【高考数学精讲精练】第16讲 函数与导数常见经典压轴小题24个核心考点全归类（精讲精练）（解析版）

函数与导数常见经典压轴小题24个核心考点全归类

【命题规律】

1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较

小.

2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难

度中等偏上，属综合性问题.

【核心考点目录】

核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型

核心考点二：函数嵌套问题

核心考点三：函数整数解问题

核心考点四：唯一零点求值问题

核心考点五：等高线问题

核心考点六：分段函数零点问题

核心考点七：函数对称问题

核心考点八：零点嵌套问题

核心考点九：函数零点问题之三变量问题

核心考点十：倍值函数

核心考点十一：函数不动点问题

核心考点十二：函数的旋转问题

核心考点十三：构造函数解不等式

核心考点十四：导数中的距离问题

核心考点十五：导数的同构思想

核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法

核心考点十七：三次函数问题

核心考点十八：切线问题

核心考点十九：任意存在性问题

核心考点二十：双参数最值问题

核心考点二十一：切线斜率与割线斜率

核心考点二十二：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)

核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题

核心考点二十四：函数的伸缩变换问题

【真题回归】

1.(2022•全国•统考高考真题)当x=1时，函数"X)=。Inx+2取得最大值-2,则/'(2)=()

X

A.—IB.—C.!D.1

22

【答案】B

【解析】因为函数/(X)定义域为(0,+8),所以依题可知，y(l)=-2,/'⑴=0,而

/(x)=--A，所以6=-2,a-b=0,即〃=-2,6=-2,所以广(x)=-2+2,因此函数f(x)

XXXX

在(0,1)上递增，在(1,+巧上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有/'(2)=-l+；=-g.

故选：B.

2.(2022•全国•统考高考真题)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2句的最小值、最

大值分别为()

兀兀一3兀兀一兀兀.一3兀兀八

A.—,—B.----,—C.—,—h2D.---->—F2

22222222

【答案】D

【解析】/'(x)=—sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+l)cosx,

所以/(X)在区间M和管,2无［上网x)>0,即单调递增；

在区间(得)上/(X)<o,即/(X)单调递减，

乂〃0)=〃2兀)=2,呜)=尹2,/图=唁+1)+1=*,

所以/(力在区间［0,2可上的最小值为-称，最大值为］+2.

故选：D

3.(多选题)(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=d-x+l,则()

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】AC

【解析】由题，r(x)=3x2-l,令/8x)>0得04或x<_乎，

令/")<0得-3<x<也，

33

所以〃x)在(-co，一半)，(*,+8)上单调递增，(一日，日)上单调递减，所以x=±9是极

值点，故A正确；

因1+等>0，/(等)=1一等>0，/(-2)=-5<0,

所以，函数〃x)在(f,-半］上有一个零点，

当xj时，/(X)”乎>0,即函数“X)在忤+8|上无零点，

综上所述，函数〃x)有一个零点，故B错误；

令〃(x)=x3-x,该函数的定义域为R,M-x)=(-xy-(-x)=-第+x=-/(

则〃(x)是奇函数，(0,0)是/>(x)的对称中心，

将〃(x)的图象向上移动一个单位得到/(x)的图象，

所以点(0,1)是曲线歹="X)的对称中心，故C正确；

令f(x)=3x2_l=2,可得X=±1,又八1)=/(-1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为N=2X-1,当切点为(一口)时，切线方程为V=2X+3,故D错

误.

故选：AC.

4.(2022・天津•统考高考真题)设aeR,对任意实数x,记

/(x)=min{M-2,f-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点，则实数。的取值范围为.

【答案】a>10

【解析】设g(x)=f-or+3a-5,A(x)=|x|-2,由|xk2=0可得x=±2.

要使得函数/(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，贝必=。2-12。+202()，

解得或4210.

①当”=2时，g(x)=/_2x+l,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示：

此时函数/(x)只有两个零点，不合乎题意；

②当。<2时,设函数g(x)的两个零点分别为占、x2(x,<x2),

要使得函数f(x)至少有3个零点，则超4-2,

一<-2

所以，2,解得QG0;

g(-2)=4+5a-5>0

③当a=10时，g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示:

由图可知，函数/（X）的零点个数为3,合乎题意；

④当4>10时，设函数g（x）的两个零点分别为毛、X4（x3<x4）,

要使得函数/（X）至少有3个零点，则占22,

@>2

可得2,解得”>4,此时a>10.

g（2）=4+a-5>0

综上所述，实数a的取值范围是［10,+8）.

