高三数学二轮复习 第一部分 拉分题 压轴专题（二）第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略 理-人教高三数学试题

压轴专题（二）第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”抢分练1.(2016·湖南东部六校联考)设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F1，F2是椭圆的两个焦点，S是椭圆上任意一点，且△SF1F2的周长是4＋2eq\r(3).(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足，，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE.2．(2016·河南六市联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,12)＝1上的一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1·k2的值．3.（2016·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．4．(2016·湖北七市联考)已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C.(1)求C的方程；(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．答案1.解：(1)由e＝eq\f(\r(3),2)，知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以c＝eq\f(\r(3),2)a，因为△SF1F2的周长是4＋2eq\r(3)，所以2a＋2c＝4＋2eq\r(3)，所以a＝2，c＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为：eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设D(x0，y0)，所以E(x0，0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)，由可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝eq\f(2y0,x0＋2).所以直线AC的方程为：eq\f(y,\f(2y0,x0＋2))＝eq\f(x＋2,4).整理得：y＝eq\f(y0,2（x0＋2）)(x＋2)．又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得：y＝eq\f(y0,2)，即点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(y0,2)))，所以P为DE的中点，所以PD＝PE.2．解：(1)设圆R的半径为r，由圆R的方程知r＝2eq\r(2)，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|＝eq\r(2)r＝4，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝16，①又点R在椭圆C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),24)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),12)＝1，②联立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2\r(2)，,y0＝2\r(2)，))所以，圆R的方程为(x－2eq\r(2))2＋(y－2eq\r(2))2＝8.(2)因为直线OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都与圆R相切，所以eq\f(|k1x0－y0|,\r(1＋keq\o\al(2,1)))＝2eq\r(2)，eq\f(|k2x0－y0|,\r(1＋keq\o\al(2,2)))＝2eq\r(2)，化简得(xeq\o\al(2,0)－8)keq\o\al(2,1)－2x0y0k1＋yeq\o\al(2,0)－8＝0，(xeq\o\al(2,0)－8)keq\o\al(2,2)－2x0y0k2＋yeq\o\al(2,0)－8＝0，所以k1，k2是方程(xeq\o\al(2,0)－8)k2－2x0y0k＋yeq\o\al(2,0)－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得，k1·k2＝eq\f(yeq\o\al(2,0)－8,xeq\o\al(2,0)－8)，因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),24)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),12)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝12－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)，所以k1k2＝eq\f(4－\f(1,2)xeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－8)＝－eq\f(1,2).3.解：(1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))在直线l：x－y－2＝0上，得eq\f(p,2)－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①证明：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝－x＋b))消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)＞0，化简得p＋2b＞0.方程(*)的两根为y12＝－p±eq\r(p2＋2pb)，从而y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b＞0，于是p＋2(2－2p)＞0，所以p＜eq\f(4,3).因此p的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).4．解：(1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝42，所以圆心为(－1，0)，半径为4.连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|，所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4.根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，即为所求曲线C的方程．①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，此时可不妨取Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))，F(－2，0)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))＝－3－eq\f(9,4)＝－eq\f(21,4).②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得＝－eq\f(21,4).③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则直线EF的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1)．将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以xP＋xQ＝eq\f(8k2,3＋4k2)，xP·xQ＝eq\f(4k2－12,3＋4k2).于是＝(xP－1)(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xPxQ－(xP＋xQ)＋1]＝(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2－12,3＋4k2)－\f(8k2,3＋4k2)＋1))＝－eq\f(9（1＋k2）,3＋4k2).将上面的k换成－eq\f(1,k)，可得＝－eq\f(9（1＋k2）,4＋3k2)，所以＝－9(1＋k2)(eq\f(1,3＋4k2)＋eq\f(1,4＋3k2))．令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得，＝－9teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4t－1)＋\f(1,3t＋1)))＝－eq\f(63t2,12t2＋t－