2024年河北省石家庄长安区中考一模数学试题（含解析）

2024年初中毕业年级教学质量检测数学试卷注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共16个小题．1-6小题每小题3分，7-16小题每小题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．比2（）A．小2 B．大2 C．小4 D．大42．一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（

）A．沿北偏东方向航行 B．沿南偏西方向航行C．沿北偏东方向，航行30海里 D．沿南偏西方向，航行30海里3．为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”，将亿用科学记数法表示为，则（

）A．8 B．6 C．4 D．24．若使用下图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（

）A．①②都可以 B．①②都不可以C．①可以，②不可以 D．①不可以，②可以5．整式，，下列结论：结论一：．结论二：，的公因式为．下列判断正确的是（

）A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确6．如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下变形过程正确的是（

）A．原式 B．原式C．原式 D．原式8．如图，，则直线与所成的锐角的度数是（

）A． B． C． D．9．如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且，，则原点落在（

）

A．段① B．段② C．段③ D．段④10．如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（

）

A．只与、的长有关 B．只与、的长有关C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关11．班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在D座位，三位同学随机坐在A、B、C三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（）

A． B． C． D．12．如图，在正方形纸片上进行如下操作：第一步：剪去长方形纸条；第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条．若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（

）A． B． C． D．13．刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了后回到家（中间不休息）．如图表示她出发后离家的距离与行走时间之间的函数关系图象．则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（

）A． B．C． D．14．对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲、乙的作法如图：甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线．即为所求．

乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．

下列说法正确的是（

）A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误15．如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．516．如图，矩形中，点E，F，G分别在边，，上，将矩形分别沿，，折叠，使点A，D恰好都落在点O处，点B落在点处．以下结论：Ⅰ：若点落在上，则．Ⅱ：若点与点O重合，则．下列判断正确的是（

）A．Ⅰ、Ⅱ都正确 B．Ⅰ、Ⅱ都不正确C．只有Ⅰ正确 D．只有Ⅱ正确二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17．计算：=．18．规定一种新运算：，如．（1）计算：；（2）如果，则x的值为．19．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．（1）连接，的长为；（2）a的取值范围是．三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了．(1)琪琪猜测被污染的数字“■”，请计算；(2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“■”．21．某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：(1)填空：__________=__________；(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．22．鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，据统计，鱼的存活率约为．小李随机捕捞了20条鱼，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘．统计结果如图所示：(1)求样本的中位数和平均数；(2)已知这种鱼的售价为25元，利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入．23．某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升．两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为．(1)求1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度与上升时间的函数关系图象；(2)在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由．24．如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为．(1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）；(2)在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）；(3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差．25．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．(1)求抛物线和的函数表达式；(2)当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；(3)点M为上的一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标．26．在中，，，，点P是的中点，M在上（不与点C重合），连接，在的左侧作矩形．(1)如图1，当点N在线段上时，①若，求的长；②求的值．(2)如图2，当时，①若矩形在内部（包括边界），设，写出的长与x的函数关系式，并求x的取值范围；②若矩形的两个顶点落在的同一条边上，直接写出在矩形内部的线段长．

