2020高考数学（理）大一轮复习考点和题型全归纳：第九章平面解析几何

第九章平面解析几何

第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程

一、基础知识

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，

X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线

/的倾斜角.

(2)规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

(3)范围：直线/倾斜角的取值范围是［0,兀).

2.斜率公式

(1)定义式：直线/的倾斜角为则斜率《=tana.

(2)坐标式：PG”》),尸2。2,均在直线/上，

且为#X2，则/的斜率k=也二

X2~X1

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y—yo=k（x—x（））不含垂直于x轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y~y\x-x\不含直线X=X］(九1中］2)和直线

两点式

yi-y\12一汨y=y\(y\^y2)

不含垂直于坐标轴和过原点

-+^=1

截距式ab的直线

一般式Ax+By+C^0,A2+B2^0平面内所有直线都适用

二、常用结论

特殊直线的方程

(1)直线过点尸Gi，yi),垂直于x轴的方程为x=xi；

(2)直线过点Pi(x”yi),垂直于)，轴的方程为y=yi；

(3)y轴的方程为x=0；

(4)x轴的方程为y=0.

考点一直线的倾斜角与斜率

）

71兀一「兀27rl

C.492_D[Z，TJ

⑵直线/过点尸(1,0),且与以A(2,l),8(0,正)为端点的线段有公共点，则直线/斜率

的取值范围为

[解析]⑴直线2ACOSa—y—3=0的斜率k=2cosa,

因为5，与，所以吴cosaW坐，

因“匕攵=2・coscc£[l,3].

设直线的倾斜角为仇则有tan9£[l,小].

7U兀

又6»£[0,兀），所以（9G413

即倾斜角的取值范围是4,3

(2)设%与P8的倾斜角分别为a,0,直线布的斜率是以p=l,直线尸B的斜率是％BP

=一小，当直线/由变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由外

a增至90°,斜率的取值范围为[1,+8).\l^X

当直线/由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至p,斜-----我仔~~s

率的变化范围是(一8,一小]./[：\

故直线/斜率的取值范围是(-8,一小]U[1,+°o).

[答案](1)B(2)(—8,—73]U[1,+8)

［变透练清］

1.(变条件)若将本例⑴中的条件变为:平面上有相异两点A(cos。，"产⑨，仇0,1),则直

线AB的倾斜角a的取值范围是.

sin2。一［

解析：由题意知cosOWO,则斜率ZEanQU2-------=—cos1,0)U(0,1］,所以直

COSU-0

线48的倾斜角的取值范围是(0,j］u［y,7t).

答案:(。，小序力

2.(变条件)若将本例⑵中P(l,0)改为「(-1,0),其他条件不变，则直线/斜率的取值范围

为.

解析：设直线/的斜率为心则直线/的方程为y=k(x+l),即依一y+k=O.

VA,B两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，

/.(2k—1+攵)(一小+攵)二0,

即(3&—1)(%一事)<0,解得〈小.

即直线/的斜率的取值范围是佳，亚j.

-1-

答案：后，小

3.若点A(4,3),8(5,a),C(6,5)三点共线，则”的值为.

5-3a-3

解析：因为fcic=77=1,I<AB=W~A=a—3.由于A,B,C二点共线，所以a—3=1,

O-43—4

即a=4.

答案：4

考点二直线的方程

［典例］(1)若直线经过点4—5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则

该直线的方程为.

(2)若直线经过点A(一小，3),且倾斜角为直线，§x+y+1=0的倾斜角的一半，则该直

线的方程为.

(3)在△ABC中，已知A(5,-2),8(7,3),且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x

轴上，则直线MN的方程为.

［解析］(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y=丘，将(一5,2)代入y

22

=日中，得&=一于此时，直线方程为)；=一尹，即2x+5y=0.

②当横截距、纵截距都不为零时，

设所求直线方程为成+1=1,

将(一5,2)代入所设方程，解得。=一:，此时，直线方程为x+2y+l=0.

综上所述，所求直线方程为x+2y+l=0或2x+5)=0.

