2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第54讲圆锥曲线的综合应用-证明探究性问题学生版

第54讲圆锥曲线的综合应用——证明、探究性问题思维导图知识梳理1．证明问题代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等．证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.2.探究、存在性问题存在性问题的解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.题型归纳题型1证明问题【例1-1】设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.【跟踪训练1-1】设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq\f(\r(5),10).(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【跟踪训练1-2】在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，以线段MF为直径的圆与x轴相切．(1)求点M的轨迹E的方程；(2)设T是E上横坐标为2的点，OT的平行线l交E于A，B两点，交曲线E在T处的切线于点N，求证：|NT|2＝eq\f(5,2)|NA|·|NB|.【名师指导】几何证明问题的解题策略：(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明题型2探究、存在性问题【例2-1】已知圆C：(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4)，一动圆与直线x＝－eq\f(1,2)相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【例2-1】如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，离心率e＝eq\f(1,2)，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【跟踪训练2-1】已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为eq\f(b,3)，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【名师指导】1.存在性问题的求解方法(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤：①假设满足条件的曲线(或直线、点)等存在，用待定系数法设出；