江苏省扬州市各名校2023-2024学年九年级中考一模数学易错题强化训练

2023-2024学年江苏省扬州市各名校九下一模数学易错题强化训练一．选择题（共7小题）1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（）A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．92．（2023•高邮市一模）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E在线段OD上，若DE＝2OE，连接AE、BE，则△ABE的面积（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023•广陵区一模）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A． B． C． D．

4．（2023•广陵区一模）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．25．（2023•宝应县一模）已知点A（a，b），B（4，2）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，则ab有（）A．最大值﹣9 B．最大值9 C．最小值﹣9 D．最小值96．（2023•宝应县一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM、PN，则所有满足∠MPN＝45°的点P有（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2023•仪征市一模）如图，△ABC中，∠B＝90°，，点D是AB的中点，点E在线段AC上，，则的值为（）A．或 B． C．或 D．或二．填空题（共13小题）8．（2023•江都区一模）函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．9．（2023•江都区一模）面积为36的平行四边形ABCO在平面直角坐标系中如图所示，反比例函数为常数，k＞0，x＞0）的图象经过点A与BC的中点D，则k＝．10．（2023•江都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（3，4），（﹣1，1），点C在线段AB上，且，则点C的坐标为．11．（2023•高邮市一模）已知点（1，m），（2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+3（a为常数）的图象上．若a＜0，则mn．（填“＞”、“＜”或“＝”）．

12．（2024•南京模拟）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝°．13．（2023•广陵区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1⋅y2⋅y3≥0时，m的取值范围是．14．（2023•宝应县一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，点C在劣弧AB上，∠P＝38°，则∠ACB＝°．15．（2023•宝应县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点D是与点B不重合的动点，以BD为一边作正方形BDEF．设BD＝d1，点E、F与点C的距离分别为d2d3，则d1+d2+d3的最小值为．

16．（2023•邗江区一模）如图，已知在菱形ABCD中，∠A＝30°，以点A、B为圆心，取大于AB的长为半径，分别作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，若AE＝2，则菱形ABCD的面积为．17．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是．18．（2023•仪征市一模）一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根是x1和x2，则x1•x2的最大值为．19．（2023•仪征市一模）如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是．20．（2023•定远县二模）如图，将反比例函数的图象绕原点O逆时针旋转45°得到曲线C2，点A是曲线C2上的一点，点B在直线y＝x上，连接AB、OA，若AB＝OA，则△AOB的面积为．三．解答题（共4小题）21．（2023•江都区一模）【初步感知】（1）如图1，点A，B，C，D均在小正方形网格的格点上，则＝；【问题解决】（2）求tan15°的值；方案①：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，作AD平分∠BAC交BC于D；…方案②：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，过点B作BD⊥AC，垂足为D；…请你选择其中一种方案求出tan15°的值（结果保留根号）；【思维提升】（3）求sin18°的值；如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．求sin18°的值（结果保留根号）．

22．（2023•江都区一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率＝利润/成本）销售单价x（元/件）…607075…每天销售量y（件）…240180150…（1）求y与x的函数关系式；（2）试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；（3）花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n＜2）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是．23．（2023•高邮市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在AC的延长线上，PQ⊥AB于点Q，交BC于点E，CD是⊙O的切线，交PQ于点D．（1）判断△DCE的形状，并说明理由；（2）若CD＝AC＝2，求OQ的长度．24．（2023•广陵区一模）定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．（1）当﹣2≤x≤1时，下列函数有界的是（只要填序号）；①y＝2x﹣1；②y＝﹣；③y＝﹣x2+2x+3．（2）当m≤x≤m+2时，一次函数y＝（k+1）x﹣2的界值不大于2，求k的取值范围；（3）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的界值为，求a的值．

