2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题11对数与对数函数学生版

专题11对数与对数函数一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.【考点预测】1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.【常用结论】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.二、【题型归类】【题型一】对数的化简与求值【典例1】(1)计算log535＋2logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52)的值．(3)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则eq\f(lgz,4lgx)＋eq\f(lgz,lgy)的最小值为________．【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)计算(log32＋log92)(log43＋log83)的值；(3)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2015x，ai＝eq\f(i,2015)(i＝1，2，…，2015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，则()A．I1＜I2B．I1＝I2C．I1＞I2D．I1与I2的大小关系无法确定【典例3】设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于()A.eq\r(10)B．10C．20D．100【题型二】对数函数的图象及应用【典例1】已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1【典例2】若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为．【典例3】已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2的零点，则＋lnx2的值为()A．e2＋ln2 B．e＋ln2C．2 D．4【题型三】对数型复合函数的综合问题【典例1】已知函数f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．【典例2】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【典例3】已知函数f(x)＝logaeq\f(1－mx,x－1)是奇函数(a＞0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a＝eq\f(1,2)时，若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋b恒成立，求实数b的取值范围．【题型四】比较指数式、对数式大小【典例1】设a＝log3e，b＝e1.5，c＝，则()A．b<a<c B．c<a<bC．c<b<a D．a<c<b【典例2】设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则()A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a【典例3】设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a【题型五】解对数方程、不等式【典例1】方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．【典例2】已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是____________．【典例3】若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，a≠1)，则实数a的取值范围是．【题型六】对数函数性质的综合应用【典例1】设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增B．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减C．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增D．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【典例3】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x＋4－2a，x<1，,1＋log2x，x≥1，))若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________三、【培优训练】【训练一】已知loga(a＋1)<log(a＋1)a(a>0且a≠1)，则a的取值范围是．【训练二】已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．【训练三】已知函数f(x)＝lgeq\f(x－1,x＋1).(1)计算：f(2020)＋f(－2020)；(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立，求实数m的取值范围．【训练四】设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))【训练五】已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是________.【训练六】已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.四、【强化测试】【单选题】1.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．D．2x－23.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.14.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是()5.设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定6.若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是()A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1C．1<a<2 D．a≥27.已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1)8.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2] B．[0，2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)【多选题】9.已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则()A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>010.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的最大值为0D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增11.已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则()A．f(x)在(2，6)上单调递增B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln2C．f(x)在(2，6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称12.在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是()A．k＜0，0＜b＜1B．k＞0，b＞1C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))g(1)＞0(x＞0)D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0【填空题】13.设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝________．14.已知函数y＝loga(x＋3)－eq\f(8,9)(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．15.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx＋b，x>1，,ex－2，x≤1，))若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．16.已知函数f(x)＝－log2