2024年福建福州市高三二模高考数学模拟试卷试题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（

）A． B．1 C．2 D．43．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（

）A． B． C． D．4．在中，，则的面积为（

）A．2 B． C．4 D．5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边和上，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（

）A． B． C． D．8．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知等差数列的前项和为，则（

）A．的最小值为1 B．的最小值为1C．为递增数列 D．为递减数列10．在长方体中，为的中点，则（

）A． B．平面C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为11．通信工程中常用元数组表示信息，其中或．设表示和中相对应的元素（对应，）不同的个数，则下列结论正确的是（

）A．若，则存在5个5元数组，使得B．若，则存在12个5元数组，使得C．若元数组，则D．若元数组，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则．13．底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为的圆锥，所得的圆台的侧面积为．14．在平面直角坐标系中，整点（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线，与圆：分别切于，两点，与轴分别交于，两点，则使得周长为的所有点的坐标是．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数，是的零点．(1)求的值；(2)求函数的值域．16．如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，在上，且．(1)证明：平面；(2)若，为的中点，且，求平面与平面夹角的余弦值．17．人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：外向型内向型男性4515女性2010(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望．(2)对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．附：参考公式：．0.10.050.012.7063.8416.63518．已知双曲线，动直线与轴交于点，且与交于两点，是的等比中项，．(1)若两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；(2)若，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求证：；(3)若且，求证：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】根据并集的定义即可得解.【详解】因为，所以.故选：A.2．B【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果.【详解】将点代入，可得，故的焦点到其准线的距离为1．故选：B.3．D【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.【详解】依题意，设，又是两个不共线的向量，所以，所以．故选：D4．B【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.【详解】由余弦定理得，且，所以，所以．故选：B5．D【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，所以在区间单调递减，所以，解得．故选：D．6．C【分析】结合题中条件可求得边长，建立方程，解出即可.【详解】不妨设椭圆方程为，当时，，所以，因为四边形为正方形，所以，即，所以，所以，解得，因为，所以．故选：C.7．D【分析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件为“此人患了流感”．利用条件概率公式计算出，根据题中条件可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围，即可得解.【详解】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，事件为“此人患了流感”．由题可知，，，，，由条件概率公式可得，，，由题意可得，即，解得，故选：D.8．C【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析.【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一个周期.因为，故C正确；取符合题意的函数，则所以，又，故2不是的一个周期，所以，故B不正确；因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称，所以，故A不正确；因为，故D不正确；故选：C.9．ABC【分析】求出数列通项公式和前n项和公式，然后逐一判断各项【详解】假设的公差为，由，所以，又，所以，所以．选项A：，故时的最小值为1，A正确；选项B：，令，所以，可知在区间单调递增，所以时取得最小值1，B正确；选项C：，故为递增数列，C正确；选项D：，因为，所以不是递减数列，D错误．故选：ABC10．BC【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A,根据线线平行即可判断B，根据向量法即可求解空间距离，判断CD.【详解】如图建立空间直角坐标系，易知，，，，，．

A，，，所以A错误；B，显然，平面,平面,可得平面，所以B正确；C，记直线的单位方向向量为，则，又，所以向量在直线上的投影向量为，则有到直线的距离为，故C正确；D，设平面的法向量为，由，令，可得，又，所以点到平面的距离，故D错误．故选：BC11．ACD【分析】根据所给新定义理解题意，由组合知识即可判断AB，设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1与另一项为0的共有个，根据新定义判断CD.【详解】选项A：由题意，5个位置选则1个位置安排1即可，满足条件的数组共有个，故A正确；选项B：由题意5个位置选则3个位置安排0即可，满足条件的数组共有个，故B错误；选项C：设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1与另一项为0的共有个，这里，从而，而，故C正确，同理D正确．故选：ACD12．【分析】根据复数对应的点的坐标写出，再结合复数的乘法计算得出结果.【详解】依题意可知，所以．故答案为：.13．【分析】由已知条件求出圆台的上底面半径，下底面半径及母线长，再利用圆台的侧面积公式计算即可.【详解】由已知是边长为4的等边三角形，，又，可得圆台的上底面半径，下底面半径，母线长，则该圆台的侧面积为．故答案为：.14．或【分析】根据题意，先确定点满足的条件，得到点的轨迹方程，再根据为第一象限的整点确定满足条件的点的个数即坐标.【详解】如图：

