高三数学二轮复习 第一部分 基础送分题 题型专题（六）算法、复数、推理与证明用书 理-人教高三数学试题

题型专题(六)算法、复数、推理与证明1．复数的除法复数的除法一般是先将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[题组练透]1．(2016·全国丙卷)若z＝1＋2i，则＝()A．1B．－1C．iD．－i解析：选C因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝eq\f(4i,4)＝i.故选C.2．(2016·广州模拟)已知复数z＝eq\f(3＋i,1－i)，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D∵z＝eq\f(3＋i,1－i)＝eq\f(（3＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(2＋4i,2)＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z所对应的点(1，－2)在第四象限．3．(2016·武昌调研)已知(1＋2i)z＝4＋3i(其中i是虚数单位，z是z的共轭复数)，则z的虚部为()A．1B．－1C．iD．－i解析：选A因为z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，所以z＝2＋i，故选A.4．(2016·河南六市联考)已知i为虚数单位，a∈R，若eq\f(2－i,a＋i)为纯虚数，则复数z＝2a＋eq\r(2)i的模等于()A.eq\r(2)B.eq\r(11)C.eq\r(3)D.eq\r(6)解析：选C由题意得，eq\f(2－i,a＋i)＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t＝2，,ta＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－2，,a＝\f(1,2)，))∴z＝2a＋eq\r(2)i＝1＋eq\r(2)i，|z|＝eq\r(3)，故选C.[技法融会]复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题.利用循环结构表示算法要注意的3个问题(1)要选择准确的表示累计的变量；(2)要注意在哪一步结束循环；(3)完整执行每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．[题组练透]1．(2016·全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x解析：选C输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝eq\f(1,2)，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝eq\f(3,2)，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝eq\f(3,2)，y＝6.由于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))在直线y＝4x上，故选C.2．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝()A.eq\f(6,7)B.eq\f(3,7)C.eq\f(8,9)D.eq\f(4,9)解析：选B第一次循环：S＝eq\f(1,1×3)，i＝2；第二次循环：S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)，i＝3；第三次循环：S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)，i＝4，满足循环条件，结束循环．故输出S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7))＝eq\f(3,7).3．(2016·河南六市联考)运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))解析：选B依次运行程序框图中的语句可得，n＝2，x＝2t，a＝1；n＝4，x＝4t，a＝3；n＝6，x＝8t，a＝3.此时结束循环，输出的ax＝38t≥3，则8t≥1，t≥eq\f(1,8)，故选B.4．(2016·河北五校联考)如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的是()A．i≤7B．i>7C．i≤9D．i>9解析：选B第一次运行，i＝10，满足条件，S＝1×10＝10，i＝9；第二次运行，i＝9满足条件，S＝10×9＝90，i＝8；第三次运行，i＝8满足条件，S＝90×8＝720，i＝7；此时不满足条件，输出的S＝720.故条件应为i＝8，9，10满足，i＝7不满足，所以条件应为i>7.[技法融会]1．解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．2．(易错提醒)循环结构的两个注意点：(1)注意区分计数变量与循环变量．(2)注意哪一步结束循环.1．合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．2．类比推理和归纳推理在近几年高考题中未单独考查，学生在复习时，应重点关注归纳推理．[题组练透]1．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1，0)处标b1，点(1，－1)处标b2，点(0，－1)处标b3，点(－1，－1)处标b4，点(－1，0)处标b5，点(－1，1)处标b6，点(0，1)处标b7，…，以此类推，则b963处的格点的坐标为________．解析：观察已知点(1，0)处标b1，即b1×1，点(2，1)处标b9，即b3×3，点(3，2)处标b25，即b5×5，…，由此推断点(n，n－1)处标b(2n－1)×(2n－1)，因为961＝31×31时，n＝16，故b961处的格点的坐标为(16，15)，从而b963处的格点的坐标为(16，13)．答案：(16，13)2．(2016·贵阳模拟)已知不等式1＋eq\f(1,4)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,16)<eq\f(7,4)，照此规律总结出第n个不等式为________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋eq\f(1,22)<eq\f(2×2－1,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(2×3－1,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(2×4－1,4)，所以照此规律可得到第n个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2（n＋1）－1,n＋1)＝eq\f(2n＋1,n＋1).