(2)由于x+)，+1=0得此直线的斜率为一小，所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜

角为60°,故所求直线的斜率为小.

又直线过点A(一小，3),所以所求直线方程为y—3=小(犬+小)，即,x-y+6=0.

、汇5/5+xoyo-2、/7+xoyo+3)

(3)设C(xo,yo),则吠一^―,J,

因为点M在y轴上，所以注a=0,所以为=-5.

因为点N在x轴上，所以"爱=0,

所以泗=-3,即C(一5,—3),

所以40,一|),N(l,0),

所以直线MN的方程为土=1,

~2

即5jc-2y-5=0.

［答案］(l)x+2y+l=0或2x+5y=0

(2啦:一＞+6=0(3)5x—2y—5=0

［题组训练］

1.过点(1,2),倾斜角的正弦值是坐的直线方程是.

解析：由题知，倾斜角为:或苧，所以斜率为1或一1,直线方程为y—2=x—1或y—2

=-(%—1),即X-y+1=0或x+y—3=0.

答案：x—y+1=0或x+y—3=0

2.过点P(6,—2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为

丫62

解析：设直线方程的截距式为/讦+)=1,则M+:-=1,解得4=2或4=1,则直

线的方程是不，+］=1或■jTjrj'+ju1,即2t+3y—6=0或x+2y—2=0.

答案：2x+3y—6=0或x+2y—2=0

考点三直线方程的综合应用

［典例］已知直线/过点"(2』)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,8两点，。为

坐标原点，求当|笳卜|嬴I取得最小值时直线/的方程.

YV

［解］设A3Q),8(0,b),则〃>0,b>0,直线/的方程为力+;=1,

21

所以一+7=1.

ab

|AM|-|嬴|=一而•赢=一(〃一2,—1)•(一2,/?-1)

=2(〃-2)+b—1=2a+b—5

=(2"端+/—5

岩+岩》4,

当且仅当a=b=3时取等号，此时直线I的方程为x+y—3=0.

［解题技法］

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不

等式求解最值.

(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性

质或基本不等式求解.

［题组训练］

1.若直线办+力=外(">0,6>0)过点(1,1),则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小

值为()

A.1B.2

C.4D.8

解析：选C•.•直线or+by=H(a>0,方>0)过点(1,1),

：.a+b=ab,即5+[=1，

.•.4+匕=（“+份弓+£|

cl"Ic/

=2+-+在2+27-7=4,

ab\lcibf

当且仅当a=b=2时上式等号成立.

・・・直线在无轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

2.已知直线/：x-my+yl3m=0上存在点M满足与A（—1,0）,仇1,0）两点连线的斜率

与之积为3,则实数，〃的取值范围是（）

A.L册,加]

D[邛,明

解析：选C设M（x,y）,由公《MMB=3,得力pfr[=3,即），=3»—3.

戈―"?y+巾"?=0,仔一3卜+乎x+GfmW。），

联立＜

)2=3/—3,

则,=啸-呜T）即加峰3，解得机《一乎或"72平.

20,

・・・实数〃2的取值范围是

j-釉陪+8).

[课时跟踪检测]

1.（2019・合肥模拟）直线/：xsin30°+ycos150°+1=0的斜率是（）

A.坐B书

C.一4D.—:

解析：选A设直线/的斜率为A,则上=一黑黑=坐.

2.倾斜角为120。，在x轴上的截距为一1的直线方程是（）

A#x—y+1=0B.小x—y一小=0

（：.小+厂小=0D#x+y+/=0

解析：选D由于倾斜角为120°,故斜率幺=一小.又直线过点（一1,0）,所以直线方程

为），=一小（x+1）,即方工+），+小=0.

3.已知△ABC的三个顶点坐标为41,2）,8（3,6）,C（5,2）,M为AB的中点，N为AC

的中点，则中位线所在直线的方程为（）

A.2x+y-12=0B.2%-y—12=0

C.2x+)­8=0D.2x—y+8=0

解析：选C由题知M(2,4),N(3,2),则中位线MN所在直线的方程为上整

理得2x+y—8=0.