故答案为：［10,内）.

5.（2022,全国•统考高考真题）已知x=再和x=々分别是函数f（x）=2a'—eA2(a>0且aw1)

的极小值点和极大值点.若&，则a的取值范围是.

【答案】

【解析】［方法一I：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/'（x）=21na.a*-2ex,所以方程21nad-2ex=0的两个根为8,当,

即方程lnq-a、=ex的两个根为占应，

即函数y=Ina•优与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

因为玉,马分别是函数/（x）=2优-ex2的极小值点和极大值点，

所以函数/（x）在（-8,占）和（工2，+8）上递减，在（士,%）上递增，

所以当时（-8,西）（々,+8）,/（x）<0,即>=6》图象在y=上方

当x«X］,X2）时，/C（x）>0,即）=ex图象在y=［nea*下方

«>1,图象显然不符合题意，所以

令g(x)=lnea”,贝I」g，(x)=In?a.a'()<a<1,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x°,Ina.*),

则切线的斜率为g'(%)=In%.优。，故切线方程为y-Ina•*=h?a.a*。(x-x。)，

则有-Ina•4。=-xIn2a-*,解得％=J—,则切线的斜率为〃5一0”，

0Inainc<wvini«-

因为函数y=lna.Q"与函数歹=。工的图象有两个不同的交点，

所以ehfave，解得—<a<e,乂。所以一

ee

综上所述，4的取值范围为

［方法二【通性通法】构造新函数，二次求导

/,(x)=21na-tzx-2ex=0的两个根为西,x?

因为为,分别是函数/(x)=2a'-ex2的极小值点和极大值点,

所以函数/(X)在(-8,芭)和(々，+8)上递减，在(士,%)上递增，

设函数g(x)=/"(x)=2WIna-ex),则g,(x)=2ai(ln«丫-2e,

若a>l,则g'(x)在R上单调递增，此时若式/)=0,则/'(x)在

(-*/)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，此时若有X=X1和X=&分别是函数

/(x)=2a*-ex“a>0且的极小值点和极大值点，则再>/，不符合题意：

若0<"1,则g'(x)在R上单调递减，此时若g'(x0)=O,则/'(X)在(-8,%)上单调递增,

在(%,+<»)上单调递减，令g'(Xo)=O,则/=晨)2，此时若有X=X］和X=》2分别是函数

/3=2优-夕2(0>0且"1)的极小值点和极大值点，且占<々，则需满足/(%)>0,

/'(xo)=2(a%lna-exo)=2(^——ex())>0,g|Jx0<p-,与卜”>1故

v

lna«=xolna=ln—^-y>l(所以

(Ina)e

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小

题小做”，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即

可，该法属于通性通法.

6.(2022•全国•统考高考真题)若曲线y=(x+a)e、有两条过坐标原点的切线，则a的取值范

围是.

【答案】(Y,-4)U(0,”)

【解析】Vy=(x+6Z)eX,/.y=(x+l+6r)er,

设切点为(%oJo),则%=(%o+a)e*,切线斜率>=(/+1+a)eA0,

xv

切线方程为：7-(x0+«)e°=(x0+l+a)e°(x-x0),

rXo

・・•切线过原点，A-(x0+a)e°=(x0+l+a)e(-x0),

整理得：x；+axo-〃=0,

■••切线有两条，，A=/+4a>0，解得。〈-4或。>0,

・•.。的取值范围是(-8,-4川(0,+8),

故答案为：(Y°,-4)U(0,+8)

—x2+2,x<l,/z,\\

7.(2022・浙江•统考高考真题)已知函数〃力=1,，则//彳=________；若

X+——1,X>1,I12〃

Ix

当时，14/(x)43,则6-。的最大值是.

【答案】段3+6

【解析】由已知/(；)=-[口+2=白/04+；1=£，

2\Zy444/2©

所以小丹豢

当时，由l4/(x)W3可得14一工2+243,所以TWxWl,

当x>1时，由1W/(x)43可得14XH---1«3,所以l<xW2+b，

x

14f(x)M3等价于-1W2+5所以[a,习=[-1,2+1],

所以6-a的最大值为3+6.

47

故答案为：—,3+6.

