2024年江苏省南通市启秀中学中考一模数学模拟试题（含解析）

南通市启秀中学2023—2024学年度第二学期单元练习初三数学一、单选题（每题3分）1．在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（）A．1 B．0 C．﹣ D．﹣2．2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为()A． B． C． D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（

）A． B．C． D．4．下列运算正确的是（）A．5a3﹣4a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6C．a9÷a3＝a3 D．a-（b+c）＝a﹣b+c5．估计的值应在（）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间6．一个多边形的内角和等于，则它是（）A．五边形 B．七边形 C．九边形 D．十边形7．如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（

）A．60° B．55° C．50° D．45°8．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（

）

A． B． C． D．9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）

A．

B．

C．

D．

10．已知实数m，n满足，则的最大值为（

）A．24 B． C． D．二、填空题（11-12每题3分，13-18每题4分）11．在函数中，自变量x的取值范围是．12．因式分解：=．13．如图，在中，E是边上的点，连接交于点F，若，则的值是．14．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=．16．对于任意的，恒成立，则a的取值范围是．17．如图，A、B是反比例函数（）图象上的两点，直线交y轴正半轴于点E．过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，若点B的横坐标是4，,，则k的值为．18．如图，腰长为8的等腰中，，D是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值是．三、解答题19．（1）解不等式组，并将解集表示在数轴上（2）解分式方程：．20．新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数90众数100方差52根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述图表中，，的值．(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）．(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？21．如图，在中，平分为的中点．求证：．小芳同学解题过程如下：解：为的中点，．第一步平分，．第二步．第三步(1)小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步；(2)写出正确的解题过程．22．有三把不同的钥匙A，B，C和两把不同的锁D，E，其中钥匙A只能打开锁D，钥匙B只能打开锁E，钥匙C不能打开这两把锁．(1)随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是；(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？23．如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且(1)求证：是的切线；(2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．24．水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为天，平均每颗榴莲的售价为元，由于榴莲需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第天的销售量，每颗榴莲的成本为元．与的函数关系如图所示．

与之间的关系如表：第天销售量颗(1)求与的函数表达式．(2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？25．（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________；（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长．26．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．(1)当时，下列函数有界的是______（只要填序号）；①；②；③．(2)当时，一次函数的界值不大于2，求k的取值范围；(3)当时，二次函数的界值为，求a的值．

参考答案与解析1．A【分析】根据实数大小比较判断即可；【解答】∵1＞0＞﹣＞﹣，∴最大的数是1，故选：A．【点拨】本题主要考查了实数比大小，准确分析计算是解题的关键．2．B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10−3，故选：B．【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．A【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为，故选：A．4．B【分析】根据同类项的定义判断选项A；根据积的乘方可以判断选项B；根据同底数幂除法可以判断选项C；根据去括号法则可以判断选项D．【解答】解：选项A，5a3与﹣4a2不属于同类项，不能合并，选项A错误，不符合题意；选项B，（﹣a2b3）2＝a4b6，选项B正确，符合题意；选项C，a9÷a3＝a6，选项C错误，不符合题意；选项D，a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，选项D错误，不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂除法、积的乘方、去括号法则等知识点．掌握各计算法则是解题关键．5．A【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出的近似值，进而得解．【解答】，∴，∴，∴估计的值应在和之间．故选：A．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键．6．C【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为，，解得，故这个多边形为九边形．故选：C．【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为．7．B【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出,再根据三角形内角和求出即可．【解答】，，，，，，，故选．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的应用，证出是解题关键．8．D【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．【解答】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，在△AED和△ABD中：∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．故选：D.【点拨】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．9．A【分析】分三种情形∶①当0＜x≤2时，重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，

在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴ACEF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，∴S△ABC＝BC•AM＝4，①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，

