北京青龙湖中学高三数学文模拟试题含解析

北京青龙湖中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先求出，，根据投影的定义，在方向的投影为，所以根据两向量夹角的余弦公式表示出，然后根据向量的坐标求向量长度及数量积即可．【解答】解：∵；∴在方向上的投影为==．故选D．【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．2.（2）已知集合A．

B．

C．

D．参考答案：D3.运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数是增函数的概率为()参考答案：C略4.对实数，定义运算“”：设函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：A5.已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆）,根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_____（单位cm）A.

B.C.

D.参考答案：C6.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案．【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以，所以双曲线的离心率为．故选A．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，7.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q

B．PQ

C．

D．参考答案：C8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始），直到结束为止，则输出的s=（）A．9 B．27 C．32 D．103参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得x=3，n=3，k=0，s=0执行循环体，a=2，s=2，k=1不满足条件k＞3，执行循环体，a=3，s=9，k=2不满足条件k＞3，执行循环体，a=5，s=32，k=3不满足条件k＞3，执行循环体，a=7，s=103，k=4满足条件k＞3，退出循环，输出s的值为103．故选：D．9.在空间中，下列结论中正确的是（A）垂直于同一平面的两个平面互相平行；（B）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（C）平行于同一条直线的两个平面互相平行；（D）垂直于同一条直线的两个平面互相平行．参考答案：D略10.集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩(?UT)等于()A．{1，4，5，6}B．{1，5}C．{4}

D．{1，2，3，4，5}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查P到平面ABC距离的最大值，考查勾股定理的运用，考查球的表面积，属于中档题．12.已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．参考答案：（﹣5，0）∪（5，﹢∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．13.平面向量的夹角为，，则____________．参考答案：略14.已知A,B,C在球的球面上，AB=1,BC=2，，且点O到平面ABC的距离为2，则球的表面积为

.参考答案：.中用余弦定理求得，据勾股定理得为直角，故中点即所在小圆的圆心；面，在直角三角形中求得球的半径为；计算球的表面积为.15.已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为_____________.参考答案：略16.如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为．参考答案：﹣1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△F2AB是等边三角形，判断出∠AF2F1=30°，进而在RT△AF1F2中求得|AF1|，|AF2|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得．【解答】解：∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°，∵|F1F2|=2，∴|AF1|=1，|AF2|=，∴a=，∴2a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．17.的定义域为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点任作直线l，交椭圆的上半部分于点M，当l的斜率为时，|FM|=．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据离心率及弦长构造方程组，求得a，b．（2）当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）联立直线与椭圆方程，由△＞0得到k，m的关系式，再由对称性求得k，m的关系式，此时k不存在．当直线l的斜率k=0时，A（x0，y0），B（x0，﹣y0）（x0＞0，y0＞0）△AOB面积s=．由均值不等式求解．【解答】解：（1）依题意∴），∴，又∵，解得a2=3，b2=2．∴椭圆C的方程为：．（2）依题意直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）则直线AB的方程为：y=﹣．联立，得．，?…①．设AB的中点为C，则xC=．点C在直线l上，∴，?m=﹣2k﹣…②此时与①矛盾，故k≠0时不成立．当直线l的斜率k=0时，A（x0，y0），B（x0，﹣y0）（x0＞0，y0＞0）△AOB面积s=．∵，∴．．∴△AOB面积的最大值为，当且仅当时取等号．19.（本小题满分12分）已知等差数列和正项等比数列，是和的等比中项.（1）求的值；（2）若，求数列的前项和.参考答案：解：（1）设数列的公差为，的公比为由题意可求得,=32（2），由错位相减得+220.已知函数（1）在给定的坐标系内，用五点法画出函数y=f（x）在一个周期内的图象；（2）若，求sin2x的值．参考答案：考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；两角和与差的正弦函数．.专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）直接利用五点法，令2x+=0，，π，，2π，列表求出对应的x即可找到五个特殊点的坐标，即可得到函数图象．（2）先根据已知条件求出cos（2x+）的值，在利用两角差的正弦公式即可求出结论．解答：解：（1）列表：x0π2πf（x）010﹣10…（2分）描点，连线，得y=f（x）在一个周期内的图象．如右图所示．…（5分）（描5个点正确给（1分），图象基本正确给2分）

（2）由已知得∵，∴…（6分）∴…（8分）从而：…（12分）．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，用五点法作函数y=Asin（ωx+?）在一个周期内的图象，属于中档题．21.已知函数且的图像在外的切线方程为，其中ｅ为自然对数的底数．（I）讨论的极值情况；（II）当ａ＝０时，求证：

参考答案：解析：解：(Ⅰ)函数的定义域为，．当时，，在上为增函数，没有极值；当时，，若，则；若，则,存在极大值，且当时，.综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时，.(Ⅱ)函数的导函数，.，.当时，，令，则，，且在上为增函数，设的根为，则，即，当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，，，，由于函数在上为增函数，∴，∴.

略22.已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，f（x）﹣m≥0恒成立．（1）求实数m的取值范围；（2）m的最大值为n，解不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）min=3，可得m的范围．（2）由题意可得|x﹣3|≤4+2x，分类