8.(2022•全国•统考高考真题)曲线y=In|x|过坐标原点的两条切线的方程为,

【答案】y=-Xy=--x

ee

【解析】|方法一I：化为分段函数，分段求

分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(xoJnx。)，求出函数

的

导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可

求出切线方程，当x<0时同理可得；

因为V=ln|x|,

当x>0时y=lnx,设切点为(%,In玉)),由了=!，所以了忆刘二一，所以切线方程为

xX。

^-lnx0=-(x-x0),

xo

又切线过坐标原点，所以TnX。=，(-%),解得x0=e,所以切线方程为y-1=!(x-e),

Xoe

即歹=4；

e

当x<0时y=ln(-x),设切点为a，ln(-xj),由j/=L所以内『=_1,所以切线方程为

X玉

y-ln(-F)=—(x-xj,

x\

又切线过坐标原点，所以Tn(-x,)=’(-xJ,解得士=-e,所以切线方程为y-l=-!-(x+e),

x\~e

即好」x；故答案为：y=-x；y=--x

eee

［方法二I:根据函数的对称性，数形结合

当工>0时'=111》，设切点为(%,111%),由y'=L,所以y'k.%=一,所以切线方程为

XX。

y-lnx0=—(x-x0),

xo

又切线过坐标原点，所以Tnxo=L(r°),解得x0=e,所以切线方程为y-1='(x-e),

xoe

口即口尸一1x；

e

因为y=ln|x|是偶函数，图象为：

所以当x<0时的切线，只需找到^=!工关于y轴的对称直线y=-1x即可.

ee

I方法三I：

因为夕=ln|x|,

当x>0时>=lnx,设切点为(Minx。)，由y'=L所以四不=一，所以切线方程为

X/

y-lnx0=—(x-x0),

xo

又切线过坐标原点，所以Tn%="!■(一%),解得%=e,所以切线方程为y-l=L(x-e),

xoe

即kL;

e

当x<0时y=ln(-x),设切点为(再，In(-xJ),由=L所以内个=,，所以切线方程为

X演

j/-ln(-^)=—(x-jq),

x\

又切线过坐标原点，所以-ln(-xJ='(Tj,解得±=-e,所以切线方程为"l=-!-(x+e),

xi-e

即y=--x；

e

故答案为：y=-x；y=--x.

ee

-ax-i-1,x<a,

9.(2022•北京・统考高考真题)设函数/(》)=/7若/⑴存在最小值，则。的一

(x-2),x>a.

个取值为;。的最大值为.

【答案】0(答案不唯一)1

「,1,x<0

【解析】若。=0时，/(%)={/M-，・・・/(X)min=0；

(x-2f,x>0

若〃<0时，当时，/(幻=-如+1单调递增，当XfYO时，/(x)f一8,故/(X)没有最

小值，不符合题目要求；

若〃>0时，

当时，f(x)=-ax+\单调递减，/(x)>f(a)=-a2+\,

,0(0<a<2)

当x>a时，fM={2.

min(«-2)(a>2)

**«—a2+120或-。2+12(”2)2,

解得0<aWl,

综上nJW0<a<1；

故答案为：0(答案不唯一)，1

【方法技巧与总结】

1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段

的解析式求值，当出现/(/(a))的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变

量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，

切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析

式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响).

3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x

进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，

数形结合，利用图象的特点解不等式.

4、分段函数零点的求解与判断方法：

(1)直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数

范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；

(3)数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，

然后数形结合求解.

5、动态二次函数中静态的值：

解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图

象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题.

6、动态二次函数零点个数和分布问题：

通常转化为相应二次函数的图象与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通

过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑.

7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：

（1）对称轴变动，区间固定；

（2）对称轴固定，区间变动；

（3）对称轴变动，区间也变动.

这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外.讨论的目的是确定对称轴和

区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值.