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1)[技法融会]破解归纳推理题的思维步骤(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特殊的共性或一般规律)；(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．一、选择题1．(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：选B∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，故选B.2．(2016·郑州模拟)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则eq\f(2,z)－z＝()A．iB．2－iC．1－iD．0解析：选D因为eq\f(2,z)－z＝eq\f(2,1＋i)－1＋i＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故选D.3．(2016·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.4．(2016·福建质检)执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是()A．1B．2C．8D．9解析：选C由程序框图可知，其功能是运算分段函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤1，,3x，1<x≤2，,log2x，x>2，))因为y＝3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x2－1＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x≤2，,3x＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2，,log2x＝3，))解得x＝－2或x＝8，故选C.5．设复数z1＝1－i，z2＝a＋2i，若eq\f(z2,z1)的虚部是实部的2倍，则实数a的值为()A．6B．－6C．2D．解析：选Aeq\f(z2,z1)＝eq\f(a＋2i,1－i)＝eq\f(（a＋2i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(a－2＋（2＋a）i,2)，故该复数的实部是eq\f(a－2,2)，虚部是eq\f(a＋2,2).由题意，知eq\f(a＋2,2)＝2×eq\f(a－2,2).解得a＝6.故选A.6．(2016·广东3月测试)若z＝(a－eq\r(2))＋ai为纯虚数，其中a∈R，则eq\f(a＋i7,1＋ai)＝()A．iB．1C．－iD．－1解析：选C∵z为纯虚数，∴a＝eq\r(2)，∴eq\f(a＋i7,1＋ai)＝eq\f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq\f(（\r(2)－i）（1－\r(2)i）,（1＋\r(2)i）（1－\r(2)i）)＝eq\f(－3i,3)＝－i.7．(2016·南昌一模)从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,8)D.eq\f(1,2)解析：选B依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13，22，31，40，49，58，67，76，所以输出的x不小于40的概率为eq\f(5,8).8．(2016·郑州质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A．2014B．2015C．2016D．2017解析：选D分析程序框图可知，当i为偶数时，S＝2017，当i为奇数时，S＝2016，而程序在i＝0时跳出循环，故输出的S＝2017，故选D.9．(2016·长春质检)运行如图所示的程序框图，则输出的S值为()A.eq\f(29－1,29)B.eq\f(29＋1,29)C.eq\f(210－1,210)D.eq\f(210,210＋1)解析：选A由程序框图可知，输出的结果是首项为eq\f(1,2)，公比也为eq\f(1,2)的等比数列的前9项和，即为eq\f(29－1,29)，故选A.10．(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A．3B．4C．5D．6解析：选B程序运行如下：开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.11．(2016·山西模拟)运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y＝x上，则判断框中可填写的条件是()A．i>6B．i>7C．i>8D．i>9解析：选D依次执行程序框图中的语句：x＝1，y＝1，i＝2，输出(1，1)(1次)；x＝0，y＝1，i＝3，输出(0，1)；x＝－1，y＝0，i＝4，输出(－1，0)；x＝0，y＝0，i＝5，输出(0，0)(2次)；x＝1，y＝1，i＝6，输出(1，1)(3次)；x＝0，y＝1，i＝7，输出(0，1)；x＝－1，y＝0，i＝8，输出(－1，0)；x＝0，y＝0，i＝9，输出(0，0)(4次)；x＝1，y＝1，i＝10，输出(1，1)(5次)，此时跳出循环，故判断框中可填写的条件是“i>9？”，故选D.12．(2016·石家庄一模)如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(8，2)为()eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,10)eq\f(1,12)eq\f(1,10)eq\f(1,15)eq\f(1,22)eq\f(1,22)eq\f(1,15)eq\f(1,21)eq\f(1,37)eq\f(1,44)eq\f(1,37)eq\f(1,21)…A.eq\f(1,45)B.eq\f(1,86)C.eq\f(1,122)D.eq\f(1,167)解析：选C由数阵知A(3，2)＝eq\f(1,6＋6)，A(4，2)＝eq\f(1,6＋6＋10)，A(5，2)＝eq\f(1,6＋6＋10＋15)，…，则A(8，2)＝eq\f(1,6＋6＋10＋15＋21＋28＋36)＝eq\f(1,122)，选项C正确．二、填空题13．(2016·山西模拟)若复数z满足eq\f(（2＋i）2,z)＝i，则z＝________.解析：由题意得，z＝eq\f(（2＋i）2,i)＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i.答案：4－3i14．(2016·山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．解析：第一次循环：S＝eq\r(2)－1，1＜3，i＝2；第二次循环：S＝eq\r(3)－1，2＜3，i＝3；第三次循环：S＝eq\r(4)－1＝1，3≥3，输出S＝1.答案：115．在平面几何中：△ABC的∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)16．(2016·山东高考)观察下列等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))