人教版七年级数学下册知识点考点大全讲义教案

人教版七年级数学下册知识点精讲

考点突破讲义教案

目录

第五章相交线与平行线...................................................................1

5.1.1相交线.........................................................................1

5.1.2垂线...........................................................................3

5.1.3同位角、内错角、同旁内角......................................................7

5.2.1平行线.........................................................................9

5.2.2平行线的判定.................................................................11

5.3.1平行线的性质.................................................................13

5.3.2命题、定.理、证明............................................................15

5.4平移.............................................................................17

第六章实数............................................................................20

6.1.1平方根（一）.................................................................20

6.1.2平方根（二）.................................................................21

6.1.3平方根（三）.................................................................22

6.2立方根..........................................................................24

6.3实数............................................................................25

第七章平面直角坐标系..................................................................29

7.1.2平面直角坐标系................................................................29

7.1.1有序数对.......................................................................32

7.2.1用坐标表示地理位置...........................................................35

7.2.2用坐标表示平移...............................................................36

第八章二元一次方程组..................................................................38

8.1二元一次方程组..................................................................38

8.2.1消元——解二元一次方程组.....................................................39

8.3实际问题与二元一次方程组.......................................................41

8.4三元一次方程组的解法............................................................42

第九章不等式与不等式组................................................................45

9.1.1不等式及其解集...............................................................45

9.1.2不等式的性质.................................................................46

9.2.1一元一次不等式（一）.........................................................48

9.2.2一元一次不等式（二）.........................................................49

9.3一元一次不等式组................................................................50

第五章相交线与平行线

5.1.1相交线

知识点2：邻补角

1.定义:两条直线相交所得的四个角中，有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角是邻

补角.如图，Z1和/2有一条公共边QA,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角，称互

为邻补角.

2.性质：如果和/2是一对邻补角，那么Nl+N2=180°.

注意：(1)判定两个角是否为邻补角，关键是看这两个角的两边是否满足“其中一边是公共边,

另一边互为反向延长线”的条件.

(2)邻补角.是,成对的,包含了两层含义:①是位置关系:相邻;②是数量关系:两角之和等于

180°.

(3)邻补角也可以看作是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角.

(4)注意邻补角和补角的区另I」:邻补角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角.因为邻补角

既相邻又互补，但互补的两个角不管其位置如何,只要它们的和为180°就是一对互补的角.

知识点3：对顶角

1-定义:两个角，如果它们有一个公共的顶点,并且角的两边互为反向延长线,那么它们就互

为对顶角.如图，N1和N3,Z2和N4互为对顶角.

I

2

13

/4

b/

2.性质:对顶角相等.

注意：(1)判断两角是否为对顶角，要抓住它的特征:①有公共顶点;②两个角的两边互为反向延.

长线.

(2)对顶角是成对出现的，单独一个角不能构成对顶角..

(3)互.为对顶角的两个角相等,但相等的两个角不一定是对顶角.

电声点全面突破

考点1：利用对顶角、邻补角建立起角度之间的联系

【例1】如图，直线AB,CD,EF相交于点0,ZA0E=30°,ZB0C=2ZA0C,求/DOF的度数.

解：设NAOC=x°,则NB0C=2x。.

由邻补角的定义得2x+x=180.

解之,得x=60.?.ZA0C=60".

ZE0C=Z.A0C-ZA0E=60o-30°=30°.

AZD0F=ZE0C=30°.

点拨：NEOC与NDOF互为对顶角，因此要求NDOF的度数只需求出NEOC的度数.由己知NB0C=2

ZAOC且NBOC与NAOC互为邻补角，从而可求出NBOC和NAOC的度数,再由NEOC的度数等于/AOC

和/AOE的度数之差,且NAOE的度数已知,不难求出/EOC的度数.

考点2:角度计算问题常见解题思路

[例2]如图,直线AB,CD相交于点0,0E平分NBOD,0F平分NCOE,ZA0D：.ZB0E=4：1,求N

AOF的度数.