8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助

导函数的图象来研究原函数的图象.如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导

函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数

的图象并研究原函数的零点…

具体来说，对于三次函数/卜）=江+而+cx+d（a>0），其导函数为

//（x）=3ox2+2bx+c（a>0）>根的判别式△=4（/r!-3ac）♦

a>0

判

别A>0A=0A<0

式

/'(x)=3ax~+2fct+c

O\x……T

单增区间：七）,增区间：

32

f(x)=ax+bx+ex+d增区间：（一00,+8）

调（入2，+00）；(-<»,+00)

(1)当AWO时，/'(x)》O恒成立，三次函数/")在R上为增函数，没有极值点,

有且只有一个零点；

(2)当△》()时，/'(X)=O有两根X],x2＞不妨设王＜》2，则%+%2=—"，可得

3a

三次函数/(X)在(7O,xJ，(x2,+00)上为增函数，在(阳，*2)上为减函数，则须，X2分

别为三次函数/卜)=63+加2+5+1的两个不相等的极值点，那么：

①若/(再＞/(々)＞0,则“X)有且只有1个零点；

②若—/仁)＜。，则“X)有3个零点；

③若/(%”伍)=0,则“力有2个零点•

特别地，若三次函数〃x)="3+bx2+cx+d(a＞0)存在极值点X。，且

f(x0)=O,则〃x)地解析式为/(x)=a(x-%)2(x_m＞

同理，对于三次函数/(同=以3+以2+次+1(。＜0)，其性质也可类比得到.

9、由于三次函数〃x)=ox3+cx+d(a*0)的导函数/'(x)=3ad+2bx+c为

二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象

对称中心应当为点,此结论可以由对称性的定义加以证明.事实上，该

图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点.

10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同.导数的几何意义

就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在''与"过''的

不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出

参数即可.

11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，

常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值.

13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求

解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知

条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的

范围.

14、两类零点问题的不同处理方法

利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间口，上是连续不断的曲线，且

①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明了（G./lZOvO.

②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零

点存在性定理，在每个单调区间内取值证明

15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧

（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋

势等.

（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置.

（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展

现.

16、已知函数零点个数求参数的常用方法

（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，

根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的

个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

【核心考点】

核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型

【典型例题】

例1.(2023•浙江奉化•高二期末)若函数/1)=£■二竺士竺巫至少存在一个零点，则加

X

的取值范围为()

(11「21\(n「1)

A.I-oo,e2+-B.e-+-,+00IC.I-oo,e+-D.e+-,+ooI

【答案】A

【解析】

因为函数/(x)=*=2e/+〃一-Inx至少存在一个零点

X

所以士"*二皿=0有解

X

艮|Jm=-x2+2ex+有解

x

令/?(x)=-%2+2ex+,

贝lj//(x)=-2x+2e+1

山、(rc1-lnxYc-3x+2xlnx-3x-2x4+2xInx-3x-2x(x3-Inx)

/?〃(x)=-2x+2e+——=-2+----------=---------------=---------------^因

IX)XXX

为x〉0,且由图象可知》3>inx,所以〃〃(x)<o

所以l(x)在(0,+e)上单调递减,令“(X)=0得x=。

当0<x<e时、(x)>0,〃(x)单调递增

当时〃(x)<0,人⑴单调递减

所以Mx)max=〃(e)=e2+1

且当X->+CO时J?(X)->~8

所以机的取值范围为函数“X)的值域，即18,/+：

故选：A

例2.(2023•天津•耀华中学高二期中)设函数〃x)=x3_2ex2+mx-lnx,记g(x)=&l,

若函数g(x)至少存在一个零点，则实数用的取值范围是

A.^-oo,e2+i1B.(0©+：

C.(e?+(,+<»)D.^-e2-^,e2+1

【答案】A

【解析】

函数g(x)定义域是(0,+8),g(x)=x2-2ex+m--,g'(x)=2x-2e」,设

XX

A(x)=2x-2e-4+华，则〃(x)=2+W+上3吧=宜土华町，设q(x)=2x3+3-21nx,

厂XX3X3X3

则q'(x)=6x2--=6"-2，如)=0nX=击，

xx73

121

易知夕极小值(%)=q(市)=7+3-2111-,=>0,即夕(x)>0也即〃易)>0在(0,+8)上恒成立,所

yjj3v3

以4(x)在(0,+8)上单调递增，又=0,因此e是，(X)的唯一零点，当0cx<e时，h(x)<0,

当x>e时，/?(x)>0,所以g(x)在(0,e)上递减,在(e,+8)上递增,g极小晨x)=g®,函数g(x)

至少有一个零点，则g(e)=/-2e?+,"-,40,m<e2+-.故选A.

ee

考点：函数的零点，用导数研究函数的性质.

