人教版数学八年级下册《期中检测卷》含答案解析

人教版数学八年级下学期

期中测试卷

学校班级姓名成绩

一.选择题（每题3分，共计30分）

1.在端午节道来之前,双十中学高中部食堂推荐了A,B,C三家粽子专卖店,对全校师生爱吃哪家店的粽子作

调查，以决定最终向哪家店采购.下面的统计量中最值得关注的是（）

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

2.在某校冬季运动会上,有15名选手参加了200米预赛,取前八名进入决赛.已知参赛选手成绩各不相同

某选手要想知道自己是否进入决赛,除了知道自己的成绩外,还需要了解全部成绩的（）

A.平均数B.中位数C,众数D.方差

3.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

,11C

A.x2+3y=1B.x2+3x=\C.ax'+Zzx+c=0D.-—=2

xx

4.下列命题中错误的是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线垂直相等的四边形是正方形

5.用配方法解方程/+6x+4=0,下列变形正确的是（）

A.（x+3）2=-4B.（%-3）2=4C.（x+3）2=5D.（x+3）2=±-75

6.关于x的一元二次方程（加―2）/+2》+1=0有实数根，则m的取值范围是（）

A.m<3B.m<3

C.m<3且mH2D.m43且机力2

7.某商品价格经过两次降价后，由原来每千克25元下调至每千克16元,设平均每次降价百分率为X,则下

列方程正确的是（）

A.16（1+X）2=25B.25（1-2%）=16

C.25(1-x)2=16D.25(1")=16

8.如图，点P是矩形ABCO的对角线AC上一点，过点P作E/〃8C,分别交A8、C。于E、/，连接PB、

PD.若AE=2,PF=4,则图中阴影部分的面积为（

9.如图，四边形A8CO中，NA=90。，AB=12,AO=3.5,点M、N分别为线段8C、A3上的动点（含

端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF的长度可能为（）

10.如图，在平行四边形ABCO中，BC=2AB,ZB=70°,CE_L43于E,尸为A。的中点，则NAPE的

大小是（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

二、填空题

11.学校组织“我青春我做主”演讲比赛，小红演讲内容得10分，语言表达得8分.若按演讲内容占40%,

语言表达占60%得比例计算总成绩,则她的总成绩是.

12.对甲、乙两个机器人进行射击测试,每个机器人10次射击成绩的平均数均是9.5环,方差分别为

S第=0.28,Si=0.39,则成绩稳定的是.

13.己知x=1是一元二次方程V+小一2=0的一根,则该方程的另一个根为.

14.如图,在平行四边形ABCD中,E为AD边上一点，且AE=AB,若NBED=160°,则ZD的度数为

E

D

15.菱形的周长为10c机，它的一条对角线长为3cm,则此菱形的面积为

16.肆虐的新冠状病毒肺炎具有人传人性,调查发现：1人感染病毒后如果不隔离,那么经过两轮传染将会有

225人感染,若设1人平均感染X人,依题意可列方程.

17.设%，/是方程/_》-2019=0的两实数根，则片+2020马—2019的值是

18.如图,正方形ABCD的边长为3cm，点、E为CD边上一点，ZDAE=30°,点M为AE的中点,过点M

作直线分别与AO,BC相交于点P,。.若PQ=AE,则AP长为cm.

19.解下列一元二次方程

(1)x(x-2)=0

(2)X2-2X-1=0

20.某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如

下:

每人销售件数1650510250210150120

人数113532

(1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；

(2)假设销售负责人把每位营销员的月销售额定为310件，你认为是否合理,为什么？如不合理，请你制定一

个较合理的销售定额,并说明理由.

21.已知关于x的一元二次方程J?-(m-2>)x-m-0.

（1）求证：方程有两个不相等实数根;

（2）如果方程两实根为西、%，且片+考一毛=13,求利的值.

22.已知：如图,E,F为"BCD对角线AC上的两点，且AE=CF,连接BE,DF,求证：BE=DF.

23.在新冠肺炎流行中，某商家预测库存带防护面罩的遮阳帕将能畅销市场预计平均每天可售出20件,每

件赢利40元,为了扩大销售,增加赢利，回笼资金,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每个遮阳

帽每降价1元,商场平均每天可多售出2个,若商场平均每天要赢利1200元,每个遮阳帽应降价多少元？

24.如凰在四边形ABCD中，AB//DC,A8=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分过点。

作CE工AB交AB的延长线于点E,连接OE.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）若=8。=2,求。E的长.

