第04讲圆心角（5类题型）（原卷版）

第04讲圆心角（5类题型）课程标准学习目标1.圆心角的概念；2.弧、弦、圆心角的关系；3.圆心角的应用；1.掌握圆心角的概念；2.理解弧、弦、圆心角的关系；3.掌握圆心角的应用；知识点01：圆心角相关概念圆心角的度数等于它所对的弧的度数。与弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。理解：(定义）(1)等弧对等圆心角(2)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．(3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．(4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．\t"s://baike.baidu/item/%E5%9C%86%E5%BF%83%E8%A7%92/_blank"推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等性质：①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。③圆心角性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。

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④一条\t"s://baike.baidu/item/%E5%9C%86%E5%BF%83%E8%A7%92/_blank"弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

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⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径【即学即练1】1．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（

）A． B． C．或 D．或【即学即练2】2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为（

）A． B． C． D．题型01圆心角的概念辨析1．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（

）A． B． C． D．2．（2021·湖南娄底·统考中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是．3．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．题型02利用弧、弦、圆心角的关系求解1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是．3．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，在⊙O中，点C是的中点，D、E分别是半径和的中点，求证：．题型03利用弧、弦、圆心角的关系求证1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·北京·九年级校考期中）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有．3．（2022秋·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．题型04求圆弧的度数1．（2023春·九年级课时练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为度．3．（2022秋·贵州毕节·七年级校考阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数．题型05圆心角的应用1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．53（2022秋·北京西城·九年级校考阶段练习）下面是某同学设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：．求作：的内接正三角形．作法：如图，①作直径；②以为圆心，为半径作弧，与交于C、D两点（点在直线上方）；③连接，，．所以就是所求的三角形．根据该同学设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明：证明：在中，连接，，，____________，为等边三角形．．．同理，______________．（___________________________）（填推理的依据）．是等边三角形．A夯实基础1．（2023秋·九年级课时练习）图中是圆心角的是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·全国·九年级专题练习）中的一段劣弧的度数为，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·九年级课时练习）在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（）①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么．6．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，C是的中点，若，则的度数为．7．（2023春·九年级课时练习）如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，（1）如果∠AOB＝∠COD，那么，=，∠AOC∠BOD；（2）如果AB＝CD，那么=，；（3）如果=，那么，，．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上求证：．10．（2023春·九年级课时练习）如图，在中，、是两条弦，，，垂足分别为、．如果，那么与的大小有什么关系？为什么？如果，那么与的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？与呢？B能力提升1．（2023秋·山东聊城·九年级校考开学考试）下列四个命题中，真命题是（

）A．相等的圆心角所对的两条弦相等B．圆既是中心对称图形也是轴对称图形C．平分弦的直径一定垂直于这条弦D．等弧就是长度相等的弧2．（2023秋·九年级课时练习）在中，如果，那么弦与弦之间的关系是（）A． B． C． D．无法确定3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．84．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（）A． B． C． D．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知为的直径，为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，则圆心角．7．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，

是的直径，弦，若，则的度数是．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．10．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．C综合素养1．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，，，是的弦，且，则等于（

）A． B． C． D．2．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的个数有（）①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为．7．（2023·山东·九年级专题练习）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为．8．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的弦，是的中点，交于点．（1）若，则；（2）若，则．9．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．10．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．阿基米德（，公元前287公元前212年，