2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题30正弦定理和余弦定理学生版

专题30正弦定理和余弦定理一、【知识梳理】【考纲要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．【考点预测】1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解【常用结论】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC．(2)cos(A＋B)＝－cosC．(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．【方法技巧】1.正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.2.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.3.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.4.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.5.与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.二、【题型归类】【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形【典例1】已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝eq\f(2π,3).(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c＝eq\r(2)b；②周长为4＋2eq\r(3)；③面积为S△ABC＝eq\f(3\r(3),4).【典例2】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.【典例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋asinA＝bsinB＋csinC.(1)求A；(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝eq\r(13)，求a.【题型二】判断三角形的形状【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定【典例2】(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()A．若tanA＋tanB＋tanC>0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC是等边三角形【典例3】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是()A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．非钝角三角形【题型三】与三角形面积有关的问题【典例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为________．【典例2】在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝eq\r(3)ab，且acsinB＝2eq\r(3)sinC，则△ABC的面积为________．【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))－asinC＝0.(1)求角A的值；(2)若△ABC的面积为eq\r(3)，周长为6，求a的值．三、【培优训练】【训练一】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2)))).若a2sinC＝2sinA，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC的面积为()A．eq\r(3) B．1C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,2)【训练二】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是()A．a，b，c依次成等差数列B.eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a3，b3，c3依次成等差数列【训练三】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)accosB，且sinA＝3sinC．(1)求角B的大小；(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．【训练四】如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?【训练五】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；四、【强化测试】【单选题】1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)且b<c，则b＝()A．3 B．2eq\r(2)C．2 D．eq\r(3)2.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq\r(7)，c＝4，cosA＝eq\f(\r(7),4)，则△ABC的面积为()A．3eq\r(7) B．eq\f(3\r(7),2)C．9 D．eq\f(9,2)3.在△ABC中，已知C＝eq\f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq\r(3)，则c＝()A．2eq\r(7) B．eq\r(7)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)4.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝eq\r(2)sinB，则其最小内角的余弦值为()A．－eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(5\r(2),8) D．eq\f(3,4)5.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则eq\f(a,b)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于()A.eq\f(\r(15),2)B.eq\f(\r(11),2)C.eq\f(3\r(15),4)D.eq\f(3\r(15),8)7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C等于()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)8.已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝4，cos2A＝－eq\f(7,25)，则△ABC外接圆半径为()A．5B．3C.eq\f(5,2)D.eq\f(3,2)【多选题】9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是()A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝3eq\r(3)，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°10.下列命题中，正确的是()A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角三角形ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形11.某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走3km，结果离出发点恰好eq\r(3)km，那么x的值是()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3D．612.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是()A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>eq\f(π,2)，则sinA>cosBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形【填空题】13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则c＝.14.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积为________．15.在△ABC中，C＝60°，且eq\f(a,sinA)＝2，则△ABC的面积S的最大值为．16.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝.【解答题】17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝eq\f(4\r(2),3)bc.(1)求sinA的值；(2)若△ABC的面积为eq\r(2)，且eq\r(2)sinB＝3sinC，求△ABC的周长．18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＋bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2eq\r(5)，b＝2，求边c的长．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq\r(3)acosC＝(2b－eq\r(3)c)cosA．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．20.在①(a－c)(sinA＋sinC)＝b(sinA－sinB)；②2ccosC＝acosB＋bcosA；③△ABC的面积为eq\f(1,2)c(asinA＋bsinB－csinC)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且