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一道平面向量高考题的解法和变式探究解答及变式探究：平面向量引言：平面向量是高中数学中的一个重要概念，也是数学与物理学等科学中常用的工具和方法。它能帮助我们解决直角三角形的面积、坐标计算、力和速度等问题。本文将以一道典型的高考题为例，探究平面向量的解法和变式，并结合实际问题进行分析。1.问题描述：已知平面内的三个向量a=2i+j-k,b=i-j+k,c=3i-4j+4k，求向量a与向量b的数量积、向量积，以及向量c与向量a、b的夹角。解法1：数量积计算向量a与向量b的数量积定义为：a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a与向量b之间的夹角。因此，我们可以先计算向量a的模，再计算向量b的模，最后带入公式计算得出数量积。步骤：1)计算向量a的模：|a|=√(2²+1²+(-1)²)=√6。2)计算向量b的模：|b|=√(1²+(-1)²+1²)=√3。3)计算向量a与向量b的数量积：a·b=(2)(1)+(1)(-1)+(-1)(1)=0。解法2：向量积计算向量a与向量b的向量积定义为：a×b=|a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a与向量b之间的夹角，n表示两向量所在平面的法向量。我们可以通过行列式的方法计算向量积。步骤：1)计算向量积行列式：a×b=|ijk||21-1||1-11|=(1)(1-(-1))-(-1)(2-(-1))+(1)(2-1)=5i+3j-3k。解法3：向量夹角计算向量a与向量b的夹角θ可以通过求解向量a与向量b的数量积公式得到：a·b=|a||b|cosθ。带入已知量，解方程即可求得。步骤：1)设向量a与向量b的夹角为θ，代入数量积公式：2·1+1·(-1)+(-1)·1=√6√3cosθ。2)化简得：1=3cosθ。3)解方程得到夹角θ=arccos(1/3)。总结：通过以上解法，我们得到了向量a与向量b的数量积、向量积，以及向量c与向量a、b的夹角的解答。变式探究：1.假设向量a、b、c在空间中，求向量c在向量a、b张成的平面上的投影。步骤：1)计算向量a与向量b的向量积，即n=a×b。2)计算向量c在n上的投影，即c'=(c·n/|n|²)n。2.设向量a与向量b的夹角θ为60°，向量a的模为3，向量b的模为4，求向量a与向量b的数量积和向量积。步骤：1)根据已知条件，可以得到：a·b=|a||b|cosθ=(3)(4)cos60°=6。2)计算向量a与向量b的向量积：a×b=|a||b|sinθn=(3)(4)sin60°n=6√3n。结论：通过以上变式探究，我们可以进一步应用平面向量的知识解决投影问题以及利用已知条件计算其他平面向量的性质。结语：平面向量作为高中数学的基本概念之一，对于解题和实际问题的分析提供了很大的帮助。通过以上的解答和变式探究，我们探究了平面向量的解法以及应用，并对平面向量的概念和计算方

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