25.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的,其中第1个图形的周长为4,第2个图形的周长

为10,第3个图形的周长为18,……按此规律排列，回答下列问题：

第1个第2个第3个

（1）第4个图形的周长为；

（2）第〃个图形的周长为；

（3）第〃个图形的周长能否为155?如能求出〃的值，如不能,请说明理由.

26.如图，现有一张矩形纸片ABC。，43=2,8C=6,点M,N分别在矩形的边AD,BC上，将矩形纸片

沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点。落在G处，连接PC,交MN于点Q,连接

CM.

(1)求证：PM=PN；

(2)当P,A重合时，求MN的值；

(3)若APQM的面积为S,求S的取值范围.

27.定义：有一个内角为90。，且对角线相等的四边形称为准矩形.

(1)①如图1,准矩形ABCD中，ZABC=90。，若A3=2,=3,则BD=；

②如图2,直角坐标系中，A(0,3),3(5,0),若整点p使得四边形AOBP是准矩形,则点尸的坐标是

；(整点指横坐标、纵坐标都为整数的点)

(2)如图3,正方形43C。中，点E、尸分别是边A。、AB上的点，且求证：四边形8CE尸是

准矩形；

(3)已知,准矩形ABCD中，ZABC=90°,ZBAC=60°,AB=4,当A4OC为等腰三角形时，请直接写出

这个准矩形的面积.

答案与解析

一.选择题（每题3分，共计30分）

1.在端午节道来之前,双十中学高中部食堂推荐了A,B,C三家粽子专卖店,对全校师生爱吃哪家店的粽子作

调查，以决定最终向哪家店采购.下面的统计量中最值得关注的是（）

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

【答案】D

【解析】

【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，

故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数；

故选D.

【点睛】本题考查了统计量的有关知识，解题的关键在于掌握各统计量的定义；首先,根据题意可知学校食

堂最关注的为数据中出现次数最多的数；然后,依次寻找各选项中哪个统计量表示数据中出现次数最多的数,

即为正确选项.

2.在某校冬季运动会上，有15名选手参加了200米预赛，取前八名进入决赛.已知参赛选手成绩各不相同，

某选手要想知道自己是否进入决赛,除了知道自己的成绩外,还需要了解全部成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】

一组数据从小到大（或从大到小）排列，中位数最中间一个数据或两个数据的平均数；15人成绩的中位数是

第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，

比较即可.

【详解】由于总共有15个人,且他们的分数互不相同,第8的成绩是中位数,所以要判断是否进入前8名，只

需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数.

故选B.

3.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.x2+3y=1B.%2+3x=1C.ax2+bx+c=0D.—+--2

XX

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数.由

这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【详解】A、/+3尸=1,含有两个未知数,故不一元二次方程；

B、N+3x=l,是一元二次方程，故此选项正确；

C、a^+bx+c—Q,当今0时，是一元二次方程，故C错误；

D、±+'=2,是分式方程，故。错误.

xx

故选B.

【点睛】考查了一元二次方程概念,判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看

化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

4.下列命题中错误的是()

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线垂直相等的四边形是正方形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法依次判断各项后即可解答.

【详解】选项A,由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得选项A正确；

选项B,由对角线相等平行四边形是矩形可得选项B正确;

选项C,由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项C正确；

选项D,由对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可得选项口错误.

故选D.

【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，熟知平行四边形、矩形、菱形及正方形

的判定方法是解决问题的关键.

5.用配方法解方程/+6田+4=0,下列变形正确的是()

A.(x+3)2--4B.(x-3)2=4C.(x+3)2=5D.(x+3)?=±非

【答案】C

【解析】

X2+6X+4=0,移项，得小+6m一4,配方，得/+6x+32=-4+32,即(x+3)2=5.

故选C.

6.关于x的一元二次方程（加一2）f+2x+l=0有实数根，则m的取值范围是（）

A.m<3B.m<3

C.机<3且〃zw2D.m<3且mw2

【答案】D

【解析】

试题分析：•.・关于x的一元二次方程（加一2）f+2x+l=0有实数根机一2Ho且短0,即

22-4（m一2）x120,解得m<3,二m的取值范围是，”W3且〃-2.故选D.