解析：选C当”＞0时，直线的斜率k=a＞0,在y轴上的截距b=一（＜0,各选项都

不符合此条件；当“V0时，直线的斜率z=。＜0,在），轴上的截距b=—（＞0,只有选项C

符合此条件.故选C.

5.在等腰三角形MON中，MO=MM点0（0,0）,M（—1,3）,点N在x轴的负半轴上，

则直线MN的方程为（）

A.3x—y—6=0B.3x+y+6=0

C.3x—y+6=0D.3x+y~6=0

解析：选C因为MO=MN,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所

以kMN=-kMo=3,所以直线MN的方程为＞-3=3。+1）,即3工一），+6=0,选C.

6.若直线/nr+〃y+3=0在y轴上的截距为一3,且它的倾斜角是直线小x—y=34的

倾斜角的2倍，则（）

A.m=—yj3,n=\B.m=—y[3,n=—3

C.小,〃=­3D.m=小,n=\

33

解析：选D对于直线/nx+〃y+3=0,令x=0得y=一1即一7=-3,n=\.

因为小x—v=3小的斜率为60°,直线尔+町，+3=0的倾斜角是直线，y=3小的2

倍，所以直线/nr+〃y+3=0的倾斜角为120°,即一々=一小,m=y[3.

7.当04«时，直线小心:一y=b-l与直线出由一x=2A的交点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

\kx-y=k—\,

解析：选B得.

[ky—x=2k2k~\

y=k~\'

1k2k—1

又*•*0<依$,x—心]<0,y—心]>0,

乙KIK1

故直线/i：h一y=&一1与直线七：6，一元=2攵的交点在第二象限.

8.若直线/：fcc—y+2+4Z=0/£R)交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于5,则当AAOB

的面积取最小值时直线/的方程为()

A.x—2y+4=0B.x—2y+8=0

C.2x~y+4=0D.2x—y+8=0

2+41

解析：选B由/的方程，得一巧也，ol8(0,2+4&).依题意得《一k<0,解

2+4攵>0,

112+必1(2+4小1/4\1

得心>0.因为5=K。4|・|。3|=5—j—•|2+4《=干1一~产=5164+/+162^(2X8+16)=

Z乙KZ.KKJZ.

41

当且仅当：即左时等号成立.此时/的方程为

16,164=7K,,=5乙x—2y+8=0.

9.以B(3,2),C(5,4)为顶点的△ABC,其边AB上的高所在的直线方程是

解析：由A,B两点、得kAB=3,则边A8上的高所在直线的斜率为一2,故所求直线方程

是y—4=—2。-5),即2x+y—14=0.

答案：2x+y—14=0

10.已知直线/过点(1,0),且倾斜角为直线4)：x—2y—2=0的倾斜角的2倍，则直线/

的方程为.

解析：由题意可设直线4),/的倾斜角分别为见2a,

因为直线/o：x—2y—2=0的斜率为3，则tan

所以直线/的斜率A=tan2a=言需=:式=,

4

所以由点斜式可得直线/的方程为y—0=2(x—1),

即4x—3厂4=0.

答案：4x—3y—4=0

11.直线/经过点41,2),在x轴上的截距的取值范围是(一3,3),则其斜率的取值范

围是.

解析：由题意知直线/的斜率存在，设直线/的方程为〉一2=依1—1),直线/在x轴上

的截距为1一工,令一3<1—1<3,解不等式得层或k<一1.

答案：(-8,-l)U(j,+8)

12.设点4(-1,0),8(1,0),直线2》+厂6=0与线段48相交,则6的取值范围是____.

解析：b为直线y=-2x+〃在y轴上的截距，如图，当直线)，=-\\丫

+6过点4(-1,0)和点8(1,0)时，方分别取得最小值和最大值.・・./;的取值

范围是[一2,2].广瑞5?

