中考数学专题复习《图形的旋转》测试卷-附带答案

第页中考数学专题复习《图形的旋转》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．选择题（共5小题）1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定2．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+） B．（﹣，3） C．（﹣，2+） D．（﹣3，）3．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）4．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）A． B． C．3 D．二．填空题（共12小题）6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝7，点D是边BC上一点，点H是线段AD上点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，AH＝．7．如图，已知点A（0，3），B（4，0），点C在第一象限，且AC＝5，BC＝10，则直线OC的函数表达式为．8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为．9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠ACB＝45°，D为AB边上一动点（不与点B重合），以CD为边长作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值等于．10．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．11．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝13，AE＝AF＝12，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于．13．如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，DF＝3，则AH的长为．14．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．15．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．16．如图，将边长为6的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E，F分别在边AB，CD上），使点B落在AD边上的点M处（点M不与A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接MB，当点M在边AD上移动时，有下列结论：①BM＝EF；②0＜PF＜3；③∠AMB＝∠BMP；④△PDM的周长随之改变．其中正确结论的序号是（把你认为正确的结论的序号都填上）．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC、PD．若△DPC为直角三角形，则BE的长为．三．解答题（共11小题）18．在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE．（1）特例发现如图1，当m＝1，AE落在直线AC上时．①求证：∠DAC＝∠EBC；②填空：的值为；（2）类比探究如图2，当m≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用在（2）的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB•EH＝6，求CG的长．19．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．20．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长．21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．22．问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．拓展探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．24．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度数；（3）如图3，当AC＝4，AB＝（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为．25．已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．26．如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．27．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．28．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．（1）当AM＝时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．参考答案一．选择题（共5小题）1．解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD，又∵∠CDF+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF＝CG，∵AD＝2，BC＝3，∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，∴EF＝1，∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．故选：A．2．解：如图，作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴A′H＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故选：B．3．解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝3，∴B′（﹣，3），故选：A．4．解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④错误，故选：B．5．解：连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H．如图：∵AB＝6，AM：MD＝1：2．∴AM＝2，MD＝4．∵四边形ABCD是正方形．∴BM＝．根据折叠性质，AO⊥BM，AO＝ON．AM＝MN＝2．∴．∴＝．∴AN＝．∵NH⊥AD．∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．∴．∴．∴．∴．∴DN＝．故选：D．二．填空题（共11小题）6．解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，∴∠ABH＝∠CAH，在△ABE和△CAH中，∴△ABE≌△CAH（AAS），∴BE＝AH，AE＝CH，∵∠AHE＝∠BHD＝60°，∴∠HAE＝∠HBF＝30°，∴AH＝2HE，AE＝HE，BH＝2HF，BF＝HF，∴AH＝AE＝CH，在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝72，解得AH＝2，故答案为2．7．解：如图，连接AB，作CD⊥x轴于点D，∴AB＝＝＝5，∵AC＝5，BC＝10，∴AB2+BC2＝52+102＝125＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝∠BDC＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBD，∴△ABO∽△BCD，∴，即，解得：BD＝6，CD＝8，则OD＝10，∴点C的坐标为（10，8），设直线OC的函数表达式为y＝kx，将点C（10，8）代入，得：10k＝8，即k＝，∴直线OC的函数表达式为y＝x，故答案为：y＝x．8．解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，∴△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．9．解：如图，过点E作EM⊥BA于M，过点C作CN⊥BA交BA的延长线于N，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，AC＝2，∴AH＝CH＝AC•cos45°＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，AH＝，∴BH＝＝＝3，∴BC＝BH+CH＝4，∵S△ACB＝•BC•AH＝•AB•CN，∴CN＝4，在Rt△ACN中，AN＝＝＝2，∴BN＝BA+AN＝12，设BD＝x，则DN＝12﹣x，∵四边形EFCD是正方形，∴DE＝DC，∠EDC＝∠EMD＝∠DNC＝90°，∴∠EDM+∠ADC＝90°，∠ADC+∠DCN＝90°，∴∠EDM＝∠DCN，∴△EMD≌△DNC（AAS），∴EM＝DN＝12﹣x，∴S△DBE＝•BD•EM＝•x•（12﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣6）2+18，∵﹣＜0，∴当x＝6时，△BDE的面积的最大，最大值为18．故答案为18．10．解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．11．解：过D作DH⊥AE于H，如图所示：∵AF＝12，∴当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，12为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，∴BF⊥AF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝5，∴S△ADE＝AE•DH＝×12×5＝30，故答案为：30．12．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠C＝90°，∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，∴BG＝BE，CG＝AE，∠GBE＝90°，∠BAE＝∠C＝90°，∴点G在DC的延长线上，∵∠EBF＝45°，∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°，∴∠FBG＝∠FBE，在△FBG和△EBF中，，∴△FBG≌△FBE（SAS），∴FG＝EF，而FG＝FC+CG＝CF+AE，∴EF＝CF+AE，∴△DEF的周长＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4故答案为：4．13．解：由旋转的性质可知：AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°．又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°．∴∠BAG+∠BAE＝45°．∴∠GAE＝∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．∵AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB＝AH，GE＝EF＝5．设正方形的边长为x，则EC＝x﹣2，FC＝x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2＝25．解得：x1＝6．