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义.

7.某商品价格经过两次降价后，由原来的每千克25元下调至每千克16元,设平均每次降价百分率为x,则下

列方程正确的是（）

A.16（1+X）2=25B.25（1-2%）=16

C.25（1-x）2=16D.25（1-X2）=16

【答案】C

【解析】

【分析】

根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程,即可得出结论.

【详解】解：根据题意，得：25（1-X）2=16,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

8.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF//BC,分别交AB、CD于E、F,连接尸B、

PD.若AE=2,PR=4,则图中阴影部分的面积为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质证得SDFP=SPBE＞然后求解即可.

【详解】解：作PM1AD于M,交BC于N

二四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形,

•q=qq=qq=qq=qq=q

,•QADC~nABC'°AMP~°AEP，PBE~°PBN，°PFD~°PDM，°PFC~°PCN，

PM=AE=2,PF=NC=4

・qsPBE=1x2x4=4

・・。DFP

SBJ=4+4=8.

【点睛】本题主要考考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，证得S”p=Sp班.是解答本题的关键.

9.如图，四边形ABC。中，NA=90。，AB=12,AO=3.5,点M、N分别为线段8C、A8上的动点（含

端点，但点M不与点8重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF的长度可能为（）

B

A.1.5B.4C.6.5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线定理得出从而可知。N最大时，EF最大，因为N与3重合时。N最

2

大，N与A重合时，DN最小,从而求得EF的最大值为6.25,最小值是1.75,可解答.

【详解】解：连接ON,

：.EF=-DN,

2

：.DN最大时，EF最大，DN最小时,EF最小，

QN与8重合时最大，

此时ON==-JAD2+BD2=V3.52+I22=12.5，

：.EF的最大值为6.25.

vZA=90°,AD=3.5,

DN>3.5,

EF..1.75,

.•.EP长度的可能为4；

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键.

10.如图，在平行四边形ABCO中，BC=2AB,N5=70°,CE_LA3于E,F为A。的中点，则NAFE的

大小是（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】A

【解析】

分析】

取BC的中点G,连接EG、FG,如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到EG=BG=CG,则

NB=NGEB=NFGC=72。,则EG=AB=FG,所以NEFG=NFEG,接着利用平角的定义可得NAEF的大小.

【详解】解：取BC的中点G,连接EG、FG,如图,

•,四边形ABCD为平行四边形,

,・AD=BC,AD〃BC,

・・AF〃BG,

・・F为AD的中点，

\AF=BG=—AD,

2

••四边形ABGF是平行四边形,

・・AB〃FG,

••四边形ABCD为平行四边形

・・AB〃CD,

,・AB〃FG,

.,CEIAB,

,・ZCEB=90°,

\EG=BG,

•・ZB=ZGEB=ZFGC=70°,

•・ZBGE=180o-70°-70o=40°,

\ZEGF=180o-70°-40o=720°,

/BC=2AB,

•・EG=AB=FG,

*.ZAFE=180°-ZBGF-ZEFG=180°-40°-70°-55o=15°,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，直角三角形斜边中线的性质，也考

查了等腰三角形的性质.

二、填空题

11.学校组织“我的青春我做主”演讲比赛，小红演讲内容得10分,语言表达得8分.若按演讲内容占40%,

语言表达占60%得比例计算总成绩,则她的总成绩是.

【答案】8.8

【解析】

【分析】

根据加权平均数的计算公式列出算式,再进行计算即可求解.

…10x40%+8x60%°C八

【详解】解：小红的总成绩为：-----------------=8.8（分）

100%

故答案为：8.8

【点睛】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，是一道基础题，比较简单.

12.对甲、乙两个机器人进行射击测试，每个机器人10次射击成绩的平均数均是9.5环，方差分别为

H=0.28,Si=0.39,则成绩稳定的是

【答案】甲

【解析】

【分析】

根据S'=0.28,Si=0.39可得：,即甲的更稳定.

【详解】•.0=0.28,5^=0.39

s^<s[

甲更稳定

故答案为甲

【点睛】本题主要考查了方差的知识点,根据方差越大数据的波动越大的特点比较方差即可求解.

13.已知尤=1是一元二次方程^+小―2=0的一根,则该方程的另一个根为.

