有关中线和中位线问题

【本讲教育信息】一.教学内容：暑假专题——有关中点、中位线的问题二.教学目标：1.利用有关中点定理和中位线定理解题。2.灵活运用中点、中位线的性质，巧妙添加辅助线解决几何证明问题。三.教学重点和难点：重点：有关中点定理和中位线定理的灵活运用。难点：巧妙添加辅助线。四、方法技巧规律总结：1.中点类：〔1〕等腰三角形的底边中点：构造三线合一的根本图形。〔2〕直角三角形斜边中点：作斜边中线的根本图形。〔3〕有中线时：加倍中线构造平行四边形的根本图形。〔4〕梯形腰的中点：往往连结顶点与一腰的中点并延长，交底的延长线于一点，构成中心对称的两个三角形。〔5〕正方形一边有中点：延长构造全等三角形。2.中位线类：〔1〕有中点并求线段的倍数关系时，经常构造三角形中位线来解决。〔2〕利用三角形、梯形中位线直接证题或计算。〔3〕没有中位线，常构造中位线证题。【典型例题】例1.MN为过Rt△ABC的直角顶点A的直线，且BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，AB=AC，F为BC中点。求证：DF=EF。分析：由F为斜边BC中点，想到连斜边中线AF，那么有BF=AF=CF，这样把DF、EF分别放到△ADF、△CEF〔或△DBF与△EAF〕中，可考虑证它们全等。证明：连结AF，那么有BF=AF=CF∵∠BAC=90°∴∠BAM＋∠NAC=90°又∵BD⊥MN，CE⊥MN∴∠BAM＋∠DBA=90°∠BDA=∠CEA=90°∴∠DBA=∠NAC∵AB=AC ∴△DBA≌△EAC〔AAS〕∴DB=AE∵AB=AC，∠BAC=90°F为BC中点∴∠ABC=∠FAC=45°∴∠DBA＋∠ABC=∠CAF＋∠CAN ∴∠DBF=∠FAE又∵DB=AE，AF=BF∴△DBF≌△EAF〔SAS〕∴DF=EF点拨：在直角三角形中，有斜边中点常连斜边中线例2.：梯形ABCD中，AB//CD，且BM⊥CM，M是AD的中点，试说明AB＋CD=BC。分析：这是一道证明两条线段的和等于第三条线段的问题，这样的问题关键是将AB、CD转化到一条直线上去，题中有梯形腰的中点，通常通过中心对称的知识将问题转化。解：延长BM交CD延长线于N点∵M是AD的中点，AB//CD ∴△ABM与△DNM关于点M成中心对称∴AB=DN，MB=MN∵BM⊥CM ∴CB=CN，CD＋ND=BC∵AB=DN ∴AB＋CD=BC点拨：遇到梯形腰的中点，往往连结顶点与一腰的中点并延长交底的延长线于一点，构成中心对称的两个全等的三角形。例3.：在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD＋CP。求证：AQ平分∠DAP。分析：〔1〕此题中出现AP=CD＋CP，通常想到的方法就是截长补短法，即在PC的延长线上截一条线段等于CD〔2〕同时此题出现了Q是CD边上的中点，所以也可延长AQ交BC的延长线于E，也可到达同样的效果。证明：延长AQ交BC的延长线于E∵四边形ABCD为正方形∴AD=CD，AD//BC，DC⊥BC，∠D=90°∴∠D=∠DCE=90°又∵∠1=∠2，DQ=CQ ∴△ADQ≌△ECQ〔ASA〕∴AD=EC，∠DAQ=∠E∵AP=PC＋CD ∴AP=PC＋AD=PC＋CE=PE∴∠PAQ=∠E ∴∠DAQ=∠PAQ∴AQ平分∠DAP点拨：有以正方形一边中点为端点的线段时，常把它延长构造全等三角形，从而为证题构造条件。例4.：D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM为等边三角形。求证：EP=FM。分析：由D、E、F为三角形三边的中点，想到连中位线DE、DF，这样把EP、FM放到△DPE、△DMF中，从而证明它们全等即可。证明：连结DF、DE。∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点CE∴四边形DECF为平行四边形∴∠C=∠EDF∵△ABC、△DPM为等边三角形∴BC=AC，∠C=60°，DP=DM，∠PDM=60°∴DF=DE，∠EDF=∠PDM=60°又∵∠EDP=∠EDF－∠PDF ∠FDM=∠PDM－∠PDF∴∠EDP=∠FDM ∴△DEP≌△DFM〔SAS〕∴EP=FM例5.：AB=CD，AN=ND，BM=CM。求证：∠1=∠2。分析：AB与CD是四边形的边，怎样把它们建立起联系呢？而由M、N分别为BC、这样就把∠1与∠2通过中位线移到同一个△GMN中，故问题得证。证明：连结BD，取BD中点G，再连结MG、NG∵G、N、M均为中点∴∠1=∠GNM，∠2=∠GME又∵AB=CD ∴MG=NG∴∠GNM=∠GME ∴∠1=∠2点拨：有中点常构造中位线，连BD是构造中位线的根本图形，连AC也可以。【模拟试题】〔答题时间：20分钟〕1.：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的角平分线于点N，那么DM与MN相等吗？为什么？2.：正方形ABCD，E、F分别为AB、AD的中点，CE、BF相交于G。求证：DG=CD。3.：在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，延长AD、BC与MN的延长线交于点E、F。求证：∠AEM=∠BFM。【试题答案】1.解：相等，即DM=MN理由如下：取AD的中点F，连结FM∵四边形ABCD是正方形∴∠A=90°，AB=AD又∵F、M分别是AD、AB的中点∴DF=MB=AF=AM∴△AFM是等腰直角三角形∴∠AFM=45°∴∠DFM=135°∵∠ABC=90°，BN平分∠CBE ∴∠MBN=135°∴∠DFM=∠MBN=135°∵∠ADM＋∠AMD=90°∠NMB＋∠AMD=90°∴∠ADM=∠NMB∴在△DFM和△MBN中∴△DFM≌△MBN ∴DM=MN2.证明：延长BF交CD延长线于H∵四边形ABCD是正方形∴AB//CD∴∠1=∠H又∵∠A=∠HDF=90° AF=DF∴△ABF≌△DHF〔AAS〕∴DH=AB=DC∵FA=EB ∴△FBA≌△ECB〔SAS〕∴∠1=∠2∵∠1＋∠FBC=90°∴∠2＋∠FBC=90°∴CG⊥BF ∴DG=