2023年四川省眉山市中考数学试卷

2023年四川省眉山市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。1．（4分）的倒数是（）A． B． C．﹣2 D．22．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（）A．2.1×10﹣6 B．21×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣53．（4分）下列运算中，正确的是（）A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2 C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b24．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70° B．100° C．110° D．140°5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（）A．2 B．4 C．6 D．106．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜37．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）A．6 B．9 C．10 D．149．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣310．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．40° D．45°11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠FAB＝∠DHE；④AK•HD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。13．（4分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝．14．（4分）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为．15．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为．16．（4分）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是．17．（4分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为．三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上。19．（8分）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．20．（8分）先化简：（1﹣），再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．21．（10分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，完成下列问题：（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；②扇形统计图中的圆心角α的度数为．（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．22．（10分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：AF＝AB；（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．23．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）当时，直接写出x的取值范围；（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若，BP＝4，求CD的长．26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

2023年四川省眉山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。1．（4分）的倒数是（）A． B． C．﹣2 D．2【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：的倒数是﹣2．故选：C．【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．2．（4分）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（）A．2.1×10﹣6 B．21×10﹣6 C．2.1×10﹣5 D．21×10﹣5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000021＝2.1×10﹣6；故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（4分）下列运算中，正确的是（）A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2 C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b2【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意；C、原式＝ab2，不符合题意；D、原式＝a4b2，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，以及单项式除单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．4．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70° B．100° C．110° D．140°【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．5．（4分）已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为（）A．2 B．4 C．6 D．10【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．【解答】解：＝×（2+3+4+5+6）＝4，s2＝×[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．故选：A．【点评】本题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．6．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，解得：m＜3．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为，①﹣②，得：2x﹣2y＝2m+6，∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．故选：B．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相减得到m的方程，此题难度不大．8．（4分）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（）A．6 B．9 C．10 D．14【分析】综合左视图和俯视图，所用的小正方体分上下三层，前后三行，最后一行有三层，第一层有三个小正方体，第二层和第三层在同一行，所以最后一行至少有5个正方体；中间一行有二层，第一层有两个小正方体，第二层只有一个小正方体，所以中间一行最少有三个小正方体；前面一行只有一层，且只有一个小正方体．即可得出答案．【解答】解：搭成该立体图形的小正方体的最少个数为5+3+1＝9（个），故选：B．【点评】本题考查由三视图判断几何体，推出每一行小正方体的个数是解题的关键．9．（4分）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3【分析】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．【解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，解得：﹣5≤m＜﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．10．（4分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．40° D．45°【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．【解答】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴半径OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故选：C．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．【解答】解：①∵二次函数图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数图象的顶点在第三象限，∴，∵a＞0，∴b＞0，∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴abc＜0，故结论①正确；②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），∴，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．