参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．【解答】解：∵y2﹣2x+4＝0，∴y2＝2x﹣4≥0，∴2x﹣4≥0，∴x≥2，∴x2+y2+2x＝x2+2x﹣4+2x＝x2+4x+4﹣8＝（x+2）2﹣8，∵（x+2）2≥0，x≥2，∴x＝2时最小值是8．故选：A．2．【解答】解：设则D（a，0），∵B为线段AC中点，DE＝2OE，∴，，∴，∴，，，，如图，连接OB，∴S△ABE＝S梯形ADOC﹣S△ADE﹣S△BOE﹣S△BOC＝24﹣4﹣4﹣9＝7．故选：C．3．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC＝＝10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．4．【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM＝A′C，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，A′C最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3+2．∴OM的最大值＝+1．故选：A．5．【解答】解：∵点A（a，b），B（4，2）在直线y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵4k+3＝2，解得k＝﹣，∵开口向下，ab有最大值，∴ab＝﹣＝9，故选：B．6．【解答】解：如图，在BC边上取点P2，使BP2＝AN＝2，连接NP2，MP2，∵NB＝4，AM＝4，∴NB＝AM，∵∠MAN＝∠NBP2＝90°，∴△MAN≌△NBP2（SAS），∴MN＝NP2，∠AMN＝∠BNP2，∵∠ANM+∠AMN＝90°，∴∠ANM+∠BNP2＝90°，∴△P2MN是等腰直角三角形，∴∠MP2N＝45°，作△P2MN的外接圆交网格于P1、P3、P4、P5，根据圆周角定理，得∠MP1N＝∠MP3N＝∠MP4N＝∠MP5N＝∠MP2N＝45°，故选：C．7．【解答】解：∵点D为AB的中点，∴AD＝BD＝，∴，如图，取AC的中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，∴DE1∥BC，，此时，；如图，在AC上取一点E2，使DE1＝DE2，过点D作DF⊥AC，∵DE1＝DE2，∴△AE1E2为等腰三角形，∴E1F＝E2F，∵DE1∥BC，∠B＝90°，∴∠C＝∠DE1F，∠A+∠C＝90°，∵∠FDE1+∠DE1F＝90°，∴∠FDE1＝∠A，∴tan∠FDE1＝tanA＝，设E1F＝E2F＝a，则E1E2＝2a，在Rt△DFE1中，tan∠FDE1＝，∴DF＝2a，在Rt△DFE1中，＝，∴BC＝2DE1＝，在Rt△ABC中，tanA＝，∴AB＝2BC＝a，在Rt△ABC中，，∴AE1＝＝5a，∴AE2＝AE1﹣E1E2＝3a，∴．综上，的值为或．故选：A．二．填空题（共13小题）8．【解答】解：∵函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，∴当k+1≠0时，（﹣2）2﹣4（k+1）×1≥0，解得k≤0且k≠﹣1，当k+1＝0时，y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝，此时k＝﹣1，由上可得，k的取值范围是k≤0，故答案为：k≤0．9．【解答】解：分别过点A、D作AM⊥x轴，DN⊥x轴于点M、N，连接OB、OD，则∠AMO＝∠DNC＝90°，∵四边形ABCO是平行四边形，且面积等于36，∴OA∥BC，，OA＝BC，∴∠AOM＝∠DCN，∴△AMO∽△DNC，∴，∴，∵点D是边BC的中点，∴，，∵反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象经过点A与BC的中点D，∴，∴，解得k＝24，故答案为：24．10．【解答】解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线垂足分别为E，D，F，过点B作BG⊥AE于点G，交CF于点H，则CF∥AE，BH⊥CF，BD＝HF＝EG，∵点A，B坐标分别为（3，4），（﹣1，1），∴BD＝HF＝EG＝1，AE＝4，BG＝4，∴AG＝3，设点C的坐标为（m，n），则CF＝n，OF＝m，∴CH＝n﹣1，BH＝m+1，∵，∴，∵CF∥AE，∴△BHC∽△BGA，∴，∴，解得：，∴点C的坐标为．故答案为：．11．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2+2ax+3，∴该抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴a＜0．∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴m＞n，故答案为：＞．12．【解答】解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4＝×360°＝108°，∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．故答案为：54．13．【解答】解：∵二次函数为y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，∴y1＝（1﹣m）（﹣m﹣1），y2＝（2﹣m）（﹣m），y3＝（3﹣m）（1﹣m），∵y1⋅y2⋅y3≥0，∴（1﹣m）（﹣m﹣1）（2﹣m）（﹣m）（3﹣m）（1﹣m）≥0，∴（1﹣m）2（m+1）m（m﹣2）（m﹣3）≥0，∵（1﹣m）2≥0，∴（m+1），m，（m﹣2），（m﹣3）的负数有偶数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，当负数有0个时，m﹣3≥0，∴m≥3；当负数有2个时，m≥0且m﹣2≤0，∴0≤m≤2；当负数有4个时，m+1≤0，∴m≤﹣1；综上，m的取值范围为：m≤﹣1或0≤m≤2或m≥3，故答案为：m≤﹣1或0≤m≤2或m≥3．14．【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB+∠P＝180°，∴∠AOB＝180°﹣38°＝142°，∴∠ADB＝∠AOB＝71°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣71°＝109°．故答案为：109．15．