答案：[—2,2]

13.已知直线/与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线/的

方程：

⑴过定点4—3,4)；

⑵斜率为去

4

解：⑴设直线/的方程为)，=-/+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是一会一3,32+4,

K

由已知，得(3k+4©+3)=±6,

2Q

解得6=或&2=_].

故直线/的方程为2x+3y-6=o或8犬+3)，+12=0.

(2)设直线/在y轴上的截距为b,

则直线/的方程为y=^x+bf它在X轴上的截距是一6b,

由已知，得|一6|=6,：.b=±\.

，直线I的方程为x—6y+6=0或x—6y—6=0.

第二节两直线的位置关系

一、基础知识

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线h，若其斜率分别为％”&2,则有20M=h

②当直线小/2不重合且斜率都不存在时，

(2)两条直线垂直

①如果两条直线/”/2的斜率存在，

设为h，k2,则有/」/20klM2=—l.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，/t±/2.

2.两条直线的交点的求法

直线1\：Aix+Biy+Ci=0,I2：A2%+&y+C2=0,贝！J1\与乙的交点坐标就是方程组

fAix+Biy+Cj=O,

[Avc+Biy+Ci^的解.

3.三种距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(X">,l),P1(X2,»)间的距离公式为|P|P2|="(X2—制吹+⑴一》|)2.

(2)点到直线的距离公式

|Aro+fivo+C|

点R)(X0,州)到直线/：Ax+By+C=0的距离d=

y)A2+B2

(3)两平行直线间的距离公式

两条平行直线Ar+B.y+G=0与Ax+By+C2=0

间的距离公器.

二、常用结论

(1)与直线Av+8y+C=0(A2+B2#0)垂直或平行的直线方程可设为:

①垂直：Bx—Ay+m=0；

②平行：Ax-\-By+n=O.

(2)与对称问题相关的四个结论：

①点(x,y)关于点3，份的对称点为(2。一%26—>).

②点(x,y)关于直线的对称点为(2。一%,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b—y).

③点(x,y)关于直线、=工的对称点为(y,幻，关于直线丁=一x的对称点为(一y,—x).

④点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(&—y,k-x)f关于直线无一y=A的对称点为(攵

+y,x~k).

考点一两条直线的位置关系

［典例］已知两直线/i：〃优+8y+〃=0和%2x+my—l=0f试确定〃的值，使

(1必与6相交于点玳如-1)；

(2)/I/7/2；

(3)ZI±/2,且/I在y轴上的截距为一1.

雇-8+〃=0,

［解］⑴由题意得。

［2相一机一】1=0n,

\m=\f

解得r

［n=7.

即m=1,〃=7时，/i与6相交于点P(八-1).

加—216=0,

⑵・・・/]〃/2,・・・

—m—2〃/0,

团=4,m——4,

解得或'

〃£一2及W2.

即团=4,2或〃=—4,〃#2时,l\//h.

⑶当且仅当2m+8m=0,

即加=0时，l\±h.

n

又一§=-1,・"=8.

即加=0,〃=8时，/|±/2,且/］在y轴上的截距为一1.

［解题技法］

1..由一般式确定两直线位置关系的方法

/i：Aix+Biy+G=O(A彳+历W0)

直线方程

/2：A2x+B2y+C2=0(Al+Bl^0)

/l与，2垂直的充要条件442+81星=0

生=［干出汨2c2*0)

八与/2平行的充分条件

左脸(A2&W0)

1\与/2相交的充分条件

%矍=&(A252c2#0)

与/2重合的充分条件

1.已知直线4x+/wy—6=0与直线5x-2y+"=0垂直，垂足为(”)，则〃的值为()

A.7B.9

C.11D.-7

解析：选A由直线4x+my—6=0与直线5x—2y+”=0垂直得，20—2/n=0,m=10.

直线4x+10y—6=0过点«,1),所以4H-10—6=0,1=—1.点(-1,1)又在直线5x-2y+〃=0

上，所以-5—2+〃=0,"=7.