【答案】-2

【解析】

【分析】

由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可.

【详解】设方程的另一根为X,

由根与系数的关系可得：lxxi=-2,

.*.xi=­2.

故答案为：一2.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，明确根与系数的关系是解题的关键.

14.如图,在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点,且AE=AB,若NBED=160°,则/D的度数为

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质得到AD〃BC,求得NAEB=NCBE,根据等腰三角形的性质得到/ABE=/AEB,根

据平角的定义得到/AEB=20。,可得NABC的度数,根据平行四边形的对角相等即可得结论.

【详解】解：•••四边形ABC£）是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZAEB=ZCBE,

'：AB=AE,

：.ZAEB,

VZBED=160°,

ZA£B=20°,

ZABC=ZABE+ZCBE=2ZAEB=40°,

/D=NABC=40。.

故答案为40。.

【点睛】本题考查平行四边形的性质,平行线的性质，等腰三角形的性质,正确的识别图形是解题的关键.

2

15.菱形的周长为10。加，它的一条对角线长为3cm,则此菱形的面积为CW.

【答案】6

【解析】

【分析】

根据菱形的性质，四条边相等且对角线互相平分且互相垂直，由勾股定理得出B0的长，进而得其对角线BD

的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.

【详解】解：如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点0,

•••菱形的周长为10,

5

，AB=BC=CD=AD=一,

2

•.•一条对角线的长为3,当AC=3,

3

.•.AO=CO=-,

2

RtAAOB中，BO==2,

BD=2BO=4,

，菱形的面积=gAC・BD=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理等知识,根据题意得出B0的长是解题的关

键.

16.肆虐的新冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离,那么经过两轮传染将会有

225人感染,若设1人平均感染X人，依题意可列方程.

【答案】(l+xp=225

【解析】

【分析】

第一轮感染人数为(x+l),则第二轮感染人数为x(x+l)+(x+D,因此(l+x)2=225,解方程即可.

【详解】根据题意可列方程得：(1+4=225

故答案为：(1+x)2=225

【点睛】本题主要考查了实际问题与一元二次方程,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.

2

17.设西，x2是方程X-X-20\9=0的两实数根,则+2020^-2019的值是.

【答案】2020

【解析】

【分析】

根据七,々是/—%一2019=0的两个实数根可得：石2_%_2019=0,%2=%+2019,根据韦达定理可

b

得：%+/=一—=1,由于

a

=%(d)=%(%+2019)=Xj2+2019%=Xy+2019+2019%=2020%+2019,因此

+2020%—2019=2020玉+2019+2020^-2019=2020(%+9)=2020.

【详解】•・・再，马是炉一工一2019=0的两个实数根，代入石可得:一看一2019=0

/.玉之二百+2019

h

根据韦达定理可得：玉+/=--=1

a

又V片=%(片)=%(%+2019)=片+2019%=玉+2019+2019%]=2020%+2019

其+2020々-2019=2020%,+2019+2020^-2019=2020(毛+w)=2020

故答案为：2020

【点睛】本题主要考查了等式的性质，方程的解,一元二次方程根与系数的关系式，将高次项降次是本题的入

手之处,根据原方程求出入；+2020&-2019=2020(%+x2)是解题的关犍.

18.如图，正方形ABCD的边长为3cm，点E为CD边上一点，ZDAE=30°,点M为AE的中点，过点M

作直线分别与AO,BC相交于点P,。.若PQ=AE,则AP长为cm.

【答案】1或2

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，过P作PNLBC,交BC于点N,由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN,在直角三角形ADE

中，利用锐角三角函数定义求出DE的长,进而利用勾股定理求出AE的长,根据M为AE中点求出AM的长，

利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到

DE=NQ,NDAE=/NPQ=30。,再由PN与DC平行,得到/PFA=/DEA=60。,进而得到PM垂直于AE,在直角

三角形APM中，根据AM的长,利用锐角三角函数定义求出AP的长,再利用对称性确定出AP，的长即可.

【详解】根据题意画出图形，过点、P作PN工BC,交BC于点N,交AE于点尸，四边形ABCD为正方

形，AD=DC=PN.

在Rt^ADE中，NDAE=30°,AD=3cm,

DE=V3cm.

根据勾股定理得AE=,3?+（可=2百cm.