因为直线，分别与圆：相切于，两点，且直线，分别与轴交于，两点，所以，，，所以的周长为，所以，设，所以，因为为整点，所以点的坐标为或．故答案为：或15．(1)(2)【分析】（1）根据函数的零点性质并结合范围求解.（2）利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.【详解】（1）由已知可得，解得，即，又，可得．（2）由，可得，其中，则当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值2，故函数的值域为．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可证平面，得，由平面平面的性质，可证平面；（2）两两垂直，建立空间直角坐标系，由已知求出点坐标，向量法求两个平面夹角的余弦值.【详解】（1）解法一：因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面解法二：因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面平面，所以平面．（2）解法一：由（1）得平面，又平面，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，又，所以，所以，由（1）知两两垂直，如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．所以，显然平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．解法二：由（1）知两两垂直，如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．设，则，所以，由，得，解得，或（舍去），所以，所以，显然平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，取，则，则，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)(2)结论不一致，理由见解析【分析】（1）法一：根据独立事件乘法公式，结合数学期望公式进行求解即可；法二：根据二项分布的定义和数学期望公式进行求解即可.（2）根据所给的公式进行运算求解即可.【详解】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是．法一：的所有可能取值为0，1，2，3．则，，所以．法二：从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为；从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为，则，所以，所以．（2）零假设为：这两种性格特征与人的性别无关联．由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知依据的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．18．(1)36(2)证明见解析【分析】（1）解法一：依题意可得点为的右焦点，设，则，又，即可得到，利用基本不等式求出的最小值，即可得到轴，从而求出交点坐标，即可得解；解法二：设，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由弦长公式得到，从而求出的最小值，余下同法一；（2）解法一：设，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可求出，再由双曲线的定义得到，即可得证；解法二：结合（1）求出，设的中点的坐标为，求出点坐标，从而得到的垂直平分线，判断点在直线上，即可说明.【详解】（1）解法一：因为动直线与轴交于点，因为的右焦点为，所以点为的右焦点．设，因为两点位于轴的同侧，所以，因为是的等比中项，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当时，所以，所以轴，由解得，所以，所以，由双曲线的定义得，所以，即的周长为36.解法二：设，由得，因为直线与交于两点，所以且，由两点位于轴的同侧，可得，解得，又是的等比中项，故可得，故，即，又，故，可得，即且，所以，当即时，所以轴，由解得，所以，所以，又，所以，所以，即的周长为36．

（2）解法一：设，由得，因为直线与交于两点，所以且，由，可得，故，又两点位于轴的异侧，所以，所以，即，所以，解得，所以，所以，所以，不妨设点在第二象限，根据双曲线定义，得，即解得，所以是等腰三角形．解法二：因为两点位于轴的异侧，故，所以，且由（1）知，解得或，当时，设的中点的坐标为，，所以点的坐标为，又的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程为，即，又点在直线上，所以，即为等腰三角形．当时，同理可证，为等腰三角形．综上所述，为等腰三角形．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)在区间上单调递减(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求，令，求，讨论的大小可证得，即，即可得出的单调性；（2）法一：要证，即证，记，讨论的单调性和最值即可证明；法二：通过构造函数结合已知条件放缩要证即证即可.（3）法一：由（1）可知为减函数，所以，要证即证，构造函数证明即可；法二：先证，即，则，再结合基本不等式即可证明.【详解】（1）的定义域为，，记，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即，所以在区间上单调递减．（2）法一：先证，记，则，记，则，所以时，递增；时，递减．所以，所以，又，所以，故．再证，即证，记，则，记，则，所以在递增，所以，所以，即，所以.法二：构造函数，当时，单调递增，，所以，构造函数，当时，单调递增；当时，单调递减．所以，即，即成立．所以