参考答案与解析1．C【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行解答即可．【解答】解：，∴比2小4，故选：C．2．D【分析】此题考查了方位角相关问题，根据方位角和距离进行判断即可．【解答】解：如图，由题意得，若要航线最短，其航行的路线为沿南偏西方向，航行30海里，故选：D3．A【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：亿，∴，故选：A．4．C【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．依此即可求解．【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．理由：，满足两边之和大于第三边．故选：C．5．A【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．【解答】解：∵，，∴，故结论一正确；∵，∴，的公因式为，故结论二不正确；故选：A．6．A【分析】逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图，本题考查了，简单几何体的三视图，解题的关键是：明确旋转后的主视图．【解答】解：根据逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图，由图可知，左视图的小正方体数量为3，面积为3，故选：．7．D【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法即可得到答案．【解答】解：，∴四个选项中，只有D选项正确，符合题意，故选：D．8．C【分析】此题考查了角的概念，邻补角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握邻补角的定义，三角形的内角和定理是解决问题的关键．延长交于点E，先根据邻补角的定义求出，然后根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：延长交于点E，如下图所示：∵，∴，，∴．故选：C．9．C【分析】本题考查的是数轴．根据，，逐一判断各选项即可．【解答】解：，原点在的右侧，故段①排除，选项A不符合题意；假设：当原点在段②时，，，，可得，故原点不在段②，选项B不符合题意；假设：当原点在段③时，，，，可得，故原点在段③，选项C符合题意；假设：当原点在段④时，，，，可得，故原点不在段④，选项D不符合题意；综上，原点落在段③，故选：C．10．B【分析】利用三角形的中位线定理求出四边形的周长即可得出结论．【解答】解：点、、、分别是线段、、、的中点，、、、分别是、、、的中位线，，四边形的周长只与、有关，故选：B．【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．11．A【分析】本题主要考查了树状图求概率．画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．【解答】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4种，即、、、，甲、乙两位同学座位相邻的概率为，故选：A．12．A【分析】本题主要考查了正方形的性质和矩形的性质．设正方形的边长为，则根据题意得到数据：，，结合矩形的面积公式和已知条件“长方形纸条和的面积相等”列出方程并解答．【解答】解：设正方形的边长为，由题意，得．解得．故选：A．13．C【分析】本题考查了函数图象，根据前半段时间，刘阿姨离家越来越远，后半段时间，刘阿姨离家越来越近即可判断求解，看懂函数图象是解题的关键．【解答】解：由函数图象可得，前半段时间，刘阿姨离家越来越远，后半段时间，刘阿姨离家越来越近，故选：．14．A【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确．【解答】解：对于甲的作法：由作法得垂直平分，∴，∴点为以为直径的圆与的交点，∴，∴，∴为的切线，所以甲的作法正确；对于乙的作法：由作法得，OD=BC，∵，∴，∴，∴为的切线，所以乙的作法正确；故选：A．15．C【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案．【解答】解：如图所示：直线一定过点，，把代入得，，此时反比例函数过整点，，，阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点，的取值可能是4，故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键．16．C【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用以及折叠变换．根据折叠的性质和矩形的性质分析判断结论Ⅰ；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理求得与的数量关系，从而判断结论Ⅱ．【解答】解：若点落在上，由折叠性质可得：，，，，，，，∴，故结论Ⅰ正确；若点与点重合，如图所示，设，，则，，，在中，，，解得：，，故结论Ⅱ错误；故选：C．17．－1【分析】根据算术平方根的计算方法求解即可．【解答】解．故答案为：-1．【点拨】此题考查了求解算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的计算方法．18．1或【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，理解定义的新运算是解题的关键．（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；（2）按照定义的新运算可得：，从而整理得：，然后按照解一元二次方程因式分解法进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：☆5，故答案为：；☆，，整理得：，，或，或，故答案为：1或．19．【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．（1）正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），点，分别是正六边形的顶点．（2）当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，，则，，是正六边形的一条对角线，，在中，，，，，故答案为：；如图①，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，，，如图②，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线，设时，正方形的边长最大，，，设直线的解析式为，，，，，直线的解析式为，将代入得，此时，取最大值，，正方形边长的取值范围是：．故答案为：．20．(1)(2)【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先算乘方及括号里面的，再算乘法，最后算减法即可；（2）根据题意列式计算即可．【解答】（1）解：；（2）解：．21．(1)，(2)（，且为整数）【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字与等式的变化规律是解题的关键．（1）计算，根据上述等式规律可得；（2）根据上述等式，得出规律，，且为整数），再证明即可．【解答】（1）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…；故答案为：，；（2）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数）证明：，猜测的算式正确．22．(1)这20条鱼质量的中位数和平均数分别为1.4kg，1.425kg(2)估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入64125元．【分析】本题考查了用样本估计总体、加权平均数、中位数的知识，解题的关键是正确的用公式求得加权平均数．（1）根据中位数和加权平均数的定义求解可得；（2）用单价乘（1）中所得平均数，再乘存活的数量，从而得出答案．【解答】（1）解：这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.4，这20条鱼质量的中位数是，．故这20条鱼质量的平均数为1.425kg；（2）解：（元．答：估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入64125元．23．(1)，图象见解析(2)能，9m【分析】本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，（1）设，函数的图象经过，两点，运用待定系数法求解即可；根据题意可以直接写出函数的解析式，根据图象过点，，即可得到函数图象；（2）令，求出x的值，即可解答．【解答】（1）设，由图象知，函数的图象经过，两点．将，分别代入得：，解得：．．由题意得：．当，，∴在直角坐标系中描点，，画得函数的图象如图．（2）在某时刻两架无人机能位于同一高度，理由如下：当时，，解得．此时．答：此时两架无人机高度为．24．(1)(2)(3)切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为【分析】（1）过点作于点，作于点，则四边形为矩形，易得，在中，利用三角函数解得的值，进而可得的值，即可获得答案；（2）设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为，过点作于H，则，作于点D，则四动形为矩形，在中，利用三角函数解得，进而可得，由圆的轴对称性可知，然后利用弧长公式求解即可；（3）如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点，根据题意可得，在中，利用勾股定理解得；证明，利用相似三角形的性质解得的值，再证明，易得，即可获得答案．【解答】（1）解：如下图，过点作于点，作于点，则四边形为矩形，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴．答：点到桌面的距离是；（2）如下图，设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为，过点作于H，则，作于点D，则四动形为矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，由圆的轴对称性可知，，∴．∴符合条件的点所经过的路径长为；（3）如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点，∵弧是半圆，∴为的直径，∵直线切于点，且经过点，∴，在中，，，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，两点到桌面的距离的差为．答：切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为．【点拨】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、弧长计算、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．25．(1)抛物线的函数表达式为，的函数表达式为(2)或(3)和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．（1）待定系数法求出滑道和的解析式即可；（2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可；（3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．【解答】（1）解：滑道；的顶点为点，即，点到点的水平距离为2，将代入，点．点与点关于直线对称，点．滑道与滑道是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，可设抛物线的函数表达式为．将点，分别代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：设直线的函数表达式为．将，代入得：，解得，直线的函数表达式为．点为抛物线的顶点，抛物线不