2

D

E

解:方法一：由已知可设NA0D=4x°,NBOE=x°.YOE平分NBOD,...NB0D=2NB0E=2x°

AOD+ZBOD=180°,，4x+2x=180,解得x=30,NB0E=30°，/A0D=120°,NC0E=150°.；0F平分

ZCOE,.\ZEOF=ZCOE=75°,AZB0F=ZE0F-ZB0E=45",AZA0F=180°-/B0F=.135°.

方法二：YOE平分NBOD,.ENDOENBOE.YNAOD:ZB0E=4：1,.•.设/A0D=4x,则NBOE=N

DOE=x.•.•点0在直线AB上，...ZAOD+NBOD=180°,.•.4x+x+x=180°,解得x=30°.ND0E=30°,N

B0D=60°,.,.ZC0E=1800-NDOE=15O°,NA0C=/B0D=60".=OF平分NCOE,.DNCOF=NCOE=75°,

AZA0F=ZA0C+ZC0F=60o+75°=135°.

点拨：由于NAOF=NAOC+NCOF,因此求NAOF的度数可以转化为求NAOC的度数和NCOF的度数.由

于NAOC=NBOD,ZCOF=ZCOE,因此求出NBOD的度数和NCOE的度数是解题的关键.

5.1.2垂线

知识点1：垂直的定义

1.垂直:直线.a,b相交于点0（如图），当有一个夹角为90°时,称直线a,b互相垂直，记作al_b

或b±a.在-图中我们用，作为表示两条直线互相垂直的标识,它们相交的交点0叫做垂足.日常生活

中，如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.

b

2.垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.

如图,过直线1外一点P,作P0,直线1,垂足为0,则线段0P叫做点P到直线1的垂线段.

3

p

o1

知识点2：垂线的画法

1.垂线的画法:过一点画已知直线的垂线，这是我们必须掌握的基本作图之一.那么如何才能

画出呢?具体地说来,可以有下面的三种方法：

（1）利用三角板；（2）利用量角器；（3）利用直尺和圆规.

运用（1）或（2）两种工具作图时可以按下面的步骤操作：

①一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线（或是将量角器的0°线与已知直线重合）；

②二过:使三角板的另一直角边经过已知点（或是使量角器的90°线经过这一点）；

③三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线（或者是沿量角器90°线所在直线画出）.

如图所画的PQ就是直线AB的垂线.

2.点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度，叫做点到直线的距离,在上图

中,PQ的长度就是点P到直线AB的距离.

注意：（1）垂线、垂线段的垂足.都要作垂直符号；（2）垂线段和表示距离的线段要画出端点，而垂

线则可向两方延伸；（3）作线段（射线）的垂线时,如果垂足在其延长线（反向延长线）上,则应将其延长

（或反向延长），并且用虚线表示.

知识点3：垂线的性质

性质（1）:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可

以在直线上，也可以在直线外；“有”表,示存在，“只有”则表示唯一，意思是说，肯定有一,条并且不

能多于一条.

性质（2）:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.

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，考点全面突破

考点1:利用垂直定义求角度的大小

【例1】如图所示,直线AB与CD相交于点0,0EXAB于点0,ZE0D:ZB0D=3：1,求/COE的

度数.

解:V0E1AB,AZEOB=ZA0E=90°.

VZE0D:ZD0B=3：1,.

11

.•.ZB0D=4ZE0B=4X90O=22..5°.

又：ZA0C=ZB0D=22.5°,ZC0E=ZA0C+ZA0E,

AZC0E=2,2.5°+90°=112.5°.

点拨:垂直是两条直线的位置关系,而90°是一个角的大小,垂直定义建立起两直线垂直与90°

的角之间的联系.由于/C0E=NA0C+/A0E,ZA0E=90°,因此只需求出/AOC即可，又因为/AOC=/

BOD,故将求/A0C的度数转化成求/BOD的度数，又由于/EOD:ZB0D=3：1,ZE0D+ZB0D=90°,从

而可求出NB0D的度数.

考点2:垂线段与点到直线的距离的应用

【例2】点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P

到直线m的距离（）

A.为4cmB.为2cmC.小于2cmD.不大于2cm

答案:D

点拨：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长,度,虽然垂线段最短,但是在PA,PB,PC

中并没有说明PC是垂线段，所以垂线段的长可能小于2cm,也可能等于2cm.

