函数模型的应用课件-高一上学期数学人教A版

函数模型的应用

我们学过的基本初等函数有一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数以及幂函数.它们都与现实世界有着紧密的联系,有着广泛的应用.

下面我们通过一些实例,来感受它们的广泛应用,体会解决实际问题建立函数模型的过程.1.一次函数的解析式为____________,其图像是一条____线，当_______时，一次函数在

上为增函数，当_____时，一次函数在

上为减函数。直2.二次函数的解析式为____________,其图像是一条____线，当______时，函数有最小值为_______，当__

_时,函数有最大值为________。抛物复习引入例1、一辆汽车在某段路程的行驶速度与时间的关系如图所示。(1)、求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。908070605040302010v/(km/h)t/h12345典型例题这个函数的图像如右图所示：解(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km(2)根据图形可得：点评:分段函数是刻画现实问题的重要模型.908070605040302010vt典型例题1.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事。①小明离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返回家里找到作业再上学②小明骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间③小明出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速(D)(A)(B)c对应的参考事件：小明出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。ABC0离家距离时间0时间0时间0时间D离家距离离家距离离家距离巩固练习2.在一定范围内，某种产品的购买量为yt，与单价X元之间满足一次函数关系如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为（）元元元元c巩固练习

例2、人口问题是当世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年增长率。(1)、如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)、如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？典型例题典型例题典型例题

例3某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元日均销售量/桶6789101112480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？由表中信息可知销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。思考：销售利润怎样计算较好？思考:问题所提供的数据有何特点?典型例题

例3:某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价(元)6789101112日均销售量(桶)480440400360320280240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?解:由表可知:销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为:480-40(x-1)=520-40x(桶).∵x>0,且520-40x>0∴0<x<13.从而y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0<x<13.∴当时,y有最大值.∴经营部只要将销售单价定为元,就能获得最大利润.注意变量的变化范围,并以此检验结果的合理性.典型例题互动交流,探求新知例4、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：回报的累积值方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么?想一想：方案一：每天回报40元；我来说①例4涉及哪些数量关系？②如何用函数描述这些数量关系？思考下面的问题：投资天数回报金额③三个函数模型的增减性如何？④要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？每天的回报数、增加量、累计回报数想一想：2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系?我来说设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数进行描述。想一想：3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的方案呢?要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况,列表如下：我来说x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8000000000…01010101010101010…10…我想问根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?我来说方案一每天的回报不变;方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。我想问作出三个方案的图象看看?oxy2040608010012014042681012我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。指数爆炸根据以上分析,你认为该作出何种选择?从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?累计回报表

天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8思考投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。基本步骤：第一步：阅读理解，认真审题

读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。第二步：引进数学符号，建立数学模型

设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。

第四步：再转译为具体问题作出解答。

方法归纳

实际问题

数学模型实际问题的解抽象概括数学模型的解还原说明推理演算方法归纳1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入达到最高，每间定价应为（）元元元元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为()元元元元CA巩固练习收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释问题不符合实际小结：函数建模实际情境提出问题数学模型数学结果检验可用结果合乎实际不合乎实际收集数据画散点图选择数学模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题符合实际不符合实际一次函数对数函数指数函数①例6涉及了哪几类函数模型？用3分钟时间认真阅读课本152页例6，边阅读边思考下面的问题：②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?[例6]

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x,其中哪个模型能符合公司的要求？1、销售利润达到10万元时进行奖励；2、奖金总数不超过5万元；3、奖金不超过利润的25%；4、公司总的利润目标为1000万元。从1和4知道只需在区间[10，1000]上检验三个模型是否符合公司的要求（即2和3两条）即可。3.依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，所以奖金y可用不等式表示为______________.2.依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，所以奖金y可用不等式表示为__________.0≤y≤50≤y≤25%x依据这两个约束条件对奖励模型进行选择的实质是要怎么样呢？比较三个函数的增长情况！尝试作函数:y=0.25x,y=log7x+1,

x，及y=5的图象.并思考:不妨试一试！1.如何利用它们的图象作出选择呢？2.这三种增长有什么不同呢？▲借助计算机作出它们的图象。通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？2004006008001000234567810①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;②对于模型x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求;③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。对数增长模型比较适合于