海南省海口市澄迈中学高三数学理下学期期末试卷含解析

海南省海口市澄迈中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像大致是 (

) 参考答案：D略2.将函数的图象向左平移个单位后的图象的函数解析式为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+） D．y=sin（2x﹣）参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π?ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=?φ=?f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故选D．4.函数f（x）=cosx－cos（x+）的最大值为

（

）

A．2

B．

C．1

D．

参考答案：C略5.若集合=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知集合，，则

参考答案：A7.设函数，将函数f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，若g(x)为偶函数，则的最小值是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简f(x)，求得f(x)向左平移个单位后的g(x)的解析式，根据g(x)为偶函数，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】，向左平移，得，又为偶函数，令，得，由于，，∴最小值为，故选：A.【点睛】本小题主要考查诱导公式、辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.8.设全集CUA）∩B=

（

）

A．{0}

B．{－2，－1}

C．{1，2}

D．{0，1，2}参考答案：C略9.在△ABC中，sin2A=sin2B是A=B的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：B10.已知命题p：?x∈R，cosx≤1，则(

) A．￢p：?x∈R，cosx≥1 B．￢p：?x∈R，cosx＜1 C．￢p：?x∈R，cosx≤1 D．￢p：?x∈R，cosx＞1参考答案：D考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可解答： 解：命题p：?x∈R，cosx≤1，是一个全称命题∴￢p：?x∈R，cosx＞1，故选D．点评：本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的取值范围是________．参考答案：12.__________．参考答案：13.在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=πx2dx=x3|=．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．参考答案：π（e﹣1）【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：由曲线y=2lnx，可得x=，根据类比推理得体积V=dy==π（e﹣1），故答案为：π（e﹣1）．【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．14.设集合M={(x，y)|x2+y2=，，y∈R}，N={(x，y)|，，y∈R}，若M∩N恰有两个子集，则由符合题意的构成的集合为______参考答案：略15.α,β是两个平面，m,n是两条线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,,那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有

.（填写所有正确命题的编号）参考答案：②③④

16.设A（n）表示正整数n的个位数，an=A（n2）﹣A（n），A为数列{an}的前202项和，函数f（x）=ex﹣e+1，若函数g（x）满足f[g（x）﹣]=1，且bn=g（n）（n∈N*），则数列{bn}的前n项和为．参考答案：n+3﹣（2n+3）?（）n【考点】数列的求和．【分析】先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得A=2，再由函数f（x）为R上的增函数，求得g（x）的解析式，即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）?（）n，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，化简整理即可得到所求和．【解答】解：n的个位数为1时有：an=A（n2）﹣A（n）=0，n的个位数为2时有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣2=2，n的个位数为3时有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣3=6，n的个位数为4时有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣4=2，n的个位数为5时有：an=A（n2）﹣A（n）=5﹣5=0，n的个位数为6时有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣6=0，n的个位数为7时有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣7=2，n的个位数为8时有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣8=﹣4，n的个位数为9时有：an=A（n2）﹣A（n）=1﹣9=﹣8，n的个位数为0时有：an=A（n2）﹣A（n）=0﹣0=0，每10个一循环，这10个数的和为：0，202÷10=20余2，余下两个数为：a201=0，a202=2，∴数列{an}的前202项和等于：a201+a202=0+2=2，即有A=2．函数函数f（x）=ex﹣e+1为R上的增函数，且f（1）=1，f[g（x）﹣]=1=f（1），可得g（x）=1+=1+，则g（n）=1+（2n﹣1）?（）n，即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）?（）n，则数列{bn}的前n项和为n+[1?（）1+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣1）?（）n]，可令S=1?（）1+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣1）?（）n，S=1?（）2+3?（）3+5?（）4+…+（2n﹣1）?（）n+1，两式相减可得S=+2[（）2+（）3+（）4+…+（）n]﹣（2n﹣1）?（）n+1=+2?﹣（2n﹣1）?（）n+1，化简可得S=3﹣（2n+3）?（）n，则数列{bn}的前n项和为n+3﹣（2n+3）?（）n．故答案为：n+3﹣（2n+3）?（）n．17.设l、m、n表示条不同直线，α、β、γ表示三个不同平面，给出下列四个命题，下列选项中都是真命题的是

．①若l⊥α，m⊥α，则l//m；②若mβ，n是l在β内的射影，且m⊥l，则m⊥n；③若mα，m//n，则n//α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β．参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆〔a＞b＞0〕与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足.（1）求椭圆的方程；（2）过点，斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设，假设，求k的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题可得，，点M的横坐标为，代入抛物线方程可求得M点纵坐标，然后利用椭圆的定义求出a，即可得到本题答案；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得①，②，由题，得③，结合以上三个式子，得，求出在的取值范围，即可得到本题答案.【详解】（1）由椭圆与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足，得椭圆的，点M的横坐标为，代入抛物线方程，可得，因为椭圆焦点为，所以，得，则椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，恒成立.设，那么①，②，由可得，③，由以上三式可得：，当时，，因此在上单调递增，因此当时，，因此，，解得.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆与向量的综合问题.19.（13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.参考答案：解析:（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得所以A点坐标为，B点坐标为（3，），假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即①

②

由①－②得但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由，即当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，故.又，

，

.

当，即，

即为钝角.

当，即，即为钝角.

又，即，

即.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.

解法二：

以AB为直径的圆的方程为.

圆心到直线的距离为，

所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G.

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G

点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

过点A且与AB垂直的直线方程为.

过点B且与AB垂直的直线方程为.令.

又由，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是20.(本小题满分14分)已知函数=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求a的取值范围。参考答案：（Ⅰ）y=6x-9.（Ⅱ）0<a<5.（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：ks5u（1）若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于ks5u解不等式组得-5<a<5.因此.（2）若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）>0等价于即解不等式组得或.因此2<a<5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.21.如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式；（Ⅱ）若，其中为常数，且，求的最大值．

参考答案：（Ⅰ）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为．

………………1分点的横坐标满足方程，解得，舍去．

……………2分所以．……4分

由点在第一象限，得．所以关于的函数式为，．

………………5分（Ⅱ）解：由

及，得．

………………6分记，则．

………………8分

令，得．

………………9分①若，即时，与的变化情况如下：↗极大值↘所以，当时，取得最大值，且最大值为．

………………11分②若，即时，恒成立，所以，的最大值为．

………………13分

综上，时，的最大值为；时，的最大值为．

略22.（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD（1）若AC=4，求直线CD的方程；（2）证明