考点3:垂线段与点到直线的距离的应用

【例3】如图,”点A表示小明家,点B表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去

河边钓鱼,怎样走路最短?请画出行走路线.

5

B•

解:如图，连接AB,作BM垂直河边于点M.

折线A-B-M即为所求.

点拨：从点A到点B的最短路线是线段AB,理由是“两点之间,线段最短"；从点B到河边的最短路

线是点B到河边的垂线段,理由是“垂线段最短”.

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5.1.3同位角、内错角、同旁内角

识点精讲

知识点1：同位角

两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中，若两个角都在两条直线的同一方,又在第三条直

线的.同侧,则这样的两个角是同位角，如图中的N1和/2就是同位角.描出N1和N2的两条边,可以

发现描出的图形好像是大写字母F.

由图可以观察出：Z1和N2各有一条边在同一条直线上,这条直线就是第三条直线，Z1和N2

的.另一条边分别在另外两条直线上.

知识点2:内错角

两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,若两个角夹在两条直线之间，又在第三条直线的

两侧，则这样的两个角是内错角，如图中的N1和/2就是内错角.

描出/I和/2的两条边,可以发现描出的图形好像是大写字母Z.

知识点3:同旁内角

两条直线被第三条直线所截”得到的八个角中，若两个角都在两.条直线之间，又在第三条直线的

同旁,则这样的两个角是同旁内角，如图中的N1和N2就是同旁内角.

.描出/I和N2的两条边，可以发现描出的.图形构成任意旋转的“U”形.

7

注意：为了便于记忆，同学们还可仿照图中用双手表示“三线八角”（两大拇指所在直线代表被

截直线,食指所在直线，代表截线）.

同位角“F”内错角“Z”同旁内角“U”

突破

考点1：从复杂的图形中分离出同位角、内错角、同旁内角

【例1】如图所示，Z1和NE,N2和N3,N3和NE各是什么位置关系的角?它们分别是哪两

条直线被哪一条直线所截得到的？

解：N1和NE是直线AD,EC被直线BE所截得到的同位角,./2和/3是直线AD,EC被直线AC所

截得到的内错角，Z3和/E是直线AC,AE被直线EC所截得到的.同旁内角.

考点2:确定图形中已知角的同位角、内错角、同旁内角

【例2】如图，试找出图中/I的所有同位角.

解：/1的同位角有/GDC,ZGEB,ZEBH,ZDCH.

点拨：当把直线AG看作第三条直线时，只需再找一条与AG相交的直线（如直线DC）构成“三线八角”

基本图形,得到N1的同位角（如/GDC）;照此方法可使问题得解.

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5.2.1平行线

识点精讲

知识1：平行线

1.平行的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.如图,AB与CD平行,记作AB〃CD,

读作AB平行于CD.

R

生活中平行线的形象是很常见的.比如，两平行的铁轨、黑板平面相对,的两边、数学本子中平行

的格子线、立方体相对的棱长……

平行线的.定义包含三层意思：（1）“在同一平面内”是定义的前提条件，是区别于空间内两条不

相交的直线；（2）“不相交的两条直线”是平行线的特征；（3）通常所说的线段、射线平行，实际上是指

它们所在的直线平行.

2.两直线的位置关系

同一平面内两条直线只有两种位置关系:平行或者相交.

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来判断：（1）有且只有一个

公共点，则两直线相交；（2）无公共点，则两直线平行；（3）有两.个或两个以上公共点,则两直线重合（因

为两点确定一条.直线）.

注意：理解平行线的定义要注意两点：（1）在同一平面内；（2）不相交.特别要注意:互相平行的两

条直线没有公共点，但没有公共点的.两.条直线不一定平行;通常所说的线段与线段平行、射线与射线

平行指的是它们所在的直线平行.

知识点2:平行公理及其推论

.1.平行公理：经过直线外一点，有且只有.一条直线与已知直线平行..

注意把握“有且只有”的含义，它包含两层含义：“有”一一“存在性”即存在一条与已知直线

平行的直线；“只有”一一“唯一性”即与己知直线平行的直线是唯一的.

