全等三角形之角平分线模型

角平分线模型【理论准备1】：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于½MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．CCＣOBＢAAAＮＭ【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形对应角相等ＣＯＢ【理论准备2】：角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【几何语言】：∵OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB∴DE=DF【理论准备3】：角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【几何语言】：∵DE⊥OA，DF⊥OB且DE=DF∴OD为∠AOB的角平分线【说明】：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。【例题1】证明：三角形三个内角的角平分线交于一点．【跟踪训练】如图，△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D．求证：AD是∠BAC的平分线．如图，△ABC的外角一平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BAC=80°，则∠CAP=________.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，DE=3cm，BD=5cm，则BC=__________．如图，△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，求△ABC的面积．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，若点P是△ABC的三条角平分线的交点，则点P到边BC的距离是________.如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．【理论准备4】【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。【例题2】如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：CE=½BD．【跟踪训练】如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求证：AC-AB=2BE．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C。如图，△ABC内有一点D，AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，连接DB，若△ADB的面积为3cm2，则△ABC的面积为________.【理论准备5】【说明】：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。【例题3】如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O．求∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．【跟踪训练】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A的角平分线AE交DC于E，BE是∠B的角平分线．求证：（1）AE⊥BE；（2）AD+BC=AB．如图，△ABC中AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D点．求证：BC=AC+CD.如图，四边形ABCD中,BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.（跟踪训练8做对比）【理论准备6】【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。【例题3】已知等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于D．求证：BD+AD=BC．【跟踪训练】（1）如图①，在中，BD、CD分别平分和，．如果，则的周长为__________．（2）如图②，的平分线与的外角平分线相交于点D，过点D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，则________．（3）如图③，的内角和外角的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG//BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_____________（只填序号）（1）如图，在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE