专题11幂函数（3个知识点3种题型）

专题11幂函数（3个知识点3种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.幂函数的定义知识点3.幂函数的性质【方法二】实例探索法题型1.幂函数的概念题型2.幂函数的图象与应用【方法三】成果评定法【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))，y＝x－1的图象如图所示：知识点3.幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up5(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数【方法二】实例探索法题型1.幂函数的概念【例1】已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．[解]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))所以m＝－3，n＝eq\f(3,2).【规律方法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.【变式1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B【变式2】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值等于________．【解析】设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log23＝eq\f(1,3).【变式3】已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．【答案】【分析】根据幂函数的单调性，可知，又，则，再根据函数是偶函数，将分别代入验证可得答案.【详解】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，又∵，∴或1．因为函数是偶函数，将分别代入，当时，，函数为是偶函数，满足条件.当时，，函数为是偶函数，满足条件.的解析式为．题型2.幂函数的图象【例2】点(eq\r(2)，2)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(eq\r(2))α＝2，(－2)β＝－eq\f(1,2)，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．【规律方法】解决幂函数图象问题应把握的两个原则1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝xeq\s\up5(\f(1,2))或y＝x3来判断.【变式1】若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c【答案】B【解析】令a＝2，b＝eq\f(1,2)，c＝－eq\f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.【变式2】函数y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是()ABCD【答案】B【解析】y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的图象可看作由y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称后即为选项B.与应用【例3】比较下列各组中幂值的大小：(1)3,3；(2)eq\s\up5(\f(1,2))eq\s\up5(－\f(1,2))，eq\r(1.1).[思路点拨]构造幂函数，借助其单调性求解．[解](1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，33.eq\s\up5(－\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9)))eq\s\up8(\f(1,2))，eq\r(1.1)eq\s\up5(\f(1,2)).∵1.2>eq\f(10,9)>1.1，且y＝xeq\s\up5(\f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增，【规律方法】比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.【变式1】比较下列各组数的大小：(1)3eq\s\up15(－\f(5,2))eq\s\up15(－\f(5,2))；(2)eq\s\up5(\f(2,5))eq\s\up15(－\f(2,3))，(－1.9)eq\s\up15(－\f(3,5)).[解](1)因为函数y＝xeq\s\up15(－\f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3eq\s\up15(－\f(5,2))eq\s\up15(－\f(5,2)).eq\s\up5(\f(2,5))>1eq\s\up5(\f(2,5))eq\s\up15(－\f(2,3))<1eq\s\up15(－\f(2,3))＝1，而(－1.9)eq\s\up15(－\f(3,5))eq\s\up5(\f(2,5))eq\s\up15(－\f(2,3))>(－1.9)eq\s\up15(－\f(3,5)).【变式2】比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．【方法三】成果评定法一、单选题1．（2023春·湖南株洲·高一统考开学考试）下列函数中：①，②，③，④，⑤，其中在定义域内为增函数的个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】利用幂函数的性质判断作答.【详解】对于①，函数在定义域不单调；对于②，函数在定义域上单调递增；对于③⑤，函数的定义域都是R，并且在R上都为增函数；对于④，函数的定义域为R，在上单调递减，所以在定义域内为增函数的有②③⑤，共3个.故选：C2．（2023·全国·高一专题练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案.【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关，故幂函数（是常数）的图象一定经过点，故选：B3．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则（

）A． B． C．4 D．8【答案】C【分析】设，代入，得，从而得，再将代入计算即可得答案.【详解】解：因为函数是幂函数，所以设，代入，得，解得，所以，所以.故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则（）A． B．C．2 D．3【答案】A【分析】把点代入幂函数解析式运算求解即可.【详解】由题意可得：，所以.故选：A.5．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据幂函数的性质直接判断即可.【详解】由幂函数性质知：的定义域为，且在第一象限内单调递减，ABC错误，D正确.故选：D.6．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由幂函数的定义可判断各选项.【详解】由幂函数的定义,形如，叫幂函数，对A，，故A正确；B，C，D均不符合.故选：A．7．（2023·全国·高一专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的单调性判断.【详解】因为，，，又，在上单调递增，所以．综上，．故选：A．8．（2023·全国·高一专题练习）幂函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数定义域为，且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，又当时单调递减，则在上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列结论正确的是（）A．幂函数的图象不可能在第四象限内B．当时，幂函数的图象是一条直线C．当时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小【答案】AD【分析】根据给定条件，利用幂函数的图象性质逐项判断作答.【详解】对于A，在幂函数中，当时，，因此幂函数的图象不可能在第四象限，A正确；对于B，当时，幂函数为，其中，其图象是去掉点的一条直线，B错误；对于C，当时，幂函数为，它在上为减函数，上为增函数，C错误；对于D，当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小，D正确.故选：AD10．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数，则（

）A．B．的定义域为C．D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像【答案】BC【分析】由幂函数的系数为可求得、,则A选项可判定;由解析式可求定义域，则B选项可判定;由的奇偶性可判定是否满足，则C选项可判定;把中的用代可得向左平移个单位长度后函数，则D选项可判定.【详解】由幂函数的定义可知，所以，所以，故A选项错误；由可知其定义域为，故B选项正确；为奇函数，所以，故C选项正确；将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，故D选项错误；故选：BC.11．（2023秋·云南·高一云南省下关第一中学校考阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数【答案】AC【分析】根据幂函数中结论一一分析即可.【详解】对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；故选：AC.12．（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（

）A．函数为奇函数 B．函数为偶函数C．函数在为减函数 D．函数在为增函数【答案】AC【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.【详解】因为是幂函数，所以设，又的图像经过点，所以，所以，即，所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；故选：AC.三、填空题13．（2023·全国·高一专题练习）写出一个满足条件“函数的图象与轴、轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数:.【答案】（答案不唯一）【分析】根据常见幂函数的图象及其性质得到答案【详解】根据函数的图象与轴、轴没有交点，且为奇函数，故可令.故答案为：14．（2023秋·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数．【答案】2【分析】根据幂函数定义可知，求解后根据函数对称性验证即可.【详解】因为是幂函数，所以，即，解得或，当时，为奇函数，不满足题意；当时，的图象关于y轴对称，满足题意.所以，.故答案为：215．（2023春·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）已知幂函数的图象经过点，则.【答案】4【分析】根据幂函数过点代入解析式求解即可.【详解】设，则，解得，所以，又在幂函数图象上，则.故答案为：16．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是．【答案】3【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论．【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以．故答案为：3.四、解答题17．（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用幂函数的单调性，比较函数值的大小.【详解】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．（2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．（3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以．18．（2023·全国·高一课堂例题）设是幂函数，已知，求，．【答案】，【分析】设函数解析式，代入求出解析式，可求，.【详解】设幂函数．由已知条件得．故，，于是，．19．（2023秋·浙江宁波·高一慈溪市杨贤江中学校考阶段练习）已知函数为幂函数，且为奇函数．(1)求m的值；(2)求函数在的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数得到或，再验证奇偶性得到答案.（2）确定，函数在上单调递增，计算最值得到值域.【详解】（1）函数为幂函数，则，解得或；当时，为奇函数，满足条件；当时，为