2.推论（平行线的传递性）

如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

9

即：如果a//b,c//b,那么a/7c.

知识点3:平行线的画法

平行线的画法是几何画图的基本技能之一,方法为:一“落”（三角板的一边落在已知直线上）;

二“靠”（用直尺紧靠在三角板的另一边）；三“移”（沿直尺移动三角板,直到落在已知直线上的三角

板的一边经过已知点）；四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）.如图.

3________________

落声点全面突破

考点1：相交与平行的综合应用

【例1】在同一平面内有三条直线,它们之间的位置,关系共有几种情形?试画图说明.

解:共有4种情形,如图所示.

点拨：由平行线的概念可知,在同一平面内，不相交的两条直线是平行线,也就是说:在同一平面

内，两条直线的位置关系有两种:平行和相交.

考点2:利用定义和公理的推论证明平行

【例2】已知直线a〃b,b//c,c//d,则a与d的位置关系是什么?请说明理由..

解：2〃&理由：・・飞〃11）〃6・・・8〃a・・飞〃（1,・・・3〃&

点拨：由a〃b,b〃c,可知直线a、c都平行于直线b,根据平行于同一直线的两条直线互相平行可知

a〃c;又由c〃d,可得a〃&

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5.2.2平行线的判定

识点精讲

知识点L:同位角相等,两直线平行

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说,同位角相等,两

直线平行.

注意：（1）“同位角相等一两直线平行”，这个顺序不能乱；

（2）“同位角相等，两直.线平行”通过两个角的相等推导出两直线的位置关系（平行），建立起角

度大小关系与两直线位置关系之间的.联系.

知识点2:内错角相等,两直线平行

.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单地说：内错角相等,两

直线平行.

知识点3:同旁内角互补,两直线平行

.两条直线被第三条直线,所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单地说:同旁内角互

补,两直线平行.

落声点全面突破（

考点1：道路拐弯中的角度问题

【例11一学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的

角度可能是（）

A.先向左拐30°,再向右拐30°B.先向右拐50°,再向.左拐30°

C.先向左拐50°,再向右拐130°D.先向右拐50°,再向左拐130°

答案:A

点拨：逐一画图分析，如分析选项A,如图,学员沿D-C驾驶汽车，先向左拐30°，即/

1=30°，至C-A行驶，然后向右拐30°,即N2=30°,因为Nl=/2,且/I与N2是同位角，所以

DC〃AB,且A-B与D-C方向相同.故A正确，同理可分析B、C、D均不正确.

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考点2:平行线判定的综.合应用

【例2】如图，已知直线a、b、c、d、e,.且/1=N2,N3+N4=180°,则a与c平行吗?请说明

理由.

解:平行.

理由：•••N1=N2（已知），.•.a〃b（内错角相等,两直线平行）,

••,Z3+Z4=180°（已知），；.b〃c（同旁内角互补，两直线平行）.

.*.a/7c.

点拨：由N1=N2可得a〃b，由N3+N4=180°可得b〃c，所以a〃c.

考点3:角平分线与平行的综合应用

【例3】如图所示，已知BE平分/ABC,CF平分/BCD,/1=/2,那么直线AB与CD的位置关系

如何?并说明理由.

解：AB〃CD..理由：；BE平分NABC,；CF平分/BCD,NBCD=2N2.：/1=N2,

ZABC-ZBCD,AABCD.

点拨：根据两条角平分线及N1=N2可推得NABC=NBCD,它们是直线AB、CD被BC所截而得的

内错角，所以AB〃CD.

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5.3.1平行线的性质

识点精讲

知识点L:平行线的性质1

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

知识点2:平行线的性质2

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

知识点3:平行线的性质3

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

注意：（D同位角相等、内错.角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论,所以它们成

立的前提是“两直线平行”.

（2）要注.意正确区分平行线的性质与判定，由角的数量关系得到两条直线平行,是平行线的判定;

由两.条直线平.行得到角的.数量关系.，是平行线的性质.

（3）要特别注意没有.两条直线平行这个条件,同位角和内错角不相等，同旁内角也不互补.

面突破

考点1：探索平行线中的拐角

【例1」如图,AB〃DE,则/BCD、NB、ND之间的数量关系如何，为什么?

W：ZBCD=ZB-ZD.

理由：如图，过点C作CF〃AB.

：CF〃AB,...NB=NBCF（两直线平行，内错角相等）.

：AB〃DE,，CF〃DE,

；./DCF=ND（两直线平行，内错角相等）,

ZB-ZD=ZBCF-ZDCF.

ZBCD=ZBCF-ZDCK,/.ZBCD=ZB-ZD.

点拨:作辅助线构造内错角是解决此题的关键.

提升点2:平行线性质的应用

［例2］如图，已知ZABC=120°,1<±AfB,求.Nat的度数.

l\ll

解答:如图，过点B作L.

•••1」AB（已知），...（两直线平行，同位角相等）.

/.Zy=90°（垂直的定义）.

ZABC=120°（己知），,Z0=120°-90°=30°..

又13〃1,1|〃1式已知），，［3〃b（平行公理推论）.

.../a=/9=30°（两直线平行，同位角相等）.

点拨:平行线有一个非常重要的作用，就是角的传递,在本题中虽然知道L〃L,但却与NABC无

法建立联系，因此我们可以过点B作一条与L平行的直线L,根据“平行于同一条直线的两条直线平

行”的性质可得到L〃h,进而可以建立起/ABC与Na的联系.

注意：本题辅助线的作法还可以叙述为:过点B作h_LAB.适当添加辅助线是解数学题的重要手段.

这里过直线外一点作已知直线的平行线,是常用的辅助线之一.辅助线在解题过程中起铺路架桥的作

用，有化难为易之功效,是解数学图形题常用的技巧.作辅助线要注意作法的叙述,辅助线要画成虚线

532命题、定理、证明

识点精讲

知识点1：命题

判断一件事情的语句，叫命题.它必须对某件事情作出判断,要么肯定，要么否定,而像“你回家

了吗”“画AB〃CD”等等就不提命题.

知识点2：命题的组成

命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知,事项,结,论是由已知事项推出的事项.它通常可

以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接.的是结论.如果一个

命题是正确的,那么它就是真命题,反之就是假命题.

知识点3：定理

经过推理证实而得到的真命题.叫做定理.

注意:理解命题的概念时要一注意两点：

(D命题必须是一个完整的句子；

(2)这个句子必须对某件事情给出明确的判断(如肯定或否定的判断).

知识点4：证明

二个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断这个推理的过程叫做证明.

电声点全面突破

考点1：如果...那么....

【例1】把下列命题改写成“如果……那.么……”的形式.

(1)同位角相等；(2)等角的补角相等.

解：(1)如果两个角是同位角，那么这两个角相等.

(2)如果两个角是相等的角“那么这两个角的补角相等.

考点2:举反例

【例2]请判断命题“若a,b互为相反数，则aWb”是真命题还是假命题?如果是假命题,举

出反例说明.

解:假命题.因为0的相反数是0,而0=0,所以此命题是假命题.

点拨举反例是说明一个命题是假命题常用的方法,所列举的反例满足命题的题设部分,不满足

命题的结论即可.

考点3：利用辅助线进行证明

【例3】如图,AB〃CD.AF、CF分别是/EAB、NECD的角平分线,F是两条角平分线的交点.求

1

证：NF=2/AEC.

解：如图，过点E作EM/7AB,过点F作FN〃AB,

•/AB/7CD,/.EM/7CD.

ZMEA=ZBAE,ZMEC=ZDCE.

ZMEA+ZMEC=ZBAE+ZDCE,即ZAEC=ZBAE+ZDCE.

同理可得NAFC=NBAF+NDCF.

•/AF、CF分别是/EAB、NECD的平分线，

1111

NBAF=2ZBAE,NDCF=2ZDCE.ZAFC=2ZBAE+2Z.DCE.

11

,ZAFC=2ZAEC,即ZF=2ZAEC.

点拨:作辅助线,可以探究：NAEC与NBAE及NDCE之间的关系，结合角的平分线的性质，可以探究出

/F与NAEC之间的关系.

5.4平移

知识点i：平移的概念

一个图形沿.着一定的方向平行移动,叫作平移变换,简称平移.如运动.着的电梯,火车在笔直的

铁轨上飞驰,飞机起飞前在跑道上加速滑行等.

注意:决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.

首先要弄清平移的方向,它可以是上、下、左、右或方位角表示;其次是弄清平移的距离，平移

的距离是新图形与原图形对应点连线的长度.注意：

（1）平移时图形中的所有点的移动方向一致,并且移动的距离相等；

（2）确定图形平移的方向和距离，只需要确定其中一个点平移的方向和距离

知识点2:平移的特征

平移的特征：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）新图形中各点之间的相对位置和原图形的

一致,没有发生改变；（3）新图形的每一点都是由.原图形中的某一点移动后得到的，即这两个点是对

应点,连接各组对应点的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.如图所示,四边形EFGH

是由四边形ABCD平移而得到，线段AE〃BF〃CG〃DH,AE=BF=CG=DH;所有对应线段AB〃EF,DC〃GH,AD

//EH,BC/7GF,AB=EF,DC=GH,AD=EH,BC=GH;所有对应角如/BAD=/FEH.=90°等.

知识点3：平移作图

1.平移作图的根据：图形经过平移后,对应线段平行且相等;对应角相等;连接各组对应点的线

段平行且相等.

2.画新图形所需条件：图形原来的位置、平移的方向、平移的距离，缺一不可.

3.作图的方法、关键和一般步骤:作图多采用“以局部带整体”法.关键是:确定图形各关键点

的对应点.一般步骤为:①分析题目要求,确定平移方向和平移距离;②分析所要作的图形,找关键点,

确定其对应点位置并标出字母;③按照原图.形关键点顺序,顺次连接其对应点;④写出结论.

4.应注意的问题:①图形平移时，每个点都是沿相同的方向移动相同的距离;②平移只是图形的

位置变化,形状和大小都不改变,找出各关键点的对应点;③确定平移中的平行关系和相等关系.

知识点4：平移在生活中的应用

利用平移进行图案设计，以及道路、娱乐场所等有关面积的计算，都体现了平移在实际生活中的

广泛应用.如图中的燕子南飞、奥运五环和高级自动门等生活中很多复杂精美图案的设计,都是用一

些的.简单图案作为基本图案，然后再沿不同方向进行多次平移绘制而成的.

OQP

cc

上考点全面突破

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考点1：利用平移化不规则图形为规则图形

【例1】.如图,在宽为20m,长为30m的长方形花园中，要修建两条同样宽的长方形道路,余

下部分进行绿化.根据图中数据,计算绿化部分的面积为（）

A.600m2B.551m2C.550m2D.500m?

答案：B

点拨：利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质，把两条长方形道路平移,平移到图的位

置,绿化部分转化为长29m,宽19m的长方形,其面积为551m.2.

考点2:利用平移进行计算

【例2】如图，面积为12nl2的RtZkABC沿BC方向平移至aDEF的位置，平移距离是BC长的两

倍,则梯形ACED的面积为.

答案:36m

点拨：点A、B、C的对应点分别为I）、E.、F,所以AD〃BF,AD=BE=CF,且它们的长度都等于平移

的距离.又因为平移距离是BC长的两倍，即BE=2BC,所以BC=CE.梯形ACED与4ABC相比，高相等,梯

形上底CE与下底AD的和是AABC的底BC的3倍,所以梯形ACED的面积=Z\ABC的面积X3=36m2.

第六章实数

6.1.1平方根(一)

知识点:算术平方根

1.定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.

规定:0的算术平方根是0.

2”表示方法:正数a的算术平方根表示为：读作“根号a”.

影声点全面突破

考点：算术平方根的计算

【例】下列说法中正确的是()

A.5是2.5的算术平方根

B.±4是16的算术平方根

C.-6是(-6)2的算术平方根

D.0.01是0.1的算术平方根

答案:A

点拨：由于正数5的平方等于25,所以5是25的算术平方根，由于-4不是正数,所以-4不

是16的算术平方根;,因为(-6):36,62=36,所以6是(-6),的算术平方根;因为0.012=0,0001,所一以

0.01是0.0001,的算术平方根,而不一是0.,1的算术平方根.故选A.

