正弦函数和余弦函数的图像与性质

函数函数函数函数正弦函数、余弦函数的图象和性质2021/5/91

利用正弦线作出的图象.---11---1--作法:(1)等分;(2)作正弦线;(3)平移;(4)连线.

一、正弦函数、余弦函数的图象(几何法)1、用几何法作正弦函数的图像2021/5/92正弦函数、余弦函数的图象

(1)等分作法：(2)作余弦线(3)竖立、平移(4)连线---1-----11---11---1--2、用几何法作余弦函数的图像:2021/5/93正弦曲线---------1-1

由终边相同的角三角函数值相同，所以y＝sinx的图象在…

，[-4

，-2

]，[-2

，0]，[0，2

]，[2

，4

]，…与y＝sinx，x

[0，2

]的图象相同，于是平移得正弦曲线.2021/5/94因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，…与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同余弦曲线---------1-1返回单击：2021/5/95与x轴的交点:图象的最高点:图象的最低点:

观察

y＝sinx，x

[0，2

]

图象的最高点、最低点和图象与x轴的交点？坐标分别是什么？---11-五点作图法2021/5/96正弦函数、余弦函数的图象与x轴的交点图象的最高点图象的最低点与x轴的交点图象的最高点图象的最低点(五点作图法)---11--1----11--1简图作法(1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)(2)描点(定出五个关键点)2021/5/971.试画出正弦函数在区间上的图像.五个关键点：利用五个关键点作简图的方法称为“五点法”课堂练习2021/5/982.试画出余弦函数在区间上的图像.五个关键点：并注意曲线的“凹凸”变化.课堂练习2021/5/99列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．连线：用光滑的曲线顺次连结五个点．描点：定出五个关键点．五点作图法2021/5/910x6yo--12345-2-3-41

定义域(1)

值域xR[－1,1]

二、正弦函数的性质时，取最小值－1；时，取最大值1；观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：2021/5/911周期的概念一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当

x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数

T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．2021/5/912

由公式sin(x＋k·2

)＝sinx(k

Z)可知：正弦函数是一个周期函数，2

，4

，…

，－2

，－4

，…

，2k

(k

Z且k≠0)都是正弦函数的周期．

2

是其最小正周期

.

(2)正弦函数的周期性2021/5/913

(3)

正弦函数的奇偶性由公式sin(－x)＝－sinx图象关于原点成中心对称.正弦函数是奇函数．xyo--1234-2-31

2021/5/914在闭区间

上,是增函数；

(4)正弦函数的单调性xyo--1234-2-31

xsinx

…0……

…-1010-1在闭区间

上，是减函数.？？？观察正弦函数图象2021/5/915

余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

xcox-

……0…

…

-1010-1增区间为其值从-1增至1[

+2k

,

2k],kZ减区间为，

其值从1减至-1[2k

,

2k+

],kZyxo--1234-2-31

2021/5/916y=sinxy=cosx图象RR[1,1][1,1]时ymax=1时ymin=

1时ymax=1时ymin=

1xyo--1234-21

定义域值域最值y=0xyo--1234-21

2021/5/917y=sinxy=cosx图象周期性奇偶性单调性

2

2

奇函数偶函数单调增区间:单调减区间:单调增区间:单调减区间:xyo--1234-21

xyo--1234-21

2021/5/918

例1.

用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的图像。（1)y=2+sinx;(2)y=sinx-1；(3)y=3sinx.y=sinx-1x∈[0,2π]y=sin3xx∈[0,2π]y=2+sinxx∈[0,2π]．．．．xy0π．2π1-1x232021/5/919例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量的值.(1)(2)解:(1)当时，当时，(2)视为当，即时，当，即时，2021/5/920例3.当x∈[0，2π]时，求不等式的解集.xyO2ππ1-1变式问题:如果x∈R呢?2021/5/921例4.下列函数的定义域：

1

y=

2

y=2021/5/922例5.求下列函数的最值：

1

y=sin(3x+)-1

2

y=sin2x-4sinx+5

2021/5/923例6.求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函数在上单调递减[

+2k,

+2k],kZ函数在上单调递增[

+2k,

+2k],kZ(2)y=3sin(2x-)

单调增区间为所以：解：单调减区间为2021/5/924例7.不通过求值，比较下列各对函数值的大小：

(1)sin()和sin()；(2)sin和sin解(1)因为且y＝sinx在上是增函数．

(2)因为所以sin＞sin

．

且y＝sinx

在上是减函数，所以例题讲解2021/5/925例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性解函数的定义域R关于原点对称所以函数y=xsin(+x)为偶函数解题思路函数的奇偶性定义域关于原点对称偶函数奇函数想一想这类题有什么规律？2021/5/9261选择题函数y=4sinx,x[-,]的单调性（）A在[-，0]上是增函数，[0，]是减函数；B在[-/2，/2]上是增函数，在[-，/2]上是减函数；C在[0，]上是增函数，在[-，0]上是减函数；D在[/2，]及[-，-/2]上是增函数，在[-/2，/2]上是减函数。②函数y=cos(x+/2),xR()A是奇函数；B是偶函数；

C既不是奇函数也不是偶函数；

D有无奇偶性不能确定。BA练习2021/5/927不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：

3判断下列函数的奇偶性：

①

②

（答案：①偶函数②既不是奇函数也不是偶函数）

>>><2021/5/928归纳小结2021/5/929y=sinxy=cosx图象RR[1,1][1,1]时ymax=1时ymin=

1时ymax=1时ymin=

1xyo--1234-21

定