文科数学-2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）

目录/contents目录/contents55月25日解三角形……………………155月26日数列…………2255月27日函数………5155月28日直线与圆……………………825月29日圆锥曲线………97时间：5月25日今日心情：核心考点解读——解三角形一、考纲解读1.正弦定理及其应用（=2\*ROMANII）2.余弦定理及其应用（=2\*ROMANII）3.三角形面积公式的应用（=2\*ROMANII）4.解三角形的实际应用（=2\*ROMANII）二、高考预测1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2.从考查难度来看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.三、知识回顾一、正弦定理1．正弦定理在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．2．常见变形（1）（2）（3）（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在中，已知，和时，三角形解的情况二、余弦定理1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：.3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）(h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤四、应试技巧1.正弦定理及其应用(1)表示三角形中对边与对角正弦值的比值关系及与其外接圆的直径之间的等量关系.(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角”的性质注意三角形解的问题.(3)注意利用正弦定理实现边、角的互化，如“”可转化为“”等，转化过程中要注意平衡，如“”不可转化为“”.2.余弦定理及其应用(1)表示三角形中三边与任意角之间的等量关系.(2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两边和一对角求其他的边、角等.此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的问题.3.三角形的面积公式及其应用(1)三角形的面积公式：，利用三角形的两边及一夹角求面积.(2)注意三角形的面积公式与正弦定理、余弦定理之间的联系4.解三角形的应用通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等量关系，不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积问题，考查三角形的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边三角形、等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定三角形的形状.5.解三角形的实际应用解三角形的实际应用主要是实际问题中的测量问题，如测量角度问题，仰角、俯角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量.6.解三角形与其他知识的综合(1)解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.(2)注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或【答案】A【解析】，，，，，，，，故选：A.2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.3．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________【答案】根据余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圆半径为.故答案为:.4．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.【答案】25【解析】由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，小正方形的面积：，从而.故答案为：25.5．（2021·江苏·高考真题）已知向量，，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，，所以函数∴当时，（2）∵为锐角三角形，.又即

6．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.名校预测1．（2022·贵州遵义·三模（文））内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（

）米？（参考数据：）A．68 B．70 C．72 D．743．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形中，且，则四边形面积取最大值时，___________.4．（2022·全国·高三阶段练习（文））《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为______．（注：）5．（2022·安徽·模拟预测（文））在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若AD为△ABC的角平分线，且，，，则△ABC面积为___．6．（2022·江苏江苏·三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，.从条件①､②中找出能使得唯一确定的条件，并求边上的高.条件①，；条件②，.专家押题1．如图，在中，，，点D在线段AB上．(1)若，求CD的长；(2)若，，求AB的长．2．在中，.(1)求的大小；(2)若，证明：.3．在中，角的对应边分别为已知(1)求；(2)若的周长为，求的取值范围.4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A；(2)若，求a的最小值．5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(1)求A；(2)若，D是BC上的点，AD平分，求AD的长6．已知的内角、、的对边分别为、、，且．(1)判断的形状并给出证明；(2)若，求的取值范围．答案名校预测1．B【解析】，，依题意，即，，所以为锐角，.由正弦定理得，所以，所以三角形周长为，由于，所以当时，三角形的周长取得最大值为.故选：B2．B【解析】如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位，Q为A,B在OP上的射影，由已知得为直角三角形，，，(米)，(米),设PQ=x，则,.∴，∴,∴塔高(米),故选：B3．2−2【解析】设，则，因为且，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以四边形面积，令，则，，，当时，，函数在上单调递增，所以，当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值为，因为，所以四边形面积的最大值为，此时，所以，所以，所以.故答案为：.4．【解析】由题可得，，在中，由余弦定理可得，代入得，即，因为，故，故故答案为：5．【解析】因为，，所以，由正弦定理边化角可得：，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，解得，由余弦定理可得，整理可得，又，所以，整理得，所以，解得或-1（舍），所以.故答案为：6．答案见解析【解析】解：因为，由正弦定理得，又，所以，又，所以，则，选①，因为，所以或，则有两个解，不符题意；选②，因为，所以，又，故是唯一的，，所以，所以.专家押题1．(1)(2)3【解析】(1)∴，故在中，由正弦定理知∴(2)在中，由正弦定理知，，，∴在中，由正弦定理知∴在中，由余弦定理知∴，得2．(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)在中，∵，∴，∴，∴，∵，∴；(2)∵，∴．由余弦定理得①，∵，∴②，将②代入①，得，整理得，∴．3．(1)；(2)【解析】(1)由正弦定理得：，即，又，故，即，又，故，解得，故.(2)由（1）知，，又，解得，，又，即，化简得，又，故，即，即，又，，，故，即.4．(1)(2)【解析】(1)若选条件①，由正弦定理得，，，，又，，，；若选条件②，中，，由正弦定理知，，，，，因为，又，；若选条件③，由，得，，所以，，，，，，，，．(2)由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以a的最小值为．5．(1)(2)【解析】(1)由正弦定理可得，∵，∴，可得...∵，∴；(2)依题设，设，由余弦定理得，由题设知：