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・提问

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6.1.2平方根（二）

知识点1：算术平方根的估算

求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值,通常有三种方法:一是用计算器；二是查平

方根表;三是估算.前两种方法都要借助其他工具,只有估算法可以随时运用.

例如估算仃的近似值,因为1=1,2=4,所以1〈行〈2;因为1.72=2.89,1.82=3.24,所以1.7〈百

<1.8;因为1.73=2.9929,1.74=3.0276,所以1.73〈百<1.74;因为1.732=2.999824,1.733=3..003

289,所以1.732<V3r<i,733...

如此下去,就可以得到更精确的、尺的近似值,这种求、尺的近似值的方法,,叫做夹逼法.

知识点2:用计算器开平方

大多数计算器都有键,用它可以求出一个正数的算术平方根（或其近似值），应注意的是,不

同品牌的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时,一定要按照说明书进行操作.

电声点全面突破

考点1：算术平方根的估算

【.例1】估计泥+1的值在（.）

A.2到3之间.B.3到4之间

C.4到5之间.D..5到6之间

答案:B

点拨：•.•\&、''&\历，..”〈、后③；.3〈遍.+1<4.故选B.

总结.：如果一个数是另一个整数的平方,那么我们就称,这个数为完全平方数,也叫做平方数.

考点2：用计算器求平方.根

［例2］用计算器计算:X9+19v199X99+199<999X999+1999.请你猜

测第n个式子的结果.

解：由计算器得x9+19=10,\'99X99+199=ioo

<999X999+1999=1000）所以可猜测第n个式子的结果为10".

点拨：这是一道借助计算器探究规律的题目.通过计算器可求得前三个式子的值分别.为

10,102,103,由此可猜测第n个式,子的结果为10".

6.1.3平方根（三）

知识点1：平方根

1.定义:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x、a,那.么这个数X就叫做a的平方根,也叫做a

的二次方根.

2.表示方法:正数a的平方根为土\G.

3.平方根与算术平方根

算术平方根平方根

一般地,如果一个正数x的平方等.于a,一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,

区

定义即x、a,那么这个正数x叫做a的算术那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的

别

平方根二次方根

算术平方根平方根

表示

正数a的算术平方根写成、万正数a的平方根写成土、万

方法

区

个数一个正数的算术平方根.只有一个一.个正数的平方根有两个,它们互为相反数

别

一个非负数的算术平方根一定是非负

性质一个正数的平方根有两个,一正一负

数

平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非

联系

负数才有.负数没有平方根和.算术平方根;零的平方根和算术平方根都是0.

知识点2:算术平方根一的双重非负性

1.被开方数a是非负数：只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.

2.算术平方根本身是非负数,即V02O.

2--------------------

氧考点全面突破

■195——---------------

考点1：算术平方根的非负性

⑶2012

【例1】若X、y为有理数,且满足Ix-3|+Jy+3=O筮|RJ的值是

答案：1

点拨：两个琲负数之和等于零,必定每个数都等于零，由此可求出x和y的值,进而求得答案.；

x-3|+Jy+3=0,.建3。,y+3=0,，x=3,y=-3,所以=(-l)2012=l.

考点2:平方根的性质应用

【例2】已知一个正数的平.方根是3x-2和5x+6,则这个数是.

49

答案:了

17

点拨：由条件得(3x-2)+(5x+6)=0,解之得x=-2,从而3x-2=-2,

7/7\24949

5x+6=2,于是由(一=4知，所求的数为4.

总结：解决此类问题的关键是利用一个正数有两个平方根,它们互为相反数这个特性.

考点3：平方根的计算

【例3】下列各数有没有平方根?如果有，求出它的平方根与算术平方根;如果没有,请说明理由.

(1)25;(2)0.0081;(3)(-7产；(4)-0.36.

解：⑴:25>0,...25有,平方.根.：(±5尸=25,

.*.25的平方根是±5,即±亚±5.25的算术平方根是5,即点=5.