2.(2019・保定五校联考)直线/i：mx~2y+\=0,/2：*一(，〃一l)y—1=0,贝U“帆=2”

是uh//hn的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选C由八〃，2得一〃?(，"11)=1X(—2),得〃?=2或加=—1,经验证，当〃?=—

1时，直线/|与/2重合，舍去，所以“，〃=2"是的充要条件，故选C.

考点二距离问题

［典例］⑴过点P(2,l)且与原点O距离最远的直线方程为()

A.2%+厂5=0B.2x—y—3—0

C.x+2y—4=0D.x—2y=0

(2)若两平行直线/)：x—2y+/w=0伽＞0)与，2：2x+ny—6=0之间的距离是y［5,则m

+〃=()

A.0B.1

C.12D.—1

［解析］(1)过点P(2,l)且与原点。距离最远的直线为过点P(2,l)且与0P垂直的直线，

］—01

因为直线0P的斜率为至行=2，所以所求直线的斜率为一2,故所求直线方程为2JC+>—5

=0.

(2)因为八,/2平行，所以1X”=2X(—2),1X(-6)W2X〃?，解得”=一4,机工一3,

所以直线，2：X—2y—3=0.又/1,/2之间的距离是小，所以小，解得相=2或机=

一8(舍去)，所以，”+〃=-2,故选C.

［答案］(1)A(2)C

［解题技法］

1.点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.

2.两平行线间的距离的求法

(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的

距离.

(2)利用两平行线间的距离公式.

［题组训练］

1.已知点尸(2,〃。到直线2x—y+3=0的距离不小于2小，则实数m的取值范围是

|2X2~ffl+3|

解析：由题意得，点P到直线的距离为224,即依一7|》10,解得，"217

^22+P

或加W—3,所以实数机的取值范围是(一8,-3］U［17,+°°).

答案：(一8,一引U［17,+8)

2.如果直线/i：〃x+(l—b)y+5=0和直线6：(1+〃)x—y—匕=0都平行于直线，3：x~

2y+3=0,则/i，b之间的距离为.

解析：因为所以一2。一(1一切=0,同理一2(1+4)+1=0,解得。=一/b=0,

l-io-oi

因此/i：》一2)—10=0,/:x-2y=0,d=2小.

252+(-2)2-

答案：2小

考点三对称问题

［典例］已知直线/：2x-3y+l=0,点4(一1,-2).

(1)求点A关于直线/的对称点A'的坐标；

(2)求直线〃?：3x-2y-6=0关于直线/的对称直线加'的方程.

［解］(1)设4'(*,y),再由已知得

33

x=一不

4

一百

所以A,(41，专)

(2)在直线机上取一点，如"(2,0),则"(2,0)关于直线/的对称点M'必在〃上.设

n+2/?+0

2X-5—3X—+1=0

解得M，佶，瑞),设与/的交

对称点为M'(a,b),贝K

b-02

.^2X3=

2x-3y+l=0,

点为N,则由得M4,3).又因为M经过点M4,3),所以由两点式得直线

3x—2y-6=0,

mf方程为9x-46y+102=0.

［变透练清］

1.(变结论)在本例条件下，则直线I关于点4—1,一2)对称的直线I'的方程为

解析：法一：在/:统一3)，+1=0上任取两点，

如N(4,3),

则M,N关于点A的对称点,N'均在直线/'上.

易知M'(—3,-5),N'(-6,-7),

由两点式可得I'的方程为2x-3y-9=0.

法二：设P(x,y)为/'上任意一点，

则尸(x,y)关于点4—1,-2)的对称点为

P'(―2—x,—4—y),

'：P'在直线/上，.,.2(-2-x)-3(-4-y)+l=0,

即2x-3>-9=0.

答案：2x-3>—9=0

2.(2019・合肥四校联考)已知入射光线经过点M(-3,4)，被直线/：x-y+3=0反射，

反射光线经过点M2,6),则反射光线所在直线的方程为.

解析：设点M(—3,4)关于直线/:尤一y+3=0的对称点为(a,b),则反射光线所在

Cb~4

I«—(―3)1)

直线过点M',所以〈解得〃=1,6=0.又反射光线经过点N(2,6),

—3+ab+4.

