陕西省西安市经开第一中学2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析）

经开一中2023-2024学年度第一学期第一次月考初二数学试题（时间：120分钟满分：120分）考试范围：北师大版数学课本八年级上册第1页一第63页一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．在数轴上表示不等式，其中正确的是（

）A．

B．

C．

D．

2．下列命题的逆命题不成立的是(

)A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B．如果两个角是直角，那么它们相等C．直角三角形中两锐角互余D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等3．已知a＜b，则下列各式中不正确的是（

）A． B． C． D．4．用不等式表示：“a的与b的和为非负数”，其中正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为()

A．2 B．2 C．＋1 D．＋16．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（

）A． B． C． D．7．如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（

）A． B． C． D．8．运算程序如图所示，规定：从“输入一个x值”到“结果是否大于18”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了2次后停止，那么满足条件的所有整数x的和是（

）A．21 B．26 C．30 D．359．若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（

）A．2 B． C． D．10．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11．不等式的解集是．12．如图，中，，，分别平分，，过点D作直线平行于，分别交于E、F，则的周长为．13．如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是.

14．如图，已知ABC中，∠B=60°，AB=AC=4，过BC上一点D作PD⊥BC，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，若CD=1，则PA=．15．若等腰三角形中有一个角为，则它的一条腰上的高与底边的夹角的度数为．16．如图，等腰的底边，面积为48，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17．解下列不等式，并把解集表示在数轴上．(1)(2)．18．解不等式组：(1)(2)19．如图，在中，平分，交于点D．请利用尺规作图法在上求作一点E，使得点E到三边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写出作法）20．已知：如图，在中，，是的中点，，，，分别是垂足，求证：．21．已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的负整数解．22．鸡兔同笼是同学们耳熟能详的问题，那么请大家研究一道新鸡兔同笼问题，阿凡提带了1500元去农场买鸡兔，鸡每只30元，兔每只20元．他发现有一笼鸡兔共有94只脚．(1)若鸡的的数量是m只，则兔的数量是______（用含m的代数式表示）；(2)若笼中鸡兔不超过40只，则鸡最多是多少只？阿凡提带的钱够买这笼鸡兔吗？23．我校计划组织八年级240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．(1)求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；(2)学校计划租用A，B客车共6辆，为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？24．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．25．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．(1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______．(2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．(3)在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长．

参考答案与解析1．B【分析】不等式在数轴上表示不等式与两个不等式的公共部分．【解答】解：“”实心圆点向右画折线，“”空心圆圈向左画折线．故在数轴上表示不等式如下：

故选：B．【点拨】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．2．B【分析】将原命题的条件和结论交换位置，变成新命题，判断新命题的真假．根据勾股定理的逆定理，等角的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质即可求解．【解答】解：选项，逆命题为“三角形得两条边的平方和等于斜边的平方，则这个三角形是直角三角形”，是真命题，故选项正确，不符合题意；选项，逆命题为“两个角相等，则这两个角是直角”，是假命题，故选项错误，符合题意；选项，逆命题为“三角形中两锐角互余，则这个三角形是直角三角形”，是真命题，故选项正确，不符合题意；选项，逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上”，是真命题，故选项正确，不符合题意．故选：．【点拨】本题主要考查命题的逆命题，掌握勾股定理的逆定理，等角的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．3．C【分析】根据不等式的基本性质逐一分析可得结论．【解答】解：a＜b，，故A正确，所以此选项不合题意；a＜b，，故B正确，此选项不合题意；a＜b，＞，＞，故C错误，此选项符合题意；a＜b，，故D正确，此选项不合题意；故选C．【点拨】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．4．C【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，a的表示为，与b的和表示为，非负数表示为“”，故可得解【解答】解：用不等式表示：“a的与b的和为非负数”为：，故选：C．5．D【解答】∵CD⊥AB，∠B=30°，∴BC=2CD=2，∴BD=，∵CD⊥AB，∠A=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD=1，∴AB=AD+BD=，故选：D．【点拨】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．A【分析】根据三角形的内角和定理可求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，于是可得，进而求解．【解答】解：∵，∴．∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，∴，，∴，，∴，∴．故选A．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．7．A【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及三角形面积法，直接利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵点O为与的平分线的交点，∴点O在的角平分线上，∴点O到的三边的距离相等，过O作，，连接，则∴，又∵为直角三角形，∴，∴，解得：．故选：A．8．C【分析】由程序操作恰好进行了2次后停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，将其中的所有整数值相加即可得出结论．【解答】解：依题意，得：，解得：．又∵x为整数，∴x=6，7，8，9，∴6+7+8+9=30．故选：C．【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．9．D【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有且只有4个整数解，逆推出的取值范围即可．根据整数解的个数得出关于的不等式组是解题关键．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，该不等式组的解集为，该不等式组有且只有4个整数解，4个整数解为2，3，4，5，，解得，故选D．10．C【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．【解答】解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠CGF=90°,∴∠BFC=90°故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴∵BD=CE∴AM=AN∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；