综上所述：结论①②③④正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠FAB＝∠DHE；④AK•HD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得AH＝EF＝CH，可得①正确；②证明∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，可知②不正确；③证明△ADH≌△CDH（SSS），则∠ADH＝∠CDH＝45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；④证明△AKF∽△HED，列比例式可得结论正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝∠ABF＝90°，∵DE＝BF，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，∵∠DAE+∠EAB＝90°，∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠EAF＝90°，∵AG⊥EF，∴EH＝FH，∴AH＝EF，Rt△ECF中，∵EH＝FH，∴CH＝EF，∴AH＝CH；故①正确；③∵AH＝CH，AD＝CD，DH＝DH，∴△ADH≌△CDH（SSS），∴∠ADH＝∠CDH＝45°，∵△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFK＝∠EDH＝45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴∠BKF＝∠CEH，∴∠AKF＝∠DEH，∴∠FAB＝∠DHE，故③正确；②∵∠ADH＝∠AEF，∴∠DAE＝∠DHE，∵∠BAD＝∠AHE＝90°，∴∠BAE＝∠AHD，∵∠DAE与∠BAG不一定相等，∴∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等，故②不正确；④∵∠FAB＝∠DHE，∠AFK＝∠EDH，∴△AKF∽△HED，∴＝，∴AK•DH＝AF•EH，在等腰直角三角形AFH中，AF＝FH＝EH，∴AK•HD＝．故④正确；∴本题正确的结论有①③④，共3个．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。13．（4分）分解因式：x3﹣4x2+4x＝x（x﹣2）2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2．故答案为：x（x﹣2）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（4分）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为6．【分析】直接利用根与系数的关系作答．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．15．（4分）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为．【分析】先判断DG为△BCE的中位线，再根据三角形相似求解．【解答】解：由作图得：MN垂直平分AB，∴AE＝BE＝AB，∵DG∥CE，∴AD是中线，∴GB＝EG＝BE＝AB，∴GD为△BCE的中位线，∴CE＝2GD＝4，∵DG∥CE，∴△AEF∽△AGD，∴，即：，解得：EF＝，∴CF＝EC﹣EF＝4﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了基本作图，掌握三角形的中位线的性质和三角形相似的性质是解题的关键．16．（4分）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣5且m≠﹣3．【分析】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解．【解答】解：，去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，系数化为1得：x＝5+m，∵x﹣2≠0，∴x≠2，即5+m≠2，∴m≠﹣3，∵解为非负数，∴x＝5+m≥0，∴m≥﹣5，∴m≥﹣5且m≠﹣3．故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0．17．（4分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是6+6海里．【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为（﹣8，6）或（﹣8，）．【分析】过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，此时△APN≌△NQM（AAS），设N（﹣t，﹣2t﹣6），分两种情况求解即可．【解答】解：①点N在AB下方时，过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，∴∠APQ＝∠NQM＝90°，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴AN＝NM，∠ANM＝90°，∴∠ANP+∠MNQ＝∠NMQ+∠MNQ，∴∠ANP＝∠NMQ，∴△APN≌△NQM（AAS），∴AP＝NQ，NP＝MQ，设N（t，﹣2t﹣6），∴NP＝MQ＝﹣t，OP＝﹣2t﹣6，又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8+t，∴8+t﹣2t﹣6＝6，∴t＝﹣4，CM＝MQ+CQ＝MQ+OP＝﹣t﹣2t﹣6＝6，∴M（﹣8，6）；②点N在AB上方时，过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交直线BC于点Q，同理得△APN≌△NQM（AAS），∴AP＝NQ，NP＝MQ，设N（t，﹣2t﹣6），∴NP＝MQ＝﹣t，OP＝﹣2t﹣6，又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8+t，∴﹣2t﹣6﹣（8+t）＝6，∴t＝﹣，CM＝CQ﹣MQ＝OP﹣MQ＝﹣2t﹣6+t＝，∴M（﹣8，）．故答案为：（﹣8，6）或（﹣8，）．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够通过作垂线构造全等的直角三角形，由三角形全等对应边相等，将N点坐标转化到三角形的边长关系中，从而建立等量关系求解是解题的关键．三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上。19．（8分）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+3×+4＝1﹣+1++4＝6．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）先化简：（1﹣），再从﹣2，﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．【解答】解：（1﹣）＝•＝，∵x≠1且x≠±2，∴当x＝﹣1时，原式＝1．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．21．（10分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，完成下列问题：（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；②扇形统计图中的圆心角α的度数为120°．（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．【分析】（1）①先根据B小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出D小组人数，从而补全图形；②用360°乘以D小组人数占被调查人数的比例即可；（2）用总人数乘以样本中E小组人数占被调查人数的比例即可；（3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，被调查的总人数为30÷10%＝300（人），所以D小组人数为300﹣（40+30+70+60）＝100（人），补全图形如下：②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×＝120°，故答案为：120°；（2）3600×＝720（名），答：估计该校参加E组（人工智能）的学生有720名；（3）画树状图为：由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：AF＝AB；（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．【分析】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论；（2）先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，证明△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，∵E是AD的中点，∴DE＝AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴CE＝EF，∵AE∥BC，∴＝＝1，∴AF＝AB；（2）解：∵AG＝2，FG＝6，∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，∴AB＝AF＝8，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6，∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH，∴＝，即＝，∴GH＝1.2．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键．23．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，解得：m≤40，∴m的最大值为40．答：该校最多可以购买甲种书40本．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）当时，直接写出x的取值范围；（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可．【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，∴C（6，﹣1），将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，联立，解得：或，∴D（﹣2，3），∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，（3）存在，理由：过点A作AE⊥BC交y轴于点E，∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠BAO＝∠AEO，∵∠AOB＝∠EOA＝90°，∴△AOB∽△EOA，∴，∴，∴OE＝8，∴E（0，﹣8），设直线AE的表达式为：y＝ax+b，将（4，0），（0，﹣8）代入得：，解得：，∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，联立：，解得：或，∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．25．（10分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若，BP＝4，求CD的长．【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论；（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，∵OE是⊙O的半径，∴PE