例3.(2023・湖南•长沙一中高三月考(文))设函数/(x)=x2-2x-三+。(其中e为自然对

数的底数)，若函数/(X)至少存在一个零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,1H—]B.(0,eH■一]C.[e-l—,+℃)D.(—℃,1H—]

eeee

【答案】D

【解析】

依题意得，函数/(x)至少存在一个零点，口/")=--2%-三+*

e

Y

可构造函数-2%和y=-',

e

因为》=一一2%，开口向上，对称轴为工=1,所以(—J)为单调递减，(1,+00)为单调递增;

而夕=-三，则歹=土二，由于，>0,所以(-8,1)为单调递减，(1,+8)为单调递增；

ee

可知函数y=/-2x及y=-?•均在x=1处取最小值，所以/(x)在x=1处取最小值，

又因为函数/(X)至少存在一个零点，只需〃1)40即可，即：/(l)=l-2-i+a<0

e

解得：a<i-\—.

e

故选：D

核心考点二：函数嵌套问题

【典型例题】

例4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数设关于x的方程

/2(x)-W(x)=3(weR)有"个不同的实数解，则〃的所有可能的值为

e

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【解析】

r(x)=(x-D(x+2)e1J(x)在(-8,-2)和(1,+«0上单增，(一2,1)上单减，又当xf-oo时,

/(x)f0,Xf+8时，/(X)f+8故/(x)的图象大致为：

令/(X)=f，则方程产-3-3=0必有两个根，:出且的=-£，不仿设4<0<4，当4=-e

ee

时,恰有t2=5e/，此时/(x)=(，有1个根，/(x)=q,有2个根，当乙<-e时必有0<G<5e<,

此时〃x)=G无根，/口卜与有3个根，当-e“<0时必有“5"2,此时有2个

根，f(x)=t2,有1个根，综上，对任意meE,方程均有3个根，故选A.

/、।I1/\—X4~1.X0

例5.(2023・全国•高三专题练习(文))已知函数/(》)=泌-5，g(x)=2若

(x-l)lnx,x>0

关于X的方程g(/(x))-〃?=o有四个不同的解，则实数"7的取值集合为()

【答案】A

【解析】

设f=/(x)，则g(f)-M=0有四个不同的解,

因为/(-X)=”"-g=泌-；=/(X),

所以f=/(x)为偶函数，旦当x>o时，〃x)=e=；为增函数,

所以当xVO时，f=/(x)为减函数，

所以襦=/(°)=e°-；=；,即年;，

当x>0时，g(x)=(x-l)lnx,

则g'(x)=lnx+—(x-1)=Inx--+1,

xx

令g'(x)=O,解得x=l,

所以当xe(O,l)时，g'(x)<0,g(x)为减函数,

当xw(l,+oo)时，g'(x)>0,g(x)为增函数,

“⑴1In2

又g|-1=—In—=---,

uj222

作出x>0时g(x)的图象，如图所示：

所以当me(0,殍)时，_y=g(f),fw；的图象与夕="图象有2个交点，且设为4山，

此时y与y=，2分别与y=〃x)有2个交点，即g(f(x))-m=O有四个不同的解，满足题

意.

综上实数机的取值范围为(0,殍]

故选：A

例6.(2023・河南•高三月考(文))已知函数/(x)=F，若关于x的方程

Inx

[/。)了+4(》)+。-1=0有且仅有三个不同的实数解，则实数。的取值范围是()

A.(-2e,l-e)B.(l-e,0)C.(-co,l-e)D.(1-e,2e)

【答案】C

【解析】

因为/(x)=4,所以''(乂)=卷一9,

''Inx(Inx)

当f'(x)<0：当xe(e,+oo),f(x)>0,

所以/(x)在(0,1)和(l,e)单调递减，在(e,4w)单调递增，

且当x30时，/(x)f0,/(e)=e,

故/(x)的大致图象如图所示：

关于x的方程[/(xV+4g+a-』。等价于卜(x)+l][/(x)+a-l]=0,

即/(x)=-l或/(x)=l-“,

由图知，方程/(力=-1有且仅有一解，则/(x)=l-。有两解,

所以l-a>e,解得a<l-e,

故选:C.