即，又，由可得：，所以，解得，即；综上，，.6．(1)为等腰三角形或直角三角形，证明见解析(2)【解析】(1)解：为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由及正弦定理得，，即，即，整理得，所以，故或，又、、为的内角，所以或，因此为等腰三角形或直角三角形．(2)解：由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且，所以，因为，故，得，所以，因此的取值范围为．时间：5月26日今日心情：核心考点解读——数列一、考纲解读1.数列的概念及其通项公式（I）2.等差数列的通项及其前n项和（=2\*ROMANII）3.等比数列的通项及其前n项和（=2\*ROMANII）4.等差数列、等比数列的性质（=2\*ROMANII）5.数列求和及其求和方法（=2\*ROMANII）6.数列的应用（=2\*ROMANII）二、高考预测1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，利用等差数列的概念判断性质真假，利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算；利用等比数列的概念判断性质真假，利用等比数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算等.2.从考查内容来看，主要考查数列的递推关系、等差数列、等比数列的相关运算，重点在于掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，能够利用“”和“”这五个量进行相互转化，达到“知三求二”的目的.3.从考查热点来看，数列计算是高考命题的热点，要注意通项公式与求和公式的正确使用及利用数列的性质简化运算.三、知识回顾一、数列的相关概念1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．2．数列与函数的关系数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.3．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…二、数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．（2）解析法：主要有两种表示方法，①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．三、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用表示，记作，则通项．若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示．四、等差数列1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．3．等差数列的通项公式及其变形以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．公式的变形：，．4．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式，可得．令，，则，其中，为常数．（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．五、等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．令，，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．2．用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．六、等差数列的性质1．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：（1）通项公式的推广：，．（2）若，则．特别地，①若，则；②若，则．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．（4）数列是常数是公差为td的等差数列．（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．（6）若，则．2．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为．（2）构成公差为的等差数列．（3）若数列共有项，则，．（4）若数列共有项，则，．（5），．七、等比数列1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2．等比中项如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是．等比数列通项公式的变形：．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．八、等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．九、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．（4）成等比数列，公比为．（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．（6）当时，；当时，．（7）．（8）若项数为，则，若项数为，则．（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．四、应试技巧1.数列的概念及表示(1)数列可以看作特殊的函数，数列的每一项叫做数列的项，排在第一位的数是数列的第一项，也叫首项.数列的一般形式可以写为.：数列的第项，也叫通项公式.