽△BAC，∴=＝，∴CD=．故答案为【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．16、－6【解析】

分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴A（﹣3，2）.∵点A在反比例函数的图象上，∴，解得k=－6.【详解】请在此输入详解！17、甲【解析】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S2甲<S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为甲．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明参见解析；（2）半径长为，=.【解析】

（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，连结，则，所以，∵，∴.∴，∴∥.由得出，于是得出结论；（2）由得到，设，则.，，，由，解得值，进而求出圆的半径及AE长.【详解】解：（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.∵，∴.∴是⊙的切线；（2）在和中，∵，∴.设，则.∴，.∵，∴.∴，解得=，则3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半径长为，=.【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.19、(1)=x2+7+(2)见解析【解析】

（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可；（2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．【详解】（1）设﹣x4﹣6x+1=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4+（1﹣a）x2+a+b，可得，解得：a=7，b=1，则原式=x2+7+；（2）由（1）可知，=x2+7+．∵x2≥0，∴x2+7≥7；当x=0时，取得最小值0，∴当x=0时，x2+7+最小值为1，即原式的最小值为1．20、（1）见解析；（2）见解析.【解析】

（1）利用矩形的性质得出AB的中点，进而得出答案．（2）利用矩形的性质得出AC、BC的中点，连接并延长，使延长线段与连接这两个中点的线段相等.【详解】（1）如图所示：CD即为所求.（2）【点睛】本题考查应用设计与作图，正确借助矩形性质和网格分析是解题关键．21、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】

（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；

（2）先判断出OE=AC，即可得出OE=BD，即可得出结论；

（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【详解】（1）∵AD=BD，

∴∠B=∠BAD，

∵AD=CD，

∴∠C=∠CAD，

在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°

∴∠B+∠C=90°，

∴∠BAC=90°，（2）如图②，连接与，交点为，连接四边形是矩形（3）如图3，过点做于点四边形是矩形，是等边三角形，由（2）知，在中，，【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B=∠BAD，解（2）的关键是判断出OE=AC，解（3）的关键是判断出△ABE是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．22、（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，1元/件；（2）共有四种方案．【解析】

（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，x=15，经检验x=15