∵平分∠BFE，∴故④正确．故答案为C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．11．【分析】利用不等式的基本性质3，不等式两边同除以-2，可求得原不等式的解集．【解答】解：系数化为1得，x＜-2，故答案为：x＜-2．【点拨】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意性质3而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．12．13【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解．【解答】解：分别平分，，，，，，，，，，，，即的周长为13．故答案为：13．13．【分析】观察图象即可解答.【解答】∵直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），∴关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是x＞1.故答案为x＞1.【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决这类题目的关键是找出两个函数图像的交点坐标，再根据图象的位置确定x的取值范围.14．2【分析】由△ABC中，∠B=60°，AB=AC=4，可证得△ABC是等边三角形，又由PD⊥BC，CD=1，易求得CQ的长与∠AQP=∠P=∠CQD=30°，继而可得PA=AQ=AC-CQ．【解答】∵△ABC中，∠B=60°，AB=AC=4，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=∠BAC=∠B=60°，∵PD⊥BC，∴∠CQD=∠AQP=90°-∠C=30°，∴∠P=∠BAC-∠AQP=60°-30°=30°，∴∠P=∠AQP，∴PA=QA，在Rt△CDQ中，CQ=2CD=2×1=2，∴QA=AC-CQ=4-2=2，∴PA=2．【点拨】考点：1．等边三角形的判定与性质；2．等腰三角形的判定与性质；3．含30度角的直角三角形．15．或【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，分的角是底角和顶角两种情况，分别讨论即可．【解答】解：分两种情况：（1）当的角是底角时，如下图所示，，为腰上的高，，；（2）当的角是顶角时，如下图所示，，为腰上的高，，，，综上可知，它的一条腰上的高与底边的夹角的度数为或．故答案为：或．16．##【分析】如图作于，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长；【解答】解：如图作于，连接．垂直平分线段，，，当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，，，∴，，，，，，，的最小值为．周长的最小值为；故答案为．【点拨】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．17．(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解．【解答】（1）解：，，，解得，在数轴上表示不等式的解集，如图，（2）解：，，，，解得，在数轴上表示不等式的解集，如图，18．(1)(2)【分析】本题主要考查解一元一次平等式组：分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无解了”确定不等式的解集【解答】（1）解：解不等式①，得：；解不等式②，得：，所以，不等式组的解集为：（2）解：解不等式①，得：；、解不等式②，得：，所以，不等式组的解集为19．见解析【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线，角平分线的性质等知识，作的角平分线交于点E，点E即为所求．【解答】解：如图，点E即为所求．20．见解析【分析】根据AB=AC，等边对等角，得到∠B=∠C；由D点是BC中点，可知BD=CD；DE⊥AB，DF⊥AC，得到，进而得到△BDE≌△CDF．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，，∵D是的中点，∴BD=CD，在和中∴△BDE≌△CDF∴BE=CF，∵AB=AC，∴AB-BE=AC-CF即AE=AF．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定．通过全等三角形对应边相等，得到线段之间的关系是解题的关键．21．【分析】本题主要考查解二元一次方程组的一元一次不等式，运用加减法求出方程组的解，把方程组的解代入不等式，求解不等式即可得出m的值．【解答】解：，得，，解得，；把代入得，，解得，，又，∴，∴，∴m的负整数解为．22．(1)(2)鸡最多是33只，阿凡提带的钱够买这笼鸡兔【分析】（1）根据鸡兔共有94只脚求解即可；（2）首先根据笼中鸡兔不超过40只列不等式求得，然后利用鸡每只30元，兔每只20元求解即可．【解答】（1）∵鸡的的数量是m只，∴鸡一共有只脚，∵鸡兔共有94只脚，∴兔一共有只脚，∴兔的数量是，故答案为：；（2）∵笼中鸡兔不超过40只∴，解得，∴鸡最多是33只，∴兔的数量是只，∴∴阿凡提带的钱够买这笼鸡兔．【点拨】此题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确表示出兔的数量．23．(1)1700，1300(2)二种方案，具体内容见解析，方案一最省钱【分析】对于（1），先设两种型号客车的费用，再根据租用费用相等列出方程组，求出解即可；对于（2），先设租用A客车a辆，并表示B型客车的辆数，再根据不等关系列出不等式组，求出解集得出方案，并从方案中选择费用少的即可．【解答】（1）解设用A，B两型客车，每辆的费用为x元，y元，根据题意，得，解得，所以租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元，1300元；（2）设学校计划租用A客车a辆，则租用B客车为辆，根据题意，得，解得，∴或，则或，所以一共有二种方案：方案一：租用4辆A客车，2辆B客车，租金为（元）；方案二：租用5辆A客车，1辆B客车，租金为（元）．因为，所以方案一更省钱．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计，弄清题目的等量关系和不等关系是解题的关键．24．（1）见解析（2）2+【解答】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证．（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得