数列的表示方法：①通项公式：；②递推公式：如时，型.(2)求数列通项公式的方法①观察法：已知数列的前几项，可观察数列这几项的各部分与的关系，最后用不完全归纳得到通项公式.②前n项和与通项之间的关系：能够利用前项和的关系式求得，此时要注意；也能够利用表示前n项和.③利用递推公式：形如型的可采用累加法；形如型的可采用累乘法；形如型，当时，通常可以构造的形式，利用等比数列的通项公式得到的通项公式，然后求解.2.等差数列的概念与证明(1)熟练掌握等差数列的定义与定义式：，.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的差是同一个常数，这个常数就是公差.由此要明确，一个数列能够构成等差数列，至少需要三项.(2)若三个数构成等差数列，则称为的等差中项，记作或.(3)等差数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若时，推理得到的差为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等差数列.3.等差数列的通项公式及性质(1)等差数列的通项公式：.知道等差数列的通项公式的推理方法是根据定义式叠加而得，了解等差数列与一次函数之间的联系与区别.(2)等差数列的性质：若，则.等差数列的性质反映了项与项数之间对称的等量关系，由此得到等差数列前n项和的推导方法——倒序相加法.4.等差数列的前n项和(1)等差数列的前n项和：.能够利用首项与公差表示等差数列的前n项和，了解二次函数与等差数列前n项和的关系.(2)掌握等差数列前n项和的性质：成等差数列，也是等差数列.5.等比数列的概念与证明(1)熟练掌握等比数列的定义与定义式：，.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的比值是同一个常数，这个常数就是公比.由此要明确，一个数列能够构成等比数列，至少需要三项.(2)若三个数构成等比数列，则称为的等比中项，记作或.(3)等比数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若时，推理得到的比值为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等比数列.6.等比数列的通项公式及其性质(1)等比数列的通项公式：.知道等比数列通项公式的推理方法是根据定义式叠乘而得，了解等比数列与指数函数之间的联系与区别.(2)等比数列的性质：若，则.7.等比数列的前n项和(1)等比数列的前n项和：能够利用首项与公比表示等比数列的前n项和，了解指数函数与等比数列前n项和公式之间的关系.掌握等比数列前n项和公式的推导方法——错位相减法.(2)掌握等比数列前n项和的性质：；当或且为奇数时，成等比数列.8.等差数列、等比数列的混合计算(1)等差数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等比数列，由此计算得到等差数列的首项与公差，并求通项与前n项和.(2)等比数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等差数列，由此计算得到等比数列的首项与公比，并求通项与前n项和.(3)注意在数列计算中基本量的应用.9.等差数列前n项和的最大（小）项利用等差数列的前n项和公式，结合二次函数的求最值的特点及相应的图象，利用函数的单调性判断最值.10.数列求和(1)等差数列、等比数列的前n项和①等差数列的前n项和；②等比数列的前n项和(2)分组求和法求数列的前n项和分组求和法可以解决形如类数列的求和问题，其基本步骤是首先确定通项公式，然后对通项公式进行拆分，拆成几个可以直接求和的数列（最好是等差数列或等比数列），再分别求和后相加即可得到原数列的和.(3)裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法的基本思想是把数列的通项拆分成等的形式，从而在求和时起到逐项相消的目的.比较常见的类型有：①，②，③等.采用裂项相消法求数列的前n项和时，要注意系数的问题以及求和逐项相消后前后剩余的项的问题.(4)错位相减法求数列的前n项和错位相减法主要应用于求解由等差数列与等比数列的对应项之积组成的数列的求和问题，即求的和.其一般步骤为先识别数列的通项公式是否为等差数列与等比数列对应项之积构成的数列，并确定等比数列的公比，然后写出前n项和的表达式，并在等式两边同时乘以公比或公比的倒数，得到另一个式子，再对两式作差，最后根据差式中间的项构成的等比数列求和，合并同类项即得所求的前n项和.错位相减法的计算过程较为复杂，对计算的能力要求比较高，同时考查的力度也相对较高，应注意加强训练.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【解析】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2．（2021·江苏·高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.【答案】4【解析】因为为等比数列，且公比为，所以，且，.因为，，成等差数列，所以，有，，解得.故答案为：.3．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.4．（2021·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】∵数列是等差数列，设公差为∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列.5．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.6．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设，