x2＝﹣1（舍去）∴AB＝6．∴AH＝6．故答案为：6．14．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．15．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝2，在Rt△AOD中，OD＝＝2，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．故答案为：2﹣2．16．解：作FG⊥AB于G，如图所示：则∠EGF＝90°，GF＝BC＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴∠ABM+∠AMB＝90°，由折叠的性质得：BM⊥EF，BE＝ME，∠EMN＝∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠GEF＝∠ABM+∠AMB＝90°，∴∠AMB＝∠GEF，在△ABM和△GFE中，，∴△ABM≌△GFE（AAS），∴BM＝EF，①正确；若点M与A重合，则C与D重合，P与D重合，PF＝3；当M与D重合时，N与C重合，P与C重合，EF与AC重合，CF＝0；∵点M不与A，D重合，∴0＜PF＜3，②正确；∵BE＝ME，∴∠ABM＝∠EMB，∵∠ABC＝∠EMN＝90°，∴∠AMB＝∠BMP，③正确；设AM＝x，则MD＝6﹣x．由折叠性质可知，EM＝BE＝6﹣AE，在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，即AE2+x2＝（6﹣AE）2，整理得：AE2+x2＝36﹣12AE+AE2，∴AE＝（36﹣x2），又∵∠EMP＝90°，∴∠AME+∠DMP＝90°．∵∠AME+∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠DMP．又∵∠A＝∠D，∴△PDM∽△MAE．∴＝，∴△PDM的周长＝△MAE的周长•＝（6+x）•＝12．∴△PDM的周长保持不变，④不正确；故答案为：①②③．17．解：①如图1中，当∠PDC＝90°时，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠PDC＝180°，∴A、D、P共线，∵EA＝EP，∠AEP＝90°，∴∠EAP＝45°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°，∵∠B＝90°∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴BE＝AB＝3．②如图2中，当∠DPC＝90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE＝x，∵∠AEB+∠PEF＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠PEF，在△ABE和△EFP中，，∴△ABE≌△EFP，∴EF＝AB＝3，PF＝HC＝BE＝x，∴CF＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2，∵∠DPH+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠DPH＝∠PCH，∵∠DHP＝∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH2＝DH•CH，∴（x﹣2）2＝x（3﹣x），∴x＝或（舍弃），∴BE＝，综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或．故答案为3或．三．解答题（共11小题）18．解（1）①如图1，延长AD交BE于F，由折叠知，∠AFB＝90°＝∠ACB，∴∠DAC+∠ADC＝∠BDF+∠EBC＝90°，∵∠ADC＝∠BDF，∴∠DAC＝∠EBC；②由①知，∠DAC＝∠EBC，∵m＝1，∴AC＝BC，∵∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（ASA），∴CD＝CE，∴＝1，故答案为1．（2）如图2，延长AD交BE于F，由（1）①知，∠DAC＝∠EBC，∵∠ACG＝∠BCE，∴△ACG∽△BCE，∴＝m；（3）由折叠知，∠AFB＝90°，BF＝FE，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴DF是△BCE的中位线，∴DF∥CE，∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，由（2）知，△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝90°，＝＝2m＝，∴＝tan∠GAC＝＝，设CG＝x，则AG＝x，BE＝2x，∴AG＝CE，∴△AGH≌△ECH（AAS），∴AH＝EH，GH＝CH，∴GH＝x，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，∵EB•EH＝6，∴2x•x＝6，∴x＝或x＝﹣（舍），即CG＝．19．（1）证明：如图1，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；（2）①证明：如图2，连接BN，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，∴∠MBN＝90°，∴MB2+BN2＝MN2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2；②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，如图4，当点M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x+3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，综上所述，线段AM的长为或．20．（1）证明：如图1中，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∵AO＝BO，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS）．（2）①证明：如图2中，连接AM．同法可证△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，∵∠OAB＝∠B＝45°，∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，∴MN2＝AN2+AM2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴NB2+AN2＝2ON2．②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝3，MH＝HN＝OH＝，∴AH＝＝＝，∴BN＝AM＝MH+AH＝．如图3﹣2中，同法可证AM＝BN＝．21．解：（1）如图1中，在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．（2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2．理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，∵AB＝BC，DB＝BQ，∴△ABD≌△CBQ（SAS），∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴DQ2＝DC2+CQ2，∵CQ＝DA，DQ＝DB，∴DB2＝DA2+DC2．（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．则△AER是等边三角形，∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB，∴RE2＝RB2+EB2，∴∠EBR＝90°，∴∠RAE+∠RBE＝150°，∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，∴∠BEC＝150°，∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，∵∠K+∠BEC＝180°，∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴点E的运动路径＝＝．22．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；故答案为：60°，AC＝DC+EC；（2）BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）作AE⊥CD于E，连接AD，∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，AE＝4，∴AD＝或AD＝4．23．解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，如图所示，则∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，∴△APP′是等边三角形，∴AP＝PP′，∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB•cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝，∴CB′＝＝＝，故答案为：．24．解：（1）如图1中，作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝PC，在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，∴PC＝AC•cos30°＝，∴BC＝2PC＝2．（2）如图2中，将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC．∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴PA＝AQ＝2，PB＝QC＝，∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2+PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝30°+90°＝120°．（3）如图3中，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′，连接PP′，AB′，则∠ACB′＝90°．∵PA+PB+PC＝PA+PP′+P′B′，∴当A，P，P′，B′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的长，由AB＝，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3，∴AB′＝＝．故答案为．25．解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）结论成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴＝，∴△AOE∽△COF，∴＝，∵CF＝OA＝5，∴＝，∴AE＝，∴DE＝＝＝．26．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；（2）解：∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，在△EFM和△GFM中，∴△EFM≌△GFM（SAS），∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在△EFH和△GFN中，，∴△EFH≌△GFN（ASA），∴HF＝NF，∵tan∠MEN＝＝，∴GF＝EF＝3HF＝3NF，∴GH＝2HF，作NP∥G