所以所求直线的方程为E=W，即6L)，-6=0.

答案：6x—y—6=0

［解题技法］

1.中心对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于点对称

x=2a—xt，

若点M(xi,yi)及N(x,y)关于P(“，6)对称，则由中点坐标公式得|进而求

(y-2b—yi

解.

(2)直线关于点对称

①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由

两点式求出直线方程；

②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；

③轨迹法，设对称直线上任一点M(x,y),其关于已知点的对称点在已知直线上.

2.轴对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于直线的对称

若两点Pi(»,»)与尸2(x2，丫2)关于直线/：Ar+By+C=0对称，

f尤|+及,V1+V2,

MX—2—+BX2-y*2-+C=O,

由方程组Iz“、可得到点丹关于/对称的点P2的坐标(X2,

口义(-”，

1及一X1\

>2)(其中8W0,X|WX2).

(2)直线关于直线的对称

一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是

已知直线与对称轴平行.

［课时跟踪检测］

1.过点(1,0)且与直线x—2y-2=0垂直的直线方程是()

A.x-2y-i=0B.x—2y+l=0

C.2x+y—2=0D.x-\-2y—1=0

解析：选C因为直线X-2厂2=0的斜率为今

所以所求直线的斜率火=-2.

所以所求直线的方程为y—0=~2(x—1),

即2x+y-2=0.

2.已知直线/i：20¥+(〃+1»+1=0和/2：(〃+l)x+(〃-l)y=0,若/I_L，2，则〃=()

A.2或3B.g或一1

C.1D.-1

解析：选B因为直线所以2a(“+1)+3+1)5-1)=0,解得或一1.

3.若点P在直线3x+y—5=0上，且P到直线x—yT=0的距离为啦，则点尸的坐

标为()

A.(1,2)B.(2,1)

C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(一1,2)

lx—5+3x—1|

解析：选C设P(x,5-3x),则d=I；「化简得|4x-6|=2,即4x-6=±2,

qy+(—1尸

解得x=l或x=2,故P(l,2)或(2,-1).

4.(2018•揭阳一模)若直线/］：x—3y+2=0与直线，2："式一y+0=0关于x轴对称，则

ni+b=()

A.；B.—1

C.—|D.1

解析：选B直线/工x—3y+2=0关于x轴对称的直线为x+3y+2=0.由题意知相#0.

因为fruc—y+b=09即天一1+'=°，且直线(与b关于x轴对称，

则，"+6=_;+(_g=­l.

5.点A(l,3)关于直线＞=丘+6对称的点是8(—2,1),则直线y=fcc+b在x轴上的截距

是()

3„5

A.-2B.z

C.—7D.T

56

.,.直线方程为y=—|x+^,它在x轴上的截距为一%(一净)=3•故选D.

6.(2019・成都五校联考)己知4,8是x轴上的两点，点尸的横坐标为2,且照|=|尸3|,

若直线%的方程为x—y+l=0,则直线P8的方程是()

A.2%+厂7=0B.x+y-5=0

C.2y—x—4=0D.2x~y—1=0

解析：选B由照|=|P8|得点P一定在线段4B的垂直平分线上，根据直线雨的方程

为x-y+l=0,可得4-1,0),将x=2代入直线x-y+l=0,得y=3,所以P(2,3),所

以8(5,0),所以直线P8的方程是x+y—5=0,选B.

7.若动点A,B分别在直线6x+y—7=0和机x+y-5=0上移动，则AB的中点M

到原点的距离的最小值为()

A.3^2B.26

C.3^3D.4-72

解析：选A依题意知AB的中点M的集合为与直线/i：x+y—7=0和/2：x+y—5=0

距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线

的方程为/：x+y+/n=0,根据平行线间的距离公式得今去“=3去，=|，“+7|=|"z+5|=/n=

-6,即/:x+)­6=0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为导乎=341

8.已知点4(1,3),8(5,-2),在x轴上有一点P,若|AP|一|BP|最大,则P点坐标为()

A.(3.4,0)B.(13,0)

C.(5,0)D.(-13,0)

解析：选B作出A点关于x轴的对称点A'(1,-3),则A'2所在直线方程为x-4y

-13=0.令y=0得尤=13,所以点P的坐标为(13,0).