⑧则．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，下同方法二．[方法四]：导函数法设，由于，则．又，所以，下同方法二．名校预测1．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为（

）A． B．3 C． D．52．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（

）A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末3．（2022·贵州遵义·三模（文））如图，边长为2的等边三角形，取其中线的，构成新的等边三角形，面积为；再取新的等边三角形中线的，构成等边三角形，面积为；……如此下去，形成一个不断缩小的正三角形系列，则第5次构成的等边三角形的面积，为（

）A． B． C． D．4．（2022·重庆八中模拟预测）已知数列满足：①仍为数列中的项；②当，且时，仍为数列中的项；③仍为数列中的项.则其通项公式可以为___________.5．（2022·贵州遵义·三模（文））记为等差数列的前n项和，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．6．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知某同学在任何一次拓展考试中获得满分的概率都为，且各次考试的成绩相互独立．以表示他参加n（，）次考试后从未连续取得2次满分的概率．(1)求，的值，并证明当n≥4时，；(2)证明：对任意，，．专家押题1．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列满足，若，则k的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．113．已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．4．已知等差数列的公差，，现从，，，中间二、三两项中去掉一项，其他项的顺序不变，若余下的三项构成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．5．在正项数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，证明：．6．设数列为等比数列，且，数列满足且.(1)求数列和的通项公式；(2)若是的前n项和，求.7．已知公比为的等比数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.答案名校预测1．B【解析】设公差为，则由得，解得.故选：B2．A【解析】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，，则是等比数列，首项为，公比，所以.依题意，，即，所以,由于，又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,故选:A.3．C【解析】解：设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，则，所以，故等边三角形的边长是以为公比的等比数列，，所以第5次构成的等边三角形的边长，所以第5次构成的等边三角形的面积.故选：C.4．(答案不唯一)【解析】结合三个性质与等比数列的性质，不妨设，则仍为数列中的项；当，且时，仍为数列中的项；仍为数列中的项；故满足题意．故答案为：．5．(1)(2)8960【解析】(1)设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：，解得所以(2)由（1）知：当时，，当时，所以6．(1)，，证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)当时，，设某同学在任何一次拓展考试中获得满分用表示，不是满分用表示，当时，表示某同学参加次考试后从未连续取得2次满分的情况有以下5种：，所以.当时，要求，即某同学参加n次考试后从未连续取得2次满分概率，分类进行讨论；如果第次考试未取得满分，那么前次从未连续2次满分和前次从未连续2次满分是相同的，这个时候从未连续2次满分的概率是；如果第次取得满分，第次未取得满分，那么前次从未连续2次满分和前次从未连续取得2次满分是相同的，这个时候从未连续2次满分的概率是；所以当时，(2)当时，，当时，，所以，因为，所以，所以，则.当时，，，所以，所以，所以，所以当时，.当，，，，所以当时，.所以，对任意，，专家押题1．D【解析】，为上的增函数；，为上的奇函数；又，，即，.故选：D.2．B【解析】解：设等差数列公差为，由，且，得，即，当时，，当时，由，得，所以，所以，即，解得，所以k的最大值是9.故选：B.3．(1)(2)【解析】(1)因为，所以，，…，所以．又，所以，所以．又，也符合上式，所以．(2)结合（1）得，所以，①，②①②，得，所以．4．(1)；(2).【解析】(1)依题意，若去掉的一项是，则余下的三项，，成等比数列，即，整理得：，解得，不符合条件，若去掉的一项是，则余下的三项，，成等比数列，即，整理得．解得，符合条件，则，所以数列的通项公式是.(2)由（1）知，，所以.5．(1)(2)证明见解析【解析】(1)由得,得,因为为正项数列,所以,所以,所以.(2)，所以，因为，所以.6．(1)，（也可以表示成）(2)（也可表示为）【解析】(1)设公比为q，则，所以所以方法一：由可得：两式相减得：所以数列的奇数项以为首项公差为2的等差数列，即n是奇数时，那么n是偶数时，即（也可以表示成）方法二：由可得则有，所以数列是为首项.为公比的等比数列，则即(2)方法一：则当n是奇数时，设，则记，那么则当n是偶数时，即方法二：由令数列的前n项和为，则所以所以，那么.（也可表示为）7．(1)(2)【解析】(1)因为数列是公比为的等比数列，由，有；由，有；两式相除得整理为，解得，，由，可得，，所以数列的通项公式为.(2)由，所以，所以，所以.