(2)V0.0081>0,.,.0.0081有平方根.：(土.0.09.)M.0081,

.,.0.0081的平方根是±0.09,BP+V'O.OO81=io..09..0.0081的算术平方根是0.09,即

v'O.008l=o.09,

(3)V(-7)2=49>0,.*.(-7)2有平方根.•；(±7)2=49,A(-7)2的平方.根是±7,即土=±7.

(-7)2的算术平方根是7,即乒.7.

(4).：-0.36<0,.36没有平方根.

点拨：25、0.0081、(-7y都是正数,所以它们都有平方根与算术平方根，而-0.36是负数，它没

有平方根.

6.2立方根

知识点1：立方根的认识

1.定义:一般地,如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根或三次方根.

2.表示,方法:数a的立方根表示为VQ,读作“三次根号a”.

3.性质:正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数,0的立方根是0.

4.平方根与立方根

平方根立方根

一个正数有两个平方根,且互为相

一个正数只有一个正的立方根

反数

不

同负数没有平方根负数的立方根还是一个负数

点\年中的被开方数a是非负数,根指

VG中的被开方数a是任意数,根指数3不能省略不写

数2通常省略不写

相

同0的平方根和立方根都是0.

点

知识点2:用计算器求一个数的立方根

用计算器求一个数的立方根的步骤及方法:用计算器求一.个数的立方根和求一个数的平方根的

步骤相同，只是根指数不同.用计算器开立方的顺序是:第一步按〃一键,第二步按数字键,输入被开

方数,第三步按目键.应注意的是:不同品牌的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说

明书操作.

品考点全面突破

考点1:利用立方根求解简单的三次方程

【例1】求下列方程中X的值：⑴x、8;⑵（X+5）3=27..

解：⑴；2*=8,.，=2;

「⑵）；（X+5尸=27,x+5是27的立方根，...x+.5=3,；.x=-2,..

点拨：利用立方根的定义求解即可.

考点2:立方根的实际应用

【例2】将一个体积为0.216的大立方体铝块改铸成8个同样大小的小立方体铝块，求每个

小立方体铝块的表.面积.

解:设每个小立方体铝块的棱长为xm,则8X3=0.216.

/.x3=0.027,：.x=O.3,A6X0.3.2=0.54（m"）.

即每个小立方体铝块的表面积为0.54m2.

点拨：由改铸前后的体积不变,列出关于x的方程解之.

考点3：用计算器求立方.根

【例3】求5的立方根（精确到0.01）.

解：由计算器得勺行心1.709975947,所以V5^1.71.

点拨：根据约束条件，由计算器.得到的数值，再通过“四舍五入”法得出近似值.

6.3实数

a__________

识点精讲

知识点1：无理数

i.定义:无限不循环小数叫做无理数.

2.表现形式：⑴开方开不尽得到的数如：、色、勺弓等；

(2)含有”的式子；

(3)有规律但不循环的无限小数,，如:0.1010010001-;

注意:对于•实数的分类,不能.只看形式,并非所有带根号的数都是无理数,应严格按照有理数和

无理数的定义来判定，如为有理数.

知识点2:实数的概念

(1)定义:有理数和无理数统称实数.例如：-6,V3,v5,0.4,n等都是实数.

(2)实数的分类

总结：(1)实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义一样,如果a表示任意一个实数,那么-a

就是a的相反数,即a与-a互为相反数,例如:、石的相反数是%0的相反数是-初.另外,规定0

的相反数仍然是0；

(2)实数的绝对值的意义与有理数的绝对值的意义一样，一个正实数的绝对值是它本身;一个负

'a(a>0),

，0(a=0),

实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,用字母表示为:对于任意实数a,有|a|=(-a(a<°).

知识点3:实数与数轴

1.对应关系:实数与数轴上的点一一对应.

2.与有理数相同,数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

总结：(1)利用数轴可以比较实数的大小，在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点.表示的

实数大；

(2)正实数大于0,负实数小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数比较大小,绝对值大的反而

小.

知识点4:实数的性质

在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意

义完全一样.

知识点5:实数的运算

(1)实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算，混合运算的顺序是先算乘方、开方，再算乘、除，

最后算加、减，同级运.算按照从左到右的,顺序进行,有括号