9.经过两直线/1：x—2y+4=0和12：x+y—2=0的交点P,且与直线Z3：3x—4y+5

=0垂直的直线/的方程为.

x-2y+4=0,

解析：由方程组,得x=0,y=2,即尸(0,2).因为/_L/3,所以直线/的

x+y~2=0

44

斜率k=-g,所以直线/的方程为y—2=-即4x+3y—6=0.

答案：4x+3y—6=0

10.己知点Pi(2,3),22(—4,5)和A(—1,2),则过点4且与点P”七距离相等的直线方

程为.

3—51

解析：当直线与点P,P2的连线所在的直线平行时，由直线的斜率k=W/=—最

得所求直线的方程为＞—2=-|(x+l),即x+3y—5=0.当直线过线段8三的中点时，因为

线段PP2的中点坐标为(-1,4),所以直线方程为》=-1.综上所述，所求直线方程为x+3y

—5=0或x=-l.

答案：x+3y—5=0或x=—1

11.直线x—2y+l=0关于直线x=l对称的直线方程是.

解析：由题意得直线x—2y+1=0与直线x=1的交点坐标为(1』).又直线无一2y+l=0

y—0%3

上的点(一1,0)关于直线x=l的对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式，得不二

即x+2y-3=0.

答案：x+2y—3=0

12.过点P(0,l)作直线/使它被直线A：2x+y-8=0和kx—3y+10=0截得的线段

被点P平分，则直线/的方程为.

解析：设/i与/的交点为A(a,S—2a),

则由题意知，点4关于点P的对称点8(一”,2a—6)在b上，把B点坐标代入/2的方程

得一a—3(2。-6)+10=0,

解得。=4,即点A(4,0)在直线/上，

所以由两点式得直线/的方程为x+4y—4=0.

答案:x+4y—4=0

13.已知△ABC的三个顶点是C(3,4).

(1)求BC边的高所在直线/|的方程；

(2)若直线已过C点，且A,B到直线"的距离相等，求直线/2的方程.

4—311

解：(1)因为屈0=君:=不又直线/］与3C垂直，所以直线/|的斜率攵=一嬴=—4,

所以直线/i的方程是y=-4(x—1)+1,即4x+y—5=0.

(2)因为直线/2过C点且A,B到直线，2的距离相等，

所以直线/2与AB平行或过A8的中点M,

3—1

因为以8=三［二］=一1,所以直线/2的方程是)，=-(x-3)+4,即x+y—7=0.

因为AB的中点M的坐标为(0,2),

4—22

所以kcM=Z_Z=o,所以直线，2的方程是

3—。3

2

3)+4,即2x—3y+6=0.

综上，直线/2的方程是x+y—7=0或2x-3y+6=0.

第三节圆的方程

一、基础知识

1.圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

(X—6!)2+(y—Z?)2=r2(r>0)

标准方程圆心：(〃，b),半径：r

❶

j(2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心：(一孝，—f),

一般方程(Z)2+E2-4F>0)

半径：^\/D2+E2—4F

❷

❶标准方程强调圆心坐标为(db),半径为二

❷(1)当尸=0时，方程表示一个点(一号-y

(2)当。2+/一4尸＜0时，方程不表示任何图形.

2.点与圆的位置关系

点M(xo，yo)与圆(X—4)2+。-6)2=户的位置关系：

(1)若M(xo，泗)在圆外，则(x()—a)2+(yo—6)2＞尸

(2)若M(xo，州)在圆上，则(x()—a)2+(y()—Q2=汽

(3)若M(xo，州)在圆内，则(xo-aA+Ob一力2〈汽

二、常用结论

4=C¥0,

⑴二元二次方程/+取丫+42+m+£＞+尸=0表示圆的充要条件