时间：5月27日今日心情：核心考点解读——函数的概念、性质、图象(基本初等函数)一、考纲解读1.函数的定义域和值域，分段函数（=1\*ROMANI）2.函数的单调性、最大（小）值及其几何意义（=2\*ROMANII）3.函数的奇偶性（=1\*ROMANI）4.用基本函数的图象分析函数的性质（=2\*ROMANII）5.指数函数的概念、图象及单调性（=2\*ROMANII）6.对数函数的概念、图象及单调性（=2\*ROMANII）7.幂函数的概念、图象（=1\*ROMANI）二、高考预测1.涉及本单元知识的考题，大多以选择题、填空题的形式出现，可易可难，预测今年高考仍然会出2-3个小题.2.函数的概念及其表示：考查函数的概念、定义域和值域，函数的解析表示法，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.3.函数的性质：考查单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；对称性和周期性结合，用以考查函数值重复出现的特征以及求解析式。4.基本初等函数：比较大小，基本初等函数的图象和性质，基本初等函数的综合应用，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.三、知识回顾一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tanx的定义域为.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.三、分段函数1．分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．必记结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．四、函数的单调性1．函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.2．函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．4．函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.五、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括，则．（4）若函数是偶函数，则．（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数为偶函数，函数为奇函数．②函数（且）为奇函数．③函数（且）为奇函数．④函数（且）为奇函数．六、函数的周期性1．周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3．函数周期性的常用结论设函数，.①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；③若，则函数的周期为；④若，则函数的周期为；⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为；⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.七、函数的图象1．函数图象的画法（1）描点法作图①研究函数特征②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)；③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)；④连线(用平滑的曲线连接所描的点)．（2）变换法作图①平移变换②对称变换a．y＝f(x)y＝−f(x)；b．y＝f(x)y＝f(−x)；c．y＝f(x)y＝−f(−x)；d．y＝ax(a>0且a≠1)y＝(a>0且a≠1).③翻折变换④伸缩变换y＝f(x)y＝f(ax)．y＝f(x)y＝af(x)．八、指数与指数幂的运算1．根式（1）次方根的概念与性质次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.③0的任何次方根都为0，记作.（2）根式的概念与性质根式概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.性质①.②当为奇数时，.③当为偶数时，.2．实数指数幂（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：①；②；③.九、指数函数的图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.【注】指数函数的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.2．指数函数的图象与性质图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.3．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如的函数的定义域就是的定义域．求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域．(2)判断复合函数的单调性令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在[m，n]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．十、对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2．对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).十一、对数函数及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．3．对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.十二、函数的零点1．函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．二次函数的零点二次函数的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104．零点存在性定理如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5．常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.四、应试技巧1.求函数的定义域：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式非负；③对数式中真数大于0，底数大于0且不等于1.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域为，则复合函数的定义域由不等式得到.2.求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，给出具体解析式的函数优先考虑“导数法”，但在具体的解题中要与其他方法密切配合．3.求函数的单调区间：函数定义域优先下，采用定义法、图象法、导数法、复合函数法等．4.函数单调性的应用：(1)比较函数值的大小；(2)解不等式；(3)求函数的值域或最值等；(4)已知函数的单调性求参数的取值范围等．5.函数奇偶性的判断：在定义域关于原点对称的前提下，判断，是否成立.(1)若是偶函数，则.奇函数在0处有定义，即；(2)奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．6.作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象等.(1)掌握几种图象的变换的方法技巧，如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻折变换等，能帮助我们简化作图过程.(2)利用函数图象可以解决一些形如的方程解的个数问题，解题中要注意对方程变形，选择适当的函数作图．7.二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．8.指数函数主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．(1)将指数函数的图象进行平移、翻折，可作出等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．(2)对可转化为或形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．9.指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件，是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的，如果底数含有参数，一般需分类讨论.与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤：(1)确定定义域；(2)把复合函数分解为几个基本初等函数；(3)确定各个基本初等函数的单调区间；(4)根据“同增异减”判断复合函数的单调性．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B2．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.3．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.5．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.6．（2021·江苏·高考真题）已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】解：画出函数的图象如下图，由题意得函数图象上存在互异的三个点，且，则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点，由图知，当或时，有且仅有两个交点，要使两个图象有三个不同的交点，则的取值范围为．故答案为：．7．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：名校预测1．（2022·江苏江苏·三模）函数的图象可能是（

