专题十七 立体几何解答题-2022届天津市各区高三一模数学试题分类汇编

2022届天津市各区高三年级一模数学分类汇编专题十七立体几何【2021天津卷】如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【2020天津卷】如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【2022和平一模】平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小.【2022部分区一模】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.【2022河东一模】如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E、F分别为AD、SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：平面SBC；（2）若，求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值.【2022红桥一模】如图，正四棱柱中，，点E在上且．（1）证明：平面BED；（2）求异面直线BE与所成角的大小；（3）求二面角的余弦值．【2022河西一模】如图所示，在三棱柱中，侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，点G、M分别是线段AD、BF的中点．

（1）求证：平面BEG；（2）求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；（3）求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．【2022南开一模】如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．

（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．【2022河北一模】如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.【2022天津一中四月考】如图，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小；（3）求直线与平面所成角的余弦值.【十二区县一模】如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，，（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求点到平面的距离．专题十七立体几何（答案及解析）【2021天津卷】如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；（II）求出，由运算即可得解；（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,,,,,,，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，所以,,,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（II）由（1）得，，设直线与平面所成角为，则；（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.【2020天津卷】如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依题意，，，从而，所以；（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.【2022和平一模】平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）﹒【分析】(1)证明AC⊥AB，从而得AC⊥平面ABEF即可；(2)以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，则点到平面的距离为在方向投影的绝对值；(3)根据E、H、F三点共线，表示出H点坐标，根据可求出H坐标，求出平面法向量，利用向量即可求出直线与平面成角的大小﹒【小问1详解】中，，由余弦定理得，，，，平面平面，平面平面＝，平面，平面，.【小问2详解】以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，则，，设平面的法向量为，则，即，取，∴点到平面的距离；【小问3详解】，，，，设点坐标，，∵E、H、F三点共线，∴，，∴，∴，解得，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面成的角为，，∴直线与平面成的角为.【2022部分区一模】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）不存在，理由见解析【分析】（1）先证、，即可由线线垂直证线面垂直；（2）以O点为原点分别以OA､OG､OP所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角；（3）设，，求出，可得，整理得，由，方程无解，即可得不存在这样的点M【小问1详解】证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以.又因为平面，平面，所以.，AD，平面，所以面.【小问2详解】如图，以O点为原点分别以OA､OG､OP所在直线为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，，设平面的法向量为，所以，即，令，则，又平面的法向量，所以.所以平面与平面所成角为.【小问3详解】假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面所成角为，则直线GM与平面法向量所成的夹角为，设，，，，所以，所以，整理得，，方程无解，所以，不存在这样的点M.【2022河东一模】如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E、F分别为AD、SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：平面SBC；（2）若，求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)取中点，连接和，则可证四边形为平行四边形，由此得EF∥AM﹒证明AM⊥SB，AM⊥BC即可证明AM⊥平面SBC，即可证EF⊥平面SBC；(2)以A为原点，AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行转化求解即可．【小问1详解】取中点，连接和，则MF∥BC，且MF＝，∵E是AD中点，ABCD是矩形，∴AE∥BC，且AE＝，∴MF∥AE，且MF＝AE，∴四边形为平行四边形，∴EF∥AM，与底面所成角为，与底面ABCD所成角为，∵SA⊥平面ABCD，SA平面SAB，∴平面SAB⊥平面ABCD，∵AM平面SAB，∴即为与底面ABCD所成角，即，∴为等腰直角三角形，则．平面，BC平面ABCD，，又，SA∩AB＝A，平面，∴BC⊥AM，∵BC∩SB＝B，平面，∴平面；【小问2详解】以A为原点，AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系：若，设，则，连接，取中点，连接、，∵、分别为、的中点，故，∵平面，∴平面，∴，∴∠FEH＝45°，∴，，，∴，2，，，0，，，0，，，则，2，，，2，，，0，，，2，，设平面的法向量为，，，则，则，取，则，0，，设平面的法向量为，，，则，则，取，则，则，1，，则，则平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值为．【2022红桥一模】如图，正四棱柱中，，点E在上且．（1）证明：平面BED；（2）求异面直线BE与所成角的大小；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面BED.（2）利用向量法求得异面直线BE与所成角.（3）利用向量法求得二面角余弦值.【小问1详解】以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．依题设，，，，．，，，．因，，故，，又，所以平面DBE．【小问2详解】，，则，所以异面直线BE与所成角为90°；【小问3详解】设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，．【2022河西一模】如图所示，在三棱柱中，侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，点G、M分别是线段AD、BF的中点．

（1）求证：平面BEG；（2）求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；（3）求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，再由面面垂直有，结合已知、、两两垂直，构建以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，求面的法向量及，判断它们的位置关系，即可证结论.（2）由（1），应用空间向量夹角的坐标表示求DM与平面BEG所成角的正弦值；（3）由是面的一个法向量，结合（1）所得面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．【小问1详解】由四边形是正方形，则，又面面，面面，面，所以面，而面，则，又，所以、、两两垂直.建立以A为原点，以方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，设为面的法向量，则，令，可得，又，则，所以，又平面，所以平面．【小问2详解】由（1）知：且为面的法向量，因此，即直线与平面所成角的正弦值为．【小问3详解】由平面的一个法向量且为面的法向量，因此，即平面与平面夹角余弦值为．【2022南开一模】如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．

（1）求证：平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】(1)建立坐标系，利用平面的法向量与的数量积为零可证明；(2)利用与平面的法向量可求解；(3)利用平面的法向量可求解.【小问1详解】以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，

由上得，，，设平面PBC的法向量为，则由得取，得，因为，所以，又平面PBC，所以平面PBC．【小问2详解】由（1）知平面PBC的法向量为，因为，所以，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【小问3详解】显然，平面POC的法向量为，由（1）知平面PBC的法向量为，设平面POC与平面PBC的夹角为，则．【2022河北一模】如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）先证明出平面得到，利用线面垂直的判定定理即可证明平面；以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解（2）（3）.【小问1详解】∵，为的中点，∴.又，，平面，平面，∴平面，∴.又，，平面，平面，∴平面.【小问2详解】由（1）可知平面.又.以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.∴.设平面的法向量为.∵，，∴即不妨取，得.设直线与平面所成的角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为.∵，，∴即取，得.设平面与平面的夹角为，如图示，平面与平面的夹角为锐角（或直角），则∴平面与平面的夹角的余弦值为.【2022天津一中四月考】如图，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小；（3）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）取的中点，连接，可得且，证明四边形为平行四边形，从而可得证.（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系,利用向量法求解即可.（3）利用（2）中的空间坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】取的中点，连接,则且又，所以四边形为正方形,则且又四边形ABCD为矩形，则且所以且,则四边形为平行四边形所以，又平面,平面【小问2详解】∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，∴，，又∵平面平面BCEF，且平面平面，∴平面.以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，得∵平面，∴平面一个法向量为，