为AE的中点，AM=」AE=bcm,

2

[AD^PN,

在RtAADE和RtAPNQ中，《

AE=PQ,

：.Rt/SADEsRt"NQ（HL）,

DE=NQ,ZDAE=ZNPQ=30°

PN!IDC,：.ZPFA=NDEA=60°,

NPMF=90°，即PM，AF.

•AP=6=2

在R/A4VP中，NM4P=30°,…G-cm.

T

由对称性得到AP'=OP=AO-AP=3—2=1cm,

综上，AP等于1cm或2cm.

故答案为1或2.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题

的关键.

三、解答题

19.解下列一元二次方程

(1)x(x-2)=0

⑵X2-2X-1=0

【答案】(1)%=0,演=2；(2)A;=1+>/2,x,=1->/2.

【解析】

【分析】

(1)由两个一次式的乘积为0得出这两个一次式都可能等于0,可得关于x的一元一次方程,解之可得；

(2)利用配方法求解即可.

【详解】解：(1)x(x-2)=0

x=0或x-2=0,

X]=0,%2=2；

(2)X2-2X-1=0

x2-2x+1-2,

(X-1)2=2,

x—1-±V2,

%=I+々=1-5/2•

【点睛】本题考查解一元二次方程,根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键.

20.某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售量如

下：

每人销售件数1650510250210150120

人数113532

(1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；

(2)假设销售负责人把每位营销员的月销售额定为310件，你认为是否合理,为什么？如不合理,请你制定一

个较合理的销售定额,并说明理由.

【答案】（1）310,210,210；（2）不合理，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数,众数是一

组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据

的个数.

（2）根据表中数据和平均数、中位数和众数的意义回答.

1650+510+250x3+210x5+150x3+120x2

【详解】解：（1）平均数是:=310（件），

15

表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210,因而中位数是210（件）,

210出现了5次最多，所以众数是210；

（2）不合理.

因为15人中有13人的销售额不到310件,310件虽是所给一组数据的平均数,它却不能很好地反映销售人员

的一般水平.销售额定为210件合适些,因为210件既是中位数,又是众数,是大部分人能达到的定额.

【点睛】此题考查了中位数,众数,平均数,它们都是反映数据集中趋势的指标,掌握平均数、中位数和众数

的意义是解题的关键.

21.已知关于x的一元二次方程x2一（6-3）x-机=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为玉、工2,且片+¥-%用=13,求m的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）4或-1.

【解析】

【分析】

（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；

（2）根据根与系数的关系可以得到关于，篦的方程，从而可以求得加的值.

【详解】解：（1）证明：♦.♦f—（加一3）x—加=0,

A=[-（7?Z-3）]?-4xlx（-nt）-2m+9=（m—I）2+8>0,

方程有两个不相等的实数根；

（2）-（加一3）无一/«=0,方程的两实根为％、w，且%2+考一%%=13,

2

二（%+x2）—3A1A2=13,

(jn—3)--3*(—tri)-13,

解得，仍=4,牡=-1,

即，”的值是4或-1.

【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利

用方程的思想解答.

22.已知：如图,E,F为oABCD对角线AC上的两点，且AE=CF,连接BE,DF,求证：BE=DF.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

利用SAS证明△AEB^ACFD,再根据全等三角形的对应边相等即可得.

【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃DC,AB=DC,

/BAE=NDCF,

AB=CD

在4AEB和ACFD中，，ZBAE=NDCF,

AE=CF

.".△AEB^ACFD(SAS),

；.BE=DF.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.

23.在新冠肺炎流行中,某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帕将能畅销市场预计平均每天可售出20件,每

件赢利40元,为了扩大销售,增加赢利，回笼资金,商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳

帽每降价1元,商场平均每天可多售出2个,若商场平均每天要赢利1200元,每个遮阳帽应降价多少元？

【答案】10元或20元

【解析】

【分析】

根据题意,设每个遮阳帽应降价X元,结合利润1200等于每件的利润乘以件数列出方程式求解即可.

【详解】解：设每个遮阳帽应降价X元，由题意可得：

(20+2x)(40-x)=1200

化简可得：%2-30^+200=0

解得：占=10,匕=20，

答：应降价10元或20元，

故答案为：10元或20元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——销售利润问题,掌握一元二次方程的实际应用是解题的关

键.