）A．B．C．D．2．（2022·四川·石室中学三模（文））已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（

）A． B．3C． D．3．（2022·辽宁·二模）设，，，则(

)A． B． C． D．4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）设集合，，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．5．（2022·陕西咸阳·三模（文））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（

）A． B．C． D．6．（2022·四川·石室中学三模（文））设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称．在，，，四点中，函数与的图象的公共点只可能是（

）A．点P B．点Q C．点M D．点N7．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．专家押题1．若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知函数为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．若函数的图象关于直线对称，且直线与函数的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．4．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．5．已知函数为偶函数，则______．6．已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则数列的前n项和__________．7．已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.答案名校预测1．B【解析】因为，所以取，此时，时，，时，，故只有B符合题意.故选：B.2．D【解析】解：由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点，由，得.故选：D.3．D【解析】，则；，，则；且，则；故．故选：D．4．D【解析】对于集合，因为与互为反函数，所以，互相关于对称，而，所以，只需要即可，因为，所以，，得，设，得，所以，，，单调递增；，，单调递减，所以，，得到，所以，；对于集合，化简得，设，，因为，可设，，单调递减，又，所以，当时，，，，单调递减，利用洛必达法则，时，，所以，，所以，；由于，，所以，D正确故选：D5．D【解析】由定义域为，则，所以为奇函数，排除A、C；而，故在上不递减，排除B.故选：D6．D【解析】由题意，知．逐一代入验证，点代入中，求得：，不合要求，舍去；点代入中，解得：，将代入中，，Q点不在上，不合要求，舍去；点代入中，解得：，将代入中，，解得：，故与矛盾，舍去；代入中，，解得：，将代入中，，解得：，满足题意.故仅点N可能同时在两条曲线上．故选：D．7．B【解析】是奇函数，恒成立，即恒成立，化简得，，即，则，解得，又且，，则，所以，由复合函数的单调性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，恒成立，则恒成立，所以恒成立，解得.故选：B.专家押题1．D【解析】由是奇函数在单调递增，且可知：当时，，当时，，又或，解得：或满足的x的取值范围是或故选：D2．B【解析】因为为偶函数，所以，即解之得，经检验符合题意.则由，可得故的解集为，故选：B.3．【解析】解：由已知可得，是的两个零点，因为函数图象关于直线，因此和也是的零点，所以．由题意可知，关于的方程有三个不同的实数解．令，则关于的方程有两个不同的实数解，，且关于的方程与中一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，则或，因此与中有一个等于，另一个大于．不妨设，则，解得，此时，解得、满足条件，因此．故答案为：4．【解析】由函数在区间上是单调增函数，只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．故答案为：5．1【解析】由题设，，所以.故答案为：16．【解析】由，知为偶函数，当时，知在单调递增且，设，则为奇函数且在单调递增，结合奇函数的对称性可得在单调递增，由题得，又是等差数列，可得，当时，，同理，即，不合题意，当时，同理可得，也不合题意，所以，又公差为2，可得，所以.故答案为：.7．【解析】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即当时，，当时，，所以的最大值为.故答案为：时间：5月28日今日心情：核心考点解读——直线与圆一、考纲解读1.直线的倾斜角与斜率（II）2.直线与方程（II）3.直线的位置关系（II）4.圆与方程（II）5.直线与圆、圆与圆的位置关系（II）二、高考预测1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合.3.从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想.三、知识回顾一、两条直线的位置关系斜截式一般式与相交与垂直与平行且或与重合且注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．二、两条直线的交点对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，与的交点坐标就是方程组的解．（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解；（3）方程组有无数解与重合．三、距离问题（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．四、对称问题（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．五、圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．六、点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x0，y0）在圆上点（x0，y0）在圆外点（x0，y0）在圆内七、必记结论（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数；②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数．八、直线与圆的位置关系的判断方法判断方法直线与圆的位置关系几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断方程无实数解，直线与圆相离方程有唯一的实数解，直线与圆相切方程有两个不同的实数解，直线与圆相交九、圆与圆的位置关系两圆的位置关系外切相切两圆有唯一公共点内切内含相离两圆没有公共点外离相交两圆有两个不同的公共点十、圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中）．（2）代数法：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．十一、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0③．方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．四、应试技巧1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：.直线的斜率：；过两点的直线的斜率为.(2)掌握的图象，能够通过倾斜角表示斜率，也能够利用斜率求倾斜角.(3)当时，越大，直线的斜率也越大；当时，越大，直线的斜率也越大.(4)所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.2.直线与方程(1)能够根据条件选用合适的直线方程形式表示直线，知道点斜式、斜截式、两点式、截距式的适用条件，并由此考虑特殊情况下的直线是否存在,如在点斜式中，斜率不存在时直线表示为等.4.圆与方程(1)圆的标准方程：；(2)圆的一般方程：.注意：能够从圆的定义理解、推理得到圆的方程.根据圆的标准方程可以直接确定圆的圆心和半径，标准方程与一般方程可以进行互化，知道不一定是圆的方程，必须满足条件.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------真题回顾1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.（多选）2．（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.（多选）3．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.4．（2021·湖南·高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________【答案】【解析】由可得，所以圆心为，由可得，所以直线的斜率为，所以与直线垂直的直线的斜率为，所以所求直线的方程为：，即，故答案为：.5．（2021·江苏·高考真题）以抛物线的焦点为圆心，且与直线(为参数）相切的圆的标准方程是____________.【答案】【解析】解：将抛物线方程化为标准方程得，所以焦点坐标为，将直线的参数方程化为普通方程得，所以点到直线的距离为，所以所求圆的方程为.故答案为：6．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【解析】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.名校预测1．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知圆，圆，点分别是圆､圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·二模）已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（