由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，

由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，

由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【点拨】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．10．B【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质．先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．【解答】解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B．11．【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解得答案．【解答】根据题意得，解得：；故答案为：．12．【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式=(a+2b)(a-2b)．故答案为：（a+2b）（a-2b）13．【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可．【解答】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．2π【解答】试题分析：如图，∠BAO=30°，AO=，在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴AB=，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=．考点：圆锥的计算．15．【分析】如图，连接先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案．【解答】解：如图，连接是的中点，故答案为：【点拨】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．16．【分析】本题主要考查解不等式和不等式的解集的应用．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．由可得：，然后分、、三种类讨论求出不等式的解集，再根据对于任意的，恒成立，即可列出关于a的不等式求解即可．【解答】解：由可得：，当时，不等式的解集为，对于任意的，恒成立，∴，解得：；∴，当时，恒成立，满足题意；当时，不等式的解集为，∵对于任意的，恒成立，∴，解得：，故符合题意；综上所述，．故答案为：．17．【分析】由，设，，则，可求得，设，，由，可得，求出b的值，再求出，，利用A、B是图象上的两点，即可求出答案．【解答】解：轴，，，∴设，，，∵点B的横坐标为4，，则，，,设，，，∴，，，，则，，设B点的纵坐标为n，，则，，，A、B是反比例函数（）图象上的两点，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形及勾股定理得应用，表示出点A、B的坐标是解题关键．18．【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，由“”可证，可得，时，有最小值，即有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】解：∵腰长为8的等腰中，，∴，，如图，在上截取，连接，线段绕点A逆时针旋转，得到线段，，，即，在与中，，，，当时，有最小值，即有最小值，，，，，，，，故答案为：．19．（1），数轴见解答；（2）原方程无解【分析】（1）分别求出各个不等式的解集，再在数轴上表示即可．（2）先把分式方程化为整式方程求出的值，再代入最简公分母进行检验即可．【解答】解：（1），解不等式①得，解不等式②得，故不等式的解集为：；在数轴上表示为：

；（2）方程两边同乘以得，，解得，检验，当时，分母，是原方程的增根，故原方程无解．【点拨】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组和分式方程的步骤是解题的关键．20．(1)，，(2)八年级的成绩较好，理由：八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高（理由不唯一）(3)468人【分析】本题考查平均数、中位数、众数的定义以及意义、扇形统计图的相关信息．（1）求出C组所占的百分比，再根据频率之和为1，即可求出a的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级的中位数，和七年级的众数，确定b、c的值；（2）通过比较平均数、中位数、众数得出答案；（3）样本估计总体，用总体乘以七八年级中“优秀”占比即可得出答案．【解答】（1）解：，，根据占比和总人数可知：A组有2人，B组有1人，C组有3人，D组有4人，将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即，七年级竞赛成绩出现次数最多的是99，共出现3次，因此众数是99，即，故，，．（2）八年级成绩较好，∵七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，∴八年级的成绩较好．（3）七年级的学生有6人，八年级的学生有7人，人21．(1)三(2)见解析【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：（1）根据不能推导出，明显跳步，可得第三步错误；（2）过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再证，可得，进而可证．【解答】（1）解：根据不能推导出，因此出现错误的是第三步，故答案为：三；（2）解：正确的解题过程如下：为的中点，．如图，过点D作于点E，于点F，平分，，，，在和中，，，，．22．(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】（1）解：随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是，故答案为：；（2）解：画树状图如图：∴共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，∴一次打开锁的概率为＝．【点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，掌握画树状图或者列表的方法是解题的关键．23．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接，∵是的直径，∴，即，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：连接，∵，是的中点，∴，∵的半径为，，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，，∴阴影部分的面积为：，∴阴影部分的面积为．【点拨】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．24．(1)(2)第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与销售，利润的计算问题，掌握一次函数图象，二次函数图象的性质，增减性是解题的关键．（1）根据题意，设与的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；（2）分类讨论，当时，根据一次函数图象的性质即可求解；当时，根据二次函数图象的性质即可求解．【解答】（1）解：设与的函数表达式为，把和分别代入得：，解得：，∴与的函数表达式为；（2）解：当时，，∵，∴随的增大而减小，∴当时，；当时，，∵不在范围内，当时，随的增大而减小，∴当时，；综上述，第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元．25．（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）．【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论；（2）只需要证明△ABD≌△ACF即可得出结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB，证明△BDM∽△FDH即可求得．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB，∴CF=BD，故答案为：CF=BD，CF⊥BD；（2）BD=CF成立．理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ，由（1）得AC=AB，AF=AD，在△ABD和△ACF中，∵∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF；（3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M．∵四边形ADEF是正方形，∴∠MDA=45°，∵∠MAD=45°∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，∴AM=DM，∵AD=，在△MAD中，AM2+DM2=AD2，∴AM=DM=3，∴MB=AM-AB=3-2=1，在Rt△BMD中，