核心考点三：函数整数解问题

【典型例题】

例7.(2023•福建宁德•高三)当x>l时，(4"l-lnx)x<lnx-x+3恒成立，则整数上的最

大值为()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【解析】

因为当x>l时，(4R-l-lnx)x<lnx-x+3恒成立，

可得/<,(皿+Inx+3)在(1,+8)上恒成立，

4xx

不妨设g(x)=叱+lnx+3,x>l,可得g'(》)='2,

xxx

令9(x)=x-lnx-2,可得叫力=1_'=±1>0,所以夕⑺在(1,+8)上单调递增,

XX

因为9⑴=-1<0皿4)>0,所以9(力=0在(1,+8)上仅有一个实数根,设为X。,

所以当xcQ/o)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当XE(Xo，+8)时，g\x)>0,g(X)单调递增，

所以g(x)min=g(Xo)=皿+成0+二，

因为g'(3)=匕黑<0,g'(4)=匕署<0,所以x.e(3,4),且x0-2+』=0,

99%

3x—21

将In%=x0-2代入可得g(x)1nm=g(毛)=%-2+—+」一=毛H----1,%e(3,4),

玉)玉)玉)

1713

因为1=%+不-1在(3,4)上单调递增，所以reg,7),

1713

所以:g(x)K五春)，因为左为整数,所以440.

故选：c.

例8.（2023•江苏•苏州大学附属中学高三月考）已知aeZ,关于x的一元二次不等式

x2-6x+a«0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）

A.13B.21C.26D.30

【答案】B

【解析】

设其图象是开口向上，对称轴为x=3的抛物线，如图所示,

若关于x的•元二次不等式f-6x+a<0的解集中有且仅有3个整数,

/⑵4°即4—12+〃40

则/(1)>0)即1-6+.>。'解得5<八8,

又因为aeZ,所以。=6,7,8,故所有符合条件的。的值之和是21.

例9.（2023•江苏宿迁•高一月考）用符号团表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分）,

如[-1.2]=-2,[0.2]=0,设函数/(x)=(1-Inx)(lux-ax)有三个不同的零点为,

X2，X3，若[X1]+[X2]+[X3]=6,则实数4的取值范围是（)

0,1In3\_In2In2In3

A.B.~9eC.D.~9~

【答案】B

【解析】

设X)<X,<x3,

由〃x)=0,得l-lnx=0或lnx-G=0,

解得』或叱二a,

X

令g(x)=，，g，(x)=I”',令g<x)=O,解得x=e.

所以xw(O,e),g,(x)>0,g(x)为增函数，

xe(e,+8),g'(x)<0,g(x)为减函数.

g(x)M=g(e)=)

又因为g(l)=o,当x-»+8时，g(x)-O,x.o时，g(x)->-8,

作出g(x)的图象：

由g(x)的图象可知：l＜X|＜e,x2=e,xy＞e,

由［占［+匡］+［玉］=6,民］=2,得［xj+［xj=4.

又因为g(2)=g(4),

若1＜再＜2,贝1J%＞4,［xj+［x3］25,舍去.

若24X］＜e,则0＜七44,卜［+卜］=4或5或6.

要使%］+［七］=4,则《＜当＜3,所以竽

故选：B

核心考点四：唯一零点求值问题

【典型例题】

例10.(2023•安徽蚌埠•模拟预测(理))已知函数/(x)=x2-ln(l+x)-ln(a-x)有唯一零点,

贝ija=()

A.0B.--C.1D.2

2

【答案】C

【解析】

函数〃X)的定义域为(-1M),则”>-1,r(x)=2x--二—--,

x+1x-a

则/”(力=2+厂备+厂->0,

(X4-1)(x-a)

所以，函数/''(X)在(T,a)上为增函数，

当X—'时，/”(x)->-8,当x—-时，/'(X)—>+°0,

则存在x()e(-l,a),使得/'(Xo)=2xo—二----=0,则」一=—^-2%,

XQ+1XQ—aCl—XQXQ+1

当时，//(x)<0,此时函数“X)单调递减，

当Xo<x<a时，此时函数/(x)单调递增，

"(x)ms=/(%)=片-岬+%)-111("%),

由于函数/")=X2-历(1+工)-111("》)有唯一零点，

则/(x)min=/(Xo)=x：Tn(l+Xo)-ln("Xo)=O,

-----=------2x°>0/T_1

由｛a-/x0+l,解得

JfI

所以，x；Tn(l+x())+ln-----=-ln(l+x0)+ln------2x0=x；+ln

"/1%+1)%+1

令Q(x)=%2+ln--y,其中_]<X<3―>

(x+1)X+1J2

/、(x+1)22(x+2)—2丫+2(X+2)4X44-8x3+2x2+4

d(x)=2x+-\—2-』—

')1-2X2-2X(x+1)3(2x2+2x-l)(x+1)(2x2+2x-l)(x+l)

4x2(X+1)2+2(2-X2)

(2x~+2x-1)(x+1)

/7_i

v-l<x<^—,则2X2+2X-1<0，X+1>0,2-f>0，则夕'(x)<0,

所以，函数夕(x)在T,与^上单调递减，且以0)=0,.”。=0,

从而可得工=1,解得。=】.

a

故选：C.

