新人教版高中数学必修一复习提纲

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数学必修一复习提纲

第一章集合及其运算

一.集合的概念、分类：

集合的特征：

（1）确定性（2）无序性⑶互异性

三.表示方法：

⑴列举法⑵描述法（3）图示法（4）区间法

四.两种关系：

附属关系：对象e、任集合；包含关系：集合屋、£集合

五.三种运算：

B={x|xeB}

交集:

A\JB={x\xe^x&B}

并集:

补集:

六.运算性质：

（D41]0=4，/00=。

⑵空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

⑶假设”那么"「8=力，A\JB=B_

⑷An（QA）=0,AUQ）=U,HCA）^.

⑸（C=跆AB）

（6）集合…’"J的所有子集的个数为2",所有真子集的个数为2"-1,所有非空真子集的个

数为2"-2,所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为‘J”

第二章函数指

数与对数运算

分数指数暴与根式：

1bx八_axannn〃上n〃an

如果一，那么称是的次方根，”的次方根为0,假设HU,那么当为奇数时，的次方

根有1个，记做C；当狷偶数时，负数没有微方根，正数的“次分根有2个，其中正的次方缁

记做丘负的标方根记做一西.

1.负数没有偶次方根；

fa力为奇数

2.两个关系式：（◎"=〃；V1〃为偶数

3、正数的正分数指数事的意义：〃"二C

1

正数的负分数指数暴的意义:

4、分数指数第的运算性质:

〃〃/+勿=刖一〃

⑴加•a*=〃切+〃⑵

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⑶(Qm)〃=Qmn(Q・b)m=Qm-bm

(4);

⑸a0=l,其中m、"均为有理数，a,b均为正整数

二.对数及其运算

1,定义：假设ab=N（a〉O,且”1,N>0）,那么b=%N

2.两个对数:

⑴常用对数：a=l°,b=1ogJ=lgN

⑵自然对数：a=e“2.71828,b=log?=lnN

3.三条性质：

log1=0

（1）1的对数是0,即a:

loga=1

（2）底数的对数是1,即。

⑶负数和零没有对数.

4.四条运算法那么：

M।

log（MN）=logM+logNlog—二logM-logN

（1）aaa⑵°Na°

log鼐"=llogM

logMn=nlogM

⑹aa;(4)“。.

5.其他运算性质：

⑴对数恒等式：Ologai=b.

log.

logb=

log)

⑵换底公式:

logblogc=logclogbloga=1

⑶abiaab

n..

logbn=—logb

m

(4)ama

函数的概念

一.映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法那么/,对于集合A中的任意一个元素，在集合B

中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.

二.函数：在某种变化过程中的两个变量*、y,对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应

法那么，y都有唯一确定的值和它对应，那么称'是x的函数，记做，=/（、），其中x称为自变量，x变

化的范围叫做函数的定义域，和*对应的y的值叫做函数值，函数值，的变化范围叫做函数的值域.

三.函数'=f（X）是由非空数集A到非空数集B的映

射.四.函数的三要素：解析式；定义域：值域.

函数的解析式

--根据对应法那么的意义求函数的解析式；

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例如：八石+1）=》+2出,求函数/（M的解析式.

函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：/（M是一次函数，且_/1/（刈]=4、+3,函数/（M的解析

式.三.由函数人方的图像受制约的条件，进而求/（动的解析式.

函数的定义域

根据给出函数的解析式求定义域：

⑴整式：xeR

⑵分式：分母不等于0

⑶偶次根式：被开方数大于或等于0

（4）含0次累、负指数累：底数不等于0

⑸对数：底数大于0,且不等于1,真数大于0

二.根据对应法那么的意义求函数的定义域：

例如：）=/（'）定义域为PA],求J=/（3x+2）定义域；

/=/（3*+2）定义域为[2,5],求#=/（*）定义域；

三.实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域.

函数的值域

根本函数的值域问题：

名称解析式值域

一次函数y—标+bR

「4〃C一。2

[-------*)

〃>0时，4a

二次函数y=ax/2+法+,

/4ac一%i

(-8,-------]

时，4〃

k

反比例函数y=-且"°}

X

指数函数y=a=U|j>0}

对数函数y=logx

aR

y=sinx

0,1-1

三角函数y=cosx

y—tanxR

二.求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法

往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常

数别离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等.