【解答】解：连接AD，CF，CE，∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝BF，∠DBF＝90°，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBF﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBF，在△ABD与△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵d1+d2+d3＝BD+CE+CF＝AD+DE+CE，当A、D、E、C在同一直线上时，d1+d2+d3最小即为AC，∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝AB＝2，故答案为：2．16．【解答】解：由作图得：MN垂直平分AB，设MN交AB于F，则：AF＝AB，∠AFE＝90°，∵∠A＝30°，∴AF＝AEcosA＝，∴AB＝2，在菱形ABCD中，有AD＝AB＝2，过点D作DH⊥AB于H，在Rt△ADH中，AH＝AD＝，∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2×××＝6，故答案为：6．17．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．18．【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有两个根是x1和x2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，x1•x2＝k，解得：k≤1，∴x1•x2的最大值为1．故答案为：1．19．【解答】解：取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，则AD＝BD＝AB，∠AHD＝∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，由旋转得：BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠EBC+∠CBF＝60°，∵∠EBC+∠DBE＝60°，∴∠CBF＝∠DBE，∵AD＝BD＝AB＝4，∴BC＝BD，∴△BCF≌△BDE（SAS），∴CF＝DE，当且仅当DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE＝DH＝AD＝2为DE的最小值，∴CF的最小值为2．故答案为：2．20．【解答】解：若将直线y＝x和曲线C2绕点O顺时针旋转45°，则直线y＝x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，∴旋转后点A落在曲线C1上，点B落在x轴上，设点A，B的对应点分别是A'，B'，过点A'作A′D⊥x轴于点D，连接OA'，A'B'．∵AB＝OA，∴A'B'＝OA'，∴B'D＝DO，∴S△AOB＝S△A′OB′＝2S△OA′D＝2×＝6；故答案为：6．三．解答题（共4小题）21．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵AD＝5，∴△ABD是等腰三角形，∴∠D＝∠ABD，∵∠BAC是△ABD的外角，∴∠BAC＝∠D+∠ABD，即，∴，故答案为：；（2）选方案①：作AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DM⊥AB垂足为M，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴DM＝DC，，设AB＝2a，CD＝CM＝x，∵，，∴BC＝a，，∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，∴AC•BC＝AC•CD+AB•DM，∴，∴，∵，∴；选方案②：过点B作BD⊥AC，垂足为D，设AB＝AC＝2a，∵，，∴BD＝a，，∴，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠ACB＝75°，∵∠ADB＝∠ACB+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝15°，∴；（3）如图所示，设AB＝AC＝2a，作BE平分∠ABC交AC于点E，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝36°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°，∴△ABC∽△BEC，∴，∵∠3＝∠1+∠A，∴∠3＝72°，∴∠3＝∠C，∴BC＝BE，同理：AE＝BE，∴BC＝AE，设AE＝BC＝x，∴，2a（2a﹣x）＝x2，4a2﹣2ax＝xx2，解之得，（舍去负值），∴，过点B作BD⊥AC垂足为D，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝18°，∵BC＝BE，∴，∵，∴．22．【解答】解：设y＝kx+b（k≠0），由题意得：当x＝60时，y＝240，当x＝70时，y＝180，∴，解之得，∴y＝﹣6x+600；（2）设每天利润为w元，由题意得，w＝（x﹣50）•y＝（x﹣50）（﹣6x+600）＝﹣6（x﹣75）2+3750，又∵，∴x≤76，∴50≤x≤76，∵﹣6＜0，∴当x＝75时，w最大＝3750，答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；（3）设w′表示扣除捐款后的日利润，w′＝（﹣6x+600）（x﹣50﹣n）＝﹣6x2+（900+6n）x﹣30000﹣600n，∵在50≤x≤76（x为整数）范围内，w′随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，∴，解得n＞1，∵n＜2，∴1＜n＜2．故答案为：1＜n＜2．23．【解答】解：（1）△DCE是等边三角形，理由如下：如图：连接OC，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，⊙O是△ABC的外接圆，∴AB是⊙O的直径，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC＝30°，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ECD＝90°﹣30°＝60°，∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，∴∠BEQ＝60°，∴∠CED＝∠BEQ＝60°，∴∠CED＝∠DCE＝60°，∴△DCE是等边三角形；（2）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴，∵△DCE是等边三角形，CD＝2，∴CE＝CD＝2，∴，∵PQ⊥AB，∠ABC＝30°，∴，∴．24．【解答】解：（1）①当﹣2≤x≤1时，函数y＝2x﹣1，当x＝﹣2时，y＝﹣5，当x＝1时，y＝1，∴|y1﹣y2|≤|