24.如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分44P,过点。

作CE工AB交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABCO是菱形；

(2)若AB="i,8。=2,求OE的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)2百.

【解析】

【分析】

(1)先判断出NOAB=NDCA,进而判断出/DAC=/DCA,得出CD=AD=AB,即可得出结论;

(2)先判断出OE=OA=OC,再求出OB=1,利用勾股定理求出OA,即可得出结论.

【详解】(1)证明：：AB〃CD,

/.ZOAB=ZDCA,

：AC为/DAB的平分线，

ZOAB=ZDAC,

ZDCA=ZDAC,

.\CD=AD=AB,

；AB〃CD,

四边形ABCD是平行四边形,

・「AD=AB,

**«°ABCD是菱形；

(2)解：・・,四边形ABCD是菱形,

.*.OA=OC,BD1AC,

VCE±AB,

・・・OE=OA=OC,

VBD=2,

AOB=-BD=1,

2

在RtAAOB中，4B=VH,OB=1,

OA=4AB。-OB?=712=273

/.OE=OA=2G.

【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义,勾股定理,判断出

CD=AD=AB是解本题的关键.

25.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的,其中第I个图形的周长为4,第2个图形的周长

为10,第3个图形的周长为18........按此规律排列，回答下列问题:

(1)第4个图形的周长为

(2)第〃个图形的周长为

(3)第〃个图形的周长能否为155?如能求出〃的值，如不能,请说明理由.

【答案】(1)28；(2)"+3〃；⑶不能,理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)观察不难发现，从第2个图形开始，每个图形的周长就是一个矩形的周长,根据周长公式计算即可得到

答案；

(2)由(1)可发现周长是n(n+3)；

(3)代入(2)中的式子，解方程可得结论.

【详解】(1)如图，由平移的性质可得第2个和第3个图形的边长就是

第1个图形的周长为4,

如图，由平移得：第2个图形的周长就是长为3,宽为2的矩形的周长，为2(2+3)=4+6=10=2x5,

同理得：第3个图形的周长为：2(3+6)=6+12=18=3x6,

.•.第4个图形的周长为2(4+10)=8+20=28=4x7,

故答案为：28；

(2)第n个图形的周长为：n(n+3)=n2+3n；

故答案为:n2+3n；

(3)假设第〃个图形的周长为155时，则有M+3n=155,

n2+3n-155=0,

解得，/=一3+产,巧二土等

是自然数,

•••不能求出〃的值.

【点睛】本题是对图形变化规律的考查,观察出每个图形的周长是一组规律数是解题的关键.

26.如图，现有一张矩形纸片ABC。，A3=2,BC=6,点M,N分别在矩形的边AO,BC上，将矩形纸片

沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点。落在G处，连接PC,交于点Q,连接

(1)求证：PM=PN：

(2)当P,A重合时，求的值;

(3)若APQM的面积为S,求S的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）MN=2叵；（3）1<S<1.

33

【解析】

【分析】

（1）证明NPMN=/PNM即可解决问题.

（2）点P与点A重合时,设BN=x,表示出AN=NC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得x的值,进而用勾股定

理求得MN.

（3）当MN过D点时,求得四边形CMPN的最小面积,进而得S的最小值,当P与A重合时,S的值最大,求

得最大值即可.

【详解】（1）证明：如图1中，

••,四边形ABCD是矩形，

PM〃CN,

ZPMN=ZMNC,

,/NMNC=NPNM,

ZPMN=ZPNM,

PM=PN.

(2)解：点P与点A重合时，如图2中,

设BN=x,则AN=NC=6-x,

在RtAABN中，AB2+BN2=AN2,

即22+x2=(6-x)4

Q

解得X=7

810i----------------------i-------------「

CN=6<=§,*=y/AB2+BC2=V22+62=2而，

C<2=-AC=VTO,

QN=yJCN2-CQ2=J(g)2_(Vio)2叵

亍

(3)解：当MN过点D时，如图3所示,

图3

此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小，则S最小为S='S«CMPN=-X2x2=1,

44

当P点与A点重合时,CN最长，四边形CMPN的面积最大,则S最大为S叵x'x2jIU=3

2232

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了折叠问题，矩形的性质解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关

键是学会利用参数构建方程解决问题.

27.定义：有