例11.(2023•辽宁沈阳•模拟预测)已知函数g(x),"x)分别是定义在/?上的偶函数和奇函数,

且g(x)+〃(x)=e，+x,若函数/(力=2'-"+抵(》-1)-6乃有唯一零点,则正实数几的值为

()

A.vB.-C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

由已知条件可知卜富丁!；)=：+：

由函数奇偶性易知g(x)=c：F

(x)=2W+Ag(x)-622,“(X)为偶函数.

当xNO时，'(x)=27»2+2g，■>0,

W(x)单调递增，当x<0时，*(X)单调递减，“(X)仅有一个极小值点0J(x)

(/(x)图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，

则函数只有1一个零点，即/(1)=0,

解得义=；，

故选：A

例12.(2023•新疆•莎车县第一中学高三期中)己知函数g(x),〃(x)分别是定义在R上的偶

函数和奇函数，且g(X)+/7(X)="+sinX-X,若函数/(X)=3『2°2。1_Xg(X_2020)-2万有唯

一零点，则实数2的值为

A.-1或gB.1或一；C.-1或2D.-2或1

【答案】A

【解析】

解：己知g(x)+"(x)=e*+sinx-x,①

且g(x)，6(x)分别是R上的偶函数和奇函数，

则g(_x)+/z(—x)=eT+sin(-x)+x,

得：g(x)-/?(x)=e-*-sinx+x,②

①+②得：g(x)=—，

由于|x-2020|关于X=2020对称，

则3k-2020|关于x=2020对称，

g(x)为偶函数，关于y轴对称，

贝ljg(x-2020)关于x=2020对称，

由于/(%)=3口网-Zg(x-2020)-2把有唯一零点，

则必有"2020)=0,g(O)=l,

即:/(2020)=30-2g(0)-222=1-2-222=0,

解得：2=-1或］

故选：A.

核心考点五：等高线问题

【典型例题】

例13.(2023・陕西・千阳县中学模拟预测(理))已知函数/(%)=现2卜-1||,若方程

〃x)=a(a>0)的4个不同实根从小到大依次为演，x”七，x4,有以下三个结论：①

1111XX

士+匕=2且+x?=2：②当。=1时，一+—=1且一■!---=1：③」+—L=0.其中正确的

X|x2x3x4x3x4

结论个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由题绘制函数〃X)=|log2|x-1||如图所示，

可知函数/（X）的图象关于直线X=1对称，

又X1<X2<X3<X4,可得X1+X4=2且々+X3=2,

故结论①正确，

当a=l时，i|log2|x-l||=l解得log?|x-”=±l,

即|x-l|=2或解得玉=-1,Z=g,x3=-1,x4=3,

此时一+—=1和一+—=1均成立，

%x2X3X4

故结论②正确，

由图可知再<0<工2<1<刍<2<工4，

则由/（占）=/（%）得Tog2（七一1）=log2（%T），

解得（X3-1）（X4-1）=1，B|J—+—=1,

X3X4

11I

同理用得一+—=1,

石x2

由①有土土土=2,三土%=2,

x4x4x3x3

贝Ij2p-+口=Z+Z=红出+土乂=三+土+2=2,

x

(巧4)X3x4x,x4x}x4

解得%+五=0,

则结论③正确.

故选：D.

例14.(2023•江苏省天一中学高三月考)已知函数”X)=(X2-2X)/,若方程/(x)=a有3

个不同的实根%，%，与(为<%<与),则•的取值范围为()

X?一幺

A.—0)B.-%缶C.(3-0,0)D.卜缶‘缶")

【答案】A

【解析】f(x)=(x2-2)ex,当x<-/或x>0时，/'(x)>。，-0<x<0时，f'(x)<0,

所以/(x)在(-oo,-V2)和(72,+oo)上都递增，在(-72,72)上递减，

“X)武曲=