函数的概念及其基本关系讲义-高三数学一轮复习

课题：函数的概念及其基本关系知识点一：函数的概念1．概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：，x∈A．【其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{|x∈A}叫做函数的值域（range）】注意：（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；（2）函数符号“”中的表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.3．区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【要点诠释】1．书写区间记号时：（1）有完整的区间外围记号；（2）有两个区间端点，且左端点小于右端点；（3）两个端点之间用“，”隔开.2．求函数定义域的基本方法：（1）分母不等于0；（2）开偶次根，根号内要大于等于0；（3）0次幂的底数不等于0.【典型例题】【例1】判断下列函数与是否表示同一个函数，说明理由.（1）=(x－1)0；g(x)=1（2）=x；g(x)=【例2】求下列函数的定义域.（1）（2）【例3】函数的值域（）A．B．C．D．【举一反三】1．如果函数的值域为，则的值域为（）A．B．C．D．2．函数的值域是（）A．B．C．D．R3．求下列函数的定义域.（1）（2）知识点二：函数的表示与映射（一）、函数的表示方法1．解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式.2．图像：以自变量x的值为横坐标，与之对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点(x，f(x))，这些点组成的图形称为函数f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法.3．列表：列一个两行多列的表格，第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.（二）、函数解析式的求解1．配凑法：将原复合函数解析式的右边拼凑了变量，然后看成整体替换成变量从而得到的解析式.2．换元法：解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.3．待定系数法：我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法.[【要点诠释】1．函数三种表示法的优缺点：优点缺点联系解析法①简明，全面地概括了变量间的关系．②通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值．不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示．解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系．图象法能形象直观地表示出函数的变化情况．只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大．2．映射允许集合B中存在元素在集合A中没有元素与之对应.3．映射允许集合A中不同的元素在集合B中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.4．求函数的解析式，就是要清楚对接受法则的对象施予什么运算和建立什么关系，并不在意接受法则的是哪一个字母或是怎样的式子。在进行变形或变量代换的过程中，要注意取值范围的变化.5．利用复合函数的式子求函数的解析式常有拼凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等方法.【典型例题】【例1】判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x为正实数}，B={y|y∈R}，f：x→y=±（2）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f：a→b=；【例2】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．【例3】已知是二次函数且，求的解析式.【举一反三】1．（1）已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．（2）已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)的解析式．2．下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？（1）A=R，B=R,f：xy＝eq\f(1,x＋1)；（2）A=，B=R，f：x→y2＝x；（3）A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆；3．已知，求的解析式.【课堂巩固】1．函数y=2x+1,x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域是()A．(5，9) B．[5，9]C．{5，7，9} D．{5，6，7，8，9}2．已知函数f(x)的定义域为[1，5]，则的定义域为()A．B．C．D．3．若求．4．求下列函数的定义域.（1）（2）5．若函数满足，求的解析式及其值域．【课后练习】正确率：1．下列四个函数中，与y＝x表示同一个函数的是()A．B．C．D．2．下列各项表示同一函数的是()

A．B．

C．D．3．函数的定义域是()A．B．C．D．4．已知函数的定义域是R，则m的取值范围是()A．B．C．D．5．对于，式子恒有意义，则常数k的取值范围是()A．B．C．D．6．若函数在上有意义，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．7．若函数f(x)满足，则f(2)的值为_