反函数

反函数：设函如的值域是0,根据这个函数中X,）的关系，用）把》表示出，得

到x=（PG，）.假设对于c中的每一j值，通过*=做夕），都有唯一的一个乂与之对应，那么，^二中⑺

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就表示J是自变量，》是自变量）的函数，这样的函数'=（*＞。'）0'£。叫做函数）=/3）3€/）的反

函数，记作X=户5，习惯上改写成J=/T（M.

函数/（必存在反函数的条件是：X、）一一对

应.三.求函数/（M的反函数的方法：

⑴求原函数的值域，即反函数的定义域

⑵反解，用）表示乂，得》=/TGO

⑶交换乂、），得

（4）结论，说明定义域

四.函数）=/（必与其反函数的关系：

⑴函数）=/（'）与的定义域与值域互换.

⑵假设-产/3）图像上存在点那么）=尸（⑼的图像上必有点3"）,即假设/（〃）=",那

么=a.

⑶函数J=/3）与J=尸3的图像关于直线J=X对称.

函数的奇偶性：

一.定义：对于函数/（、）定义域中的任意一个X,如果满足/（一"）=一/（刈，那么称函数/（⑼为奇函数；

如果满足/D=/3）,那么称函数/⑸为偶函数.

二.判断函数/（M奇偶性的步骤：

i.判断函数/（M的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；

1验证/出与八一⑼的关系，假设满足八一⑼=一/⑺，那么为奇函数，假设满足八一必=/（"）,那

么为偶函数，否那么既不是奇函数，也不是偶函数.

二.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

三./（⑼、双⑼分别是定义在区间河、N（“nN0°）上的奇（偶）函数，分别根据条件判断以下函

数的奇偶性.

1

f(x)-/(Mf(x)+/x)f(x)-g(M/"(M送3)

/'(M

奇奇奇奇偶

奇

奇偶奇

偶奇奇

偶

偶偶偶偶偶

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五.假设奇函数/（X）的定义域包含°,那么

六.一次函数'二版+"/力⑴是奇函数的充要条件是。：。；

二次函数y=ax2+bx+c（aH0）是偶函数的充要条件是b=

0.函数的周期性：

定义：对于函数/（X）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f（x+T）=f（x）,那么/（X）为周期函数，7为这个函数的一个周期.

2.如果函数/（X）所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/（X）的最小正周期.如

工

果函数f（x）的最小正周期为T,那么函数f（ax）的最小正周期为Ia

1.函数的单调性

定义：一般的，对于给定区间上的函数"X）X勺，

,如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值I,

X<X

当I2时满足：

⑴,那么称函数/（X）在该区间上是增函数；

⑵,那么称函数/（X）在该区间上是减函数.

判断函数单调性的常用方法：

1.定义法：

（1）取值；⑵作差、变形；⑶判断：（4）定论：

*2.导数法：

⑴求函数f（x）的导数/'（X）；

⑵解不等式广⑶>°，所得x的范围就是递增区间；

⑶解不等式/‘（刈<°,所得X的范围就是递减区间.

3.复合函数的单调性：

对于复合函数y=/【g（x）】，设u=g（x）,那么了=/2），可根据它们的单调性确定复合函数

y=/w（x）］,具体判断如下表：

y=f(u)增增减减

u=g(x)增减增减

y=f[g(x)]增减减增

4.奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相

同.函数的图像

根本函数的图

像.二.图像变换:

-------------------------------------------优质文木-----------------------------

y=/(x)—y=fM+k

将y=图像上每一点向上优>°)或向下伙<°)平移1幻个单位，可得

y=/(»+&的图像

y=/Wty=f(x+h)

将y=fM图像上每一点向左(〃>0)或向右(〃<°)平移I〃I个单位，可得

y=1(x+用的图像

y=/(»ty=af{x)

将y=/a)图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(">1)或压缩

为原来的“倍，可得y=4(»的图像

y=/(x).y=f(ax)

将y=/(x)图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(">1)或拉伸

2

(0<4<1)为原来的.，可得y=/(ax)的图像

y=/(x)一y=f(-x)

关于y轴对称

y=/(x)-y=-/(x)

关于无轴对称

y=/(x)ty=/(|x|)

将y=/(x)位于>轴左侧的图像去掉，再将)'轴右侧的图像沿)'轴对称到左

侧，可得的图像

y=/(M—H)l