）A． B． C． D．23．（2022·贵州遵义·三模（文））圆O：上点P到直线l：距离的最小值为（

）A． B．C．2 D．04．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））过点的直线经x轴反射后与圆相切，则切线的斜率为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·模拟预测（文））已知圆C：与直线l：x-y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，则圆C的面积为（

）A． B． C． D．专家押题1．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）A．2 B．3 C． D．2．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．03．直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（

）A．5 B．4 C．3 D．24．若直线被圆截得线段的长为，则实数m的值为______．5．当圆的面积最小时，圆C与圆的位置关系是___________.答案名校预测1．B【解析】由圆的方程可知：圆心，，半径，；设与关于对称，则，则圆与圆关于对称，当五点共线时，取得最小值，.故选：B.2．B【解析】由题设且半径，弦长，所以到的距离，即，可得.故选：B3．B【解析】圆心到直线的距离设为，则，又因为圆的半径，所以点P到直线l：距离的最小值为故选：B4．D【解析】圆的圆心，半径点关于轴对称的点为，则过点与圆相切的直线即为所求．由题意可知切线的斜率存在，可设切线的斜率为则的方程为即圆心到的距离为，解得，故选：D．5．C【解析】如图，由圆C方程可知圆心，半径为a，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l的距离，又△ABC的面积为，解得，由勾股定理